XVII Математическая статистика (1081432), страница 48
Текст из файла (страница 48)
доверительный интервал параметра д с уровнем доверия 0,949 есть ( — 1,4, 0,2). 9.3. Решение типовых примеров Пример 9.5. Для определения предела текучести некоторой марки стали по просьбе закаэчика, которому была необходима сталь с пределом текучести в 30 —, были проведены мме ' стандартные испытания и = 25 образцов. Результаты испытаний (в —,) следующие: 32,00; 32,77; 29,97; 29,49; 30,69; 30,41; 34,80; 29,60; 35,68; 28,84; 30,45; 28,43; 34,41; 29,70; 30,36; 29,29. 41,95; 40,05; 32,63; 28,61; 34,39; 35,48; 34,66; 30,71; 33,19; 396 ц НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИКИ Выясним, удовлетворяет ли данная марка стали требованиям заказчика, и оценим по результатам экспериментов истинный предел ее текучести.
Другими словами, проверим по заданной выборке основную еипотезу Но вида (9.2) о том, что йе — — 30, против альтернативной еипотезы Нз о том, что йв ф ЗО. Гипотезу Нд будем проверять при помощи критерил знаков. Вариаиионный рлд рассматриваемой выборки имеет вид 29,49; 29,60; 29,70; 30,69; 30,71; 32,00; 34,41; 34,66; 34,80; Выборочное значение статистики Я(30), вычисленное в соот- ветствии с формулой (9.5) по заданной выборке, равно 17.
По таблице распределения Я(ЗО) для и = 25 находим Рзо(Я(ЗО) > 17) = 0,0539, Рзо(Я(30) > 18) = 0,0216. Поэтому гипотеза Нв отклоняется на уровне значимости о < < 0,0539 и принимается на уровне значимости о > 0,0539. Неизвестный параметр й оценим медианой вариационного ряда рассматриваемой выборки.
Эта медиана равна 30,71. Построим доверительный интервал уровня доверил 1 — о, где а/2 = 0,0216. Так как з1 7з — — 18, то с вероятностью 1 — о = 0,9568 Х1в) < й < ХПв1. Поскольку Х1в1 = 29,97, ХПв) = 34,39, то с вероятностью 0,9568 29,97 < й < 34,39. Пример 9.6. Решим предыдущую задачу (см. пример 9.5) при помощи критерия знаковых ранзов Вилкоксона. 28,43; 29,97; 32,63; 35,48; 28,61; 30,36; 32,77; 35,68; 28,84; 30,41; 33,19; 40,05; 29,29; 30,45; 34,39; 41,95. 9.3.
Решение типовых примеров 397 Упорядоченный массив средин Уолте выборки из примера 9.5 состоит из И = 325 чисел и имеет вид 28,43; 28,52; 28,61; 28,64; 28,72; 28,84; 28,86; 28,95; 28,96; 29,02; 29,05; 29,06; 29,06; 29,11; 29,15; 29,17; 29,20; 29,22; 29,27; 29,29; 29,29; 29,39; 29,39; 29,40; 29,42; 29,44; 29,45; 29,48; 29,49; 29,49; 29,51; 2Я,53; 29,55; 29,56; 29,57; 29,60; 29,60; 29,60; 29,62; 29,63; 29,64; 29,65; 29,65; 29,66; 29,70; 29,73; 29,76; 29,77; 29,79; 29,82; 29,83; 29,85; 29,87; 29,93; 29,95; 29,97; 29,97; 29,98; 29,99; 30,00; 30,01; ЗО,ОЗ; 30,03; 30,05; 30,07; 30,09; 30,10; 30,15; 30,16; 30,16; 30,19; 30,19; 30,20; 30,21; 30,22; 30,30; 30,33; ЗО;34; 30,36; 30,38; 30,40; 30,41; 30,42; 30,43; 30,45; 30,52; 30,53; 30,53; 30,55; 30,56; 30,57; 30,58; 30,60; 30,62; 30,64; 30,69; 30,69; 30,70; 30,71; 30,73; 30,75; 30,80; 30,81; 30,81; 30,85; 30,90; 30,96; 30,98; 31,02; 31,03; 31,06; 31,12; 31,13; 31,16; 31,18; 31,19; 31,20; 31,22; 31,23; 31,24; 31,30; 31,34; 31,34; 31,35; 31,37; 31,40; 31,41; 31,42; 31,44; 31,49; 31,50; 31,51; 31,52; 31,54; 31,55; 31,56; 31,58; 31,59; 31,61; 31,61; 31,62; 31,63; 31,64; 31,66; 31,67; 31,70; 31,73; 31,74; 31,75; 31,77; 31,80; 31,82; 31,82; 31,84; 31,85; 31,94; 31,94; 31,95; 31,95; 31,96; 31,97; 32,00; 32,00; 32,01; 32,04; 32,04; 32,05; 32,05; 32,06; 32,08; 32,13; 32,14; 32,15; 32,16; 32,18; 32,18; 32,19; 32,20; 32,25; 32,26; 32,31; 32,31; 32,38; 32,38; 32,38; 32,38; 32,39; 32,40; 32,41; 32,42; 32,43; 32,48; 32,49; 32,51; 32,53; 32,54; 32,54; 32,55; 32,55; 32,56; 32,56; 32,58; 32,59; 32,59; 32,60; 32,60; 32,62; 32,63; 32,64; 32,67; 32,68; 32,69; 32,70; 32,72; 32,74; 32,75; 32,77; 32,82; 32,91; 32,92; 32,94; 32,96; 32,98; 33,02; 33,04; 33,06; 33,08; 33,09; 33,18; 33,19; 33,1Я; 33,20; 33,20; ЗЗ,ЗЗ; 33,40; 33,51; 33,52; 33,58; 33,59; 33,64; 33,71; 33,72; 33,74; 33,78; 33,79; 33,80; 33,841 33,93; 33,99; 34,05| 34,13; 34,15; 34,23; 34,24; 34,33; 34,33; 34,3$; 34,40; 34,41; 34,44; 34,45; 34,53; 34,54; 34,60; 34,60; 34,66; 34,6; 34,73; 34,77; 34,80; 34,83, 34,87; 34,94; 34,94; 35,01; 35,04; 35,05; 35,07; 35,14; 35,17; 35,19; 35,21; 35,23; 35,24; 35,25; 35,28; 35,37; 35,38; 35,39; 35,48; 35,58; 35,62; 35,68; 35,72; 35,78; 35,82; 35,96; 36,03; 36,15; 36,18; 36,20; 36,32; 36,33; 36,34; 36,41; 36,62; 36,97; 37,22; 37,23; 37,29; 37,36; 37,36; 37,43; 37,57; 37,77; 37,87; 38,17; 38,18; 38,30; 38,37; 38,71; 38,81; 40,05; 41,00; 41,95.
Проверим гипотезу Не против алвтернативной гипотезы Нз на уровне змачимостпи о=0,05. Значение статистики Т(30), 398 ц НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ СТАТИСТИКИ совпадающее с числом членов вариационного ряда выборки, превышающих 30, будет равно 265. По формулам (9.19) на- ходим 25 26 25 26-51 М Т(30) = — = 162,5, В Т(30) = = 1381,25, 4 24 /В Т(ЗО) 37,166. Поэтому, согласно (9.20), Т„в 162,5+ и ° 37,165. 30,56 < 9 < 33,51. Пример 9.7. Даны выборка 0,00; 0,31; — 0,81; -1,00; — 0,53; -0,64; 1,12; — 0,96; 1,47; -1,26; -0,62; -1,43; 0,96; -0,92; -0,66; — 1,09 3,98; 3,22; 0,25; — 1,36; 0,96; 1,39; объема т = 25 из распределения Коши с плотностью 1 рл(я) =, (1+ .г) Для о= 0,05 по таблице квантнлей стандартного нормального распределения (см. табл. П.2) находим и ~г = 1,96.
Поэтому То вгя 235,34. Так как 265 > 235,34, то гипотеза Ое отклоняется. Параметр В оценивается медианой упорядоченного массива средних Уолша, которая есть 163-й элемент массива и равна 32,00. Построим доверительный интервал уровня доверия а = 0,95. Так как Т, ~г — — Телгя — — 235,34, то, согласно формуле (9.25), нижняя и верхняя границы этого интервала есть 90-й и 236-й элементы упорядоченного массива средних Уолша.
Поэтому с вероятностью 0,95 399 9.3. Решение типовых примеров и выборка — 0,09; -0,46; 0,68; 0,29," — 0,71; 0,99; 0,02; -0,17," -0,81; 0,17; -0,63; 0,40; -0,64; 0,59; -0,09; -0,50; объема и = 28 из равномерного распределения на отрезке [ — 1, 1) с плотностью ру(х). Проверим при помощи критерия Смирнова гипотезу о равенстве функций рх и ру. Вариационный ряд объединенной выборки имеет вид -1,00; — 0,71; -0,53; — 0,09; 0,29; 0,96; 3,98. — 1,09; -0,81; -0,59; — 0,17; 0,25; 0,68; 3,22; -0,98; -0,66; -0,52; — 0,09; 0,31; 0,96; Соответствующие им величины 5;, 1= 1, й, вычисленные по формуле (5.15), таковы: 0; 0; 0; О; 0; 1; 0; 0; 1; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 0; 1; 1; О; 0; 0; 0; О. Поэтому П = 0,473, < ™В = 1,718.
'у' т+а Так как т и и велики, то для проверки гипотезы Не вос- пользуемся асимптотической формулой (5.13), в соответствии с которой Р(~~' > 1,718) О 004. — 0,88; 0,49; — 0,98; -0,02; — 1,43; -0,88; — 0,64; — 0,45; 0,00; 0,48; 1,12; 0,41; — 0,65; -0,85; -0,45; — 1,36; -0,85; -0,63; -0,43; 0,02; 0,49> 1,39; — 1,26; -0,81; -0,62; -0,24; 0,17; 0,59; 1,47; — 0,96; — 0,65; -0,50; -0,02; 0,40; 0,99; -0,00; -0,24; -0,59; -0,43 -0,92; -0,64; — 0,46; — 0,00; 0,41; 1,07; 400 а ненАРАметрические метОДы стАтистики Поэтому гипотезу Не следует отклонить на уровне значимости о > 0,004.
Проверим эту же гипотезу с помощью двухвыборочноео кригаерил Вилкоксока. Вычисляя по формулам (9.32) — (9.33) прн де — — 0 реализацию ю(0) случайной величины $У(0), получим и~(0) = 754. Так как т н и велики, то для нахождения квантнлей распределения статистики ранеое Вилкоксона воспользуемся приближенной формулой (9.37), выражающей нх через квантнлн стандартного нормального распределения. Имеем ю(0) — Ме ЩО) 754 — 756 ,Ф-.Ю(0),~31% По таблицам квантнлей стандартного нормального распределе- ння находим Поэтому двухвыборочный критерий Внлкоксона гипотезу об однородности не отклоняет. Это произошло нз-за того, что медианы обоях распределений совпадают (равны нулю), а не сдвинуты относительно друг друга.
Вопросы и задачи 9.1. Какие методы математической статистики называются непараметрнческнмн? 9.2. В чем преимущества н недостатки пепараметрнческнх методов по сравнению с классическими? 9.3. Дайте определение одновыборочной задачи о сдвнге. 9.4. В какой ситуации лучше всего прнменять методы, основанные на статистике критерия знаков? 401 Воеросм и задачи 9.5. В какой ситуации лучше всего применять методы, основанные на статистике критерия знаковых рангов Вилкоксона? 9.6. Таблицы какого распределения достаточно иметь для решения одновыборочной задачи при помощи критерия знаков? 9.7.
Какой критерий называется состоятельным? 9.8. Дайте определение ранга элемента числовой последовательности. 8.9. Какая задача называется двухвыборочной задачей о сдвиге? 9.10. Можно ли применять критерии знаков и знаковых рангов Вилкоксона для проверки гипотез о математическом ожидании нормального распределения? 8.11. Что называется средними Уолша? 9.12. Какие критерии называются критериями согласив? 9.13. Можно ли гипотезу о параметре сдвига в двухвыборочной задаче проверять не ранговым критерием Вилкоксона, а критерием Смирнова? 9.14. Являются ли состоятельными критерии Колмогорова, иР и Смирнова? 9.15. В каких случаях в двухвыборочной задаче лучше применять критерий Колмогорова, критерий оР и двухвыборочный критерий Вилкоксона? 9.18.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
