XV Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление (1081425), страница 30
Текст из файла (страница 30)
~ Пусть тс(1) - - решение уравнения (7.35), т.е. в каждый момент Ь вектор и(1) доставляет максимум функции Ф(1, и) = 1й (1) Ви. Согласно теореме 7.3, для л1обой нетривиальной функции Ф(1) такое решение существует и единственно. Функцию Ф(~,и) можно записать следующим образом: и Ф(~,и) = ав(~) Ви = ~1 ( ~~ Ьтф,ф)~иь, (7 38) и=1 г=-1 где Р(1) = (1р1(1), ..., 1рв(1)); и = (и1, ..., ит): В = (Ьа).
Так как область изменения каждой из переменных ие не зависит от остальных, функция Ф достигает максимума при фиксированном 1 в том и только в том случае, когда максимума достигает каждое слагаемое (~ Ь,Ь1(з,;(й))иь в (7.38). Но это слагаемое достигает максимума при иь = аь в случае отрицательного коэффициента при нем и при иь = Д в случае положительного коэффициента. Таким образом, компоненты вектора и, доставляющего максимум функции Ф, определяются соотношениями и сть, ,'1 Ьсаф,(Ь) < 0; ~=1 232 7.
ИРИНЦИИ МАКСИМУМА и Функция ~ Ь!ьи)!Я как фуикпия комплексного переменного 1=- ! ~ является аналитической !рункп пей. Выбрав единичный вектор т и = (О, ..., 1, ..., О) (единица стоит на Ь-и месте), направленный вдоль й-го ребра многогранника (7.37), получим п ФЯ Ви = ~~! Ь;ь!)!,(1). Предположим, что сумма 2; Ь,;ьф.;(1) тождественно равна нулю. Тогда с тюмощью рассуждений, аналогичных тем, гго приведены в доказательстве теоремы 7.3., заключаем, что Ф(!) = О, а это противоречит предположению о том, что вектор Ф*(т) ненулевой. Значит, 2 Ь!ьф,(7) непостоянна и, будучи аналитической, г=! может обращаться в нуль лишь в конечном числе точек.
Нам нужно показать, что число нулей этой функции не превосходит п — 1, так как каждый такой нуль соответствует неоднозначности и'(т) и является точкой переключения. Поскольку коэффициенты Ь,ь могут иметь произвольные значения, то ясно, что фактически надо доказывать; любая линейная комбинация функций !р!ф, !)!з(1), ..., !ри(1) имеет не более чем п — 1 действительный нуль. Согласно структуре общего решения линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, каждая из функций Щ(т), в совокупности составляющих решение системы (7.34), имеет вид ~~(1)еМ"'+ ~зфе~'!+... + ~,„Де~и", (7.39) где Л!, ..., Л, — совокупность всех различных действительт ных корней характеристического уравнения матрицы — А, 7! (!), ...; 1 (!) многочлены, причем степень многочлена ~,(!) меньше кратности т; корня Л, (Л7П11.
Любая линейная комбинация функций Щ(1) также имеет вид (7.39). Согласно следующей 7.4. Линейная задана оитнмаяьного быстродействия 233 ниже лемме, общее число действительных нулей функции вида (7.39) не превосходит (г1 — 1)+(г2 — 1)+... +(г — 1) +т — 1 = = (г1+ г. +... + г~) — 1 = и — 1. Лемма 7.1. Пусть Л~., Л2, ..., Л,„действительные попарно различные числа, )1(с), ..., 1 1г) многочлены с действительными коэффициентами, имеющие степени кч, ..., йго соответственно. Тогда функция (7.39) имеет не более чем 13 +... + йи, + ьа — 1 действительных корней**.
ф В приведенных выше теоремах речь шла о структуре оптимального управления в линейных задачах оптимального быстродействия. Для этих задач принцип максимума позволяет не только определить вид оптимальных управлений, но и получить условия единственности оптимального управления. Управление и1г) называ1от экстпремальным управлениеяе, если оно удовлетворяет принципу максимума. Для линейной задачи оптимального быстродействия с областью управления - многогранником управление и(г) является экстремальным, если существует такое нетривиальное решение йи(г) системы (7.34), что для него будет выполняться соотношение (7.35).
Это соотношение равносильно условию 1' теоремы 7.2, а условие 2' этой теоремы, как показано ниже, выполняется автоматически..Ясно, что всякое оптимальное управление является экстремальным. Поэтому, чтобы найти оптимальное управление, переводящее фазовую точку из положения х в положение х, нужно найти все экстремальные управления с теми же краевыми условиями, а затем среди них выбрать то, которое осуществляет перевод за наименьшее время. Возникает вопрос: могут ли существовать несколько экстремальных управлений, "*Доказательство леммы сн.
а книге: Понгауягия Л.С., Болепянский В.Г., Гомкреяидзе Р.В., Минченко Е. еР. 234 7. ПРИНЦИП МАКСИМУМА переводящих фазовую точку из положения х' в положение х~? Вообще говоря, да. Но если начало координат в пространстве управлений является внутренней точкой многогранника Г, то экстремальное управление единственно. Теорема 7.5. Пусть в пространстве управлений начало координат О есть внутренняя точка многогранника Г. Вели и® и й1с) — два экстремальных управления, переводящие фазовую точку из положения х в положение хэ = 0 за время 8э — 8с и 1э — 8с соответственно, то 1з = 1з и и(с) = ис,"с), 1 Е ~1ы 1г1. ~ Получим формулу для частного решения системы (7.30) при произвольном управлении и(с) и начальном условии х(сс) = х~.
Для этого обозначим через ср~(й)„ср~(Х), ..., ср" (Х) фундаментальную систему решений однородной системы с4х — =Ах, сй которая определяется начальными условиями (1, 1=у; сРэ'(1с) = с,у = 1 и ~0, с~у, где цт = М, сдэ:" сд'„), а через Р'я), Ф~® „,, сХ"11) фундаментальную систему решений однородной системы (7.34) с аналогичными начальными условиями: 1, 7,=с; МдИс)= ' ' г у=1 и ~0, 1~у, Для всех ~ имеет место соотношение (7.40) 7.4. Линейнан задача оптимального оыстродейстнин 235 Действительно, это условие, в силу выбора начальных условий, выполнено при 1 = 1ь Далее, — )и'(~), и')~)) = ) — и')Е, и'(~)) ~- ) т'(~), — т'(В) = а ~,1 ) ~ а = ( — А Фз Я, )й)'(~)) + (Фз (1), А~р' Я) = О. Таким образом, функция (Фз(1), )р'(1)) постоянна и ее значение при любом 1 совпадает со зна гением при 1 = 1ь В соответствии с методом Лагранжа вариации постоянных (Ъ'П1] общее решение системы (7.30) можно искать в виде х(1) = т Са(1))ра®.
Подставляя это выражение в систему (7.30), получаем )ра(8) = Ви(1). " аС,(1) Умножаем последнее уравнение скалярно на Ф1(с) и учитываем (7.40): Решение системы (7.30) с произвольным управлением и(1) и начальным условием а1 = (и1), т~~, ..., и~1) теперь можно записать в следующем виде: )1) =а т )1)( )~-~)и ( ) В ) ))и ).
)7а) а=1 )! Обозначим через ж(1) и ж(8) траектории, соответствующие управлениям и® и й(с) и выходящие из точки ж в момент 236 7. ПРИНЦИП МАКСИМУМА времени !!. По условиям теоремы !в(1я) = !в(вя) = О, или, согласно (7.41), И у:" (' У(" " ) )= я=! !в у:в!»>(сг ~( Ч!,в=!!) )=о ь=! с, Так как векторы !р'(8), г = 1, и, линейно независимы, из последних двух соотношений вытекает, что с; И =Х(в р,),в.р,!)4,=1(в'!'! в"(,!) ~, !'а! И с! Пусть Е2 ) Х2 и !р(Х) --.
решение сопряженной системы (7.34), для которого на отрезке (!;!, 121 выполняется соотношение (Ф(Х), Ви(т)) = Р(!Р(т)), (7.43) Ф(~) = ,'! Аь!р~(в). в=! Умножая (7.42) на Ал и суммируя по к, получаем с; 7в Г (!Р(т), Ви(т)) йт = (Ф(т), Ви(т)) йт. (7.44) Заметим, что для любого решения Ф(7) сопряженной системы (7.34) справедливо неравенство Р(!Р(8)) > О. (7.45) определяющее функцию и(!). Разложим функцию Ф(!) по базису !Р!(!), ..., !Р" (1): 7.4, Линейная задача оптимального оыстродгйотяня 237 Действительно, (Ф,Ви) = (В Ф, и) . Поэтому Р(Ф(1)) = шах(Ф(т), Ви) = гпах (В Ф(ь), ип .
Поскольку начало координат является внутренней точкой многогранника ТТ, то функция Г(1,и) = (В Ф(т), и) при фиксированном 1 может принимать как положительные, так и отрицательные значения, либо тождественно равна нулю. Если она не тождественный нуль, то Р(Ф(г)) > О, а в противном случае Р(Ф(~)) = О. Учитывая (7.43)., (7.45) и предположение ~я > Т2, из (7.44) получаем Итак, (7.46) Но, согласно определению, Р(Ф(1)) = тпах(Ф(1), Ви). Поэтому иеп (Ф(1), Ви(г)) = Р(Ф(1)) > (Ф(8), Вй(1)), 1 Е (1(, Т2]. Значит, с учетом (7.46) имеем (Ф(1), Ви(1)) = (Ф(1), Вй(1)), 1 Е (1м Т2]. 238 7. ПГИНЦИЛ МАКСИМУМА Но тогда в силу теоремы 7.3 оба управления и(1) и й(1), удовлетворяюшие (7.35) с одной и той же функцией Фф., тождественно равны: иЯ = й(Р), ~ Е ~1м Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
