билет11-25 (1080658), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

18)

Вывод формулы (расстояние между двумя скрещ прямыми)

Если прямые скрещив то напр векторы коллинеарные.

Рисунок нарисовать самим… (2 скрещ прямые, перенести одну прямую до пересечения с первой. Подсчитать их векторное произведение. Нарисовать. Нарисовать 2 плоскости парал YOZ

D = ПР(mxn)MN= (MN)*(mxn)/sqrt(mxn)

mxn

n

d M

n’

m N

Б) Однородные СЛАУ Док о структуре общ реш СЛАУ

Теорема

Если столбцы

решения

однородной СЛАУ Ах = 0, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

< Рассмотрим любую линейную комбинацию данных решений:

Тогда

^т-е. столбец х является решением однородной СЛАУ.

Следствие Если однородная СЛАУ имеет ненулевое Решение, то она имеет бесконечно много решений.

Минор – в матр А вычеркиваем i-ю строку и j-й столбец, в которых стоит элемент a(i,j). Из оставшихся элементов можно составить новую квадр матр (n-1) порядка сдвинув строки и столбцы после вычеркивания.

Базисный минор - минор который выполняет 2 условия: он не равен 0, его порядок равен рангу матр А.

Теорема о базисн миноре - Базисные столбцы матр А, соотв любому ее базисн минору М, линейно независимы. Любые столбцы матр А, не входящие в М, явл линейными комбинациями базистных столбцов.

19)

А)Определение Эллипса – множество всех точек на плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F и F есть величина постоянная.

2с – фокальное расстояние, 2а – большая полуось.

2с=F(1)F(2)<2a; F(1)M+F(2)M = 2a “”1””; F(1)(c;0); F(2)(-c;0) подставим в “1”

1. 2.

3. 4. 5.

Б) Обратная матрица – Пусть А- квадр матрица порядка n . Квадратной матрицу В называют обратной к А, если АВ=ВА=1.

Д: Предположим, что матр А имеет две обратные матр В и В' . Тогда, согласно опр обр матр, выполнены, в частн, равенства АВ'=1 и ВА=1 используя ассоциативность: В=В1=В(АВ')=(ВА)В' = 1В'=В' => матр совпали.

(A-1)t=(At)-1

Т: Если матрица А порядка n имеет обратную, то и транспонированная матрица At имеет обратную.

Д:Нужно убедиться что Аt(A-1)t =1 и (A-1)t Аt =1. Используя св-во произв матриц относ операц транспонир: At(A-1)t=(A-1A)t=1t=1; (A-1)tAt=(AA-1)t=1t=1.

20)

А)Гипербола – геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний до двух фиксированных точек есть величина постоянная.

1. 2.

3. После упрощения получим

4. 5. где Возведем в квадрат вторично и снова приведем подобные:

Б) Совместность СЛАУ (Док-во критерия совместн)

СЛАУ совместна если она имеет какие либо решения.

называют матрицей (коэффициентов) СЛАУ , а матрицу

расширенной матрицей СЛАУ .

Т: Для совместности СЛАУ Ах = b необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы А был равен рангу ее расширенной матрицы (А|b).

Необходимость. Достаточно показать, что ранг матрицы А системы не меньше ранга ее расширенной матрицы (A|b). Если система совместна, то, записывая ее в векторной форме, делаем вывод, что существуют такие значения неизвестных х1,.... хn Для

Которых где а, — столбцы матрицы А, b — столбец свободных членов. Это означает, что последний столбец b в расширенной матрице системы является линейной комбинацией остальных столбцов. Выберем базисный минор матрицы А. Он содержит строки с номерами 1, 2, к и столбцы с теми же номерами, т.е.

С огласно теореме о базисном миноре, базисные столбцы линейно независимы, в то время как для каждого j > к существуют такие

Поэтому столбец

является линейной комбинацией базисных столбцов матрицы А. Это означает, что М является также базисным минором и в расширенной матрице (во-первых, он ненулевой; во-вторых, если взять какой-либо окаймляющий минор М', то либо он будет минором матрицы А, т.е. нулевым, либо он будет содержать столбец b и, следовательно, не может быть ненулевым, так как его столбцы линейно зависимы). Поэтому Rg(A|b) = RgA.

Достаточность. Пусть Rg(A|b) = RgA. Выберем в А базисный минор М (как и выше). Тогда он будет базисным и в матрице (A|b). Значит, столбец b можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов а1,... а(k)

1. 2.

3. => СЛАУ совместна.

21)

Определение параболы как геометрическое место точек.

Параболой называется геометрическое место точек M(x, y) плоскости, для которых расстояние до фокуса равно расстоянию до директрисы.

Вывод канон уравн:

. После возведения в квадрат получим

.

Доказательство существования ненулевых решений однородной СЛАУ.

ФСР Однор СЛАУ

Любой набор из k=n-r лин независ столбцов, явл решениями однородной СЛАУ Ax=0, где n – количество неизвестных в системе , а r –ранг ее матрицы А.

Теорема

Если столбцы

решения

однородной СЛАУ Ах = 0, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.

< Рассмотрим любую линейную комбинацию данных решений:

Тогда

^т-е. столбец х является решением однородной СЛАУ.

Следствие Если однородная СЛАУ имеет ненулевое Решение, то она имеет бесконечно много решений.

Д: Если х – ненулевое решение однородной слау, то для любого λ€R решением однородной СЛАУ является и λx.

22)

Б)

Базисный минор - ненулевой минор максимального порядка.

Т(о базистном миноре) - Порядок базисного минора равен рангу матрицы.

23)

Б) Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы. Пусть дана система линейных уравнений с квадратной матрицей, т.е. количество уравнений равно количеству неизвестных. В матричном виде эту систему можно записать . Если матрица невырождена, т.е. ее определитель не равен нулю, то существует обратная матрица , и тогда ⟹ . Мы получили решение такой системы линейных уравнений с помощью обратной матрицы и заодно показали единственность решения такой системы.

Связь обратной матрицы с присоединенной

Мы уже заметили, что если определитель матрицы равен нулю, то она не имеет обратной. Оказывается, что если определитель матрицы не равен нулю, то она имеет обратную матрицу. Мы сейчас ее построим. Составим сначала матрицу из алгебраических дополнений: . Затем транспонируем эту матрицу:. Получившаяся матрица называется присоединенной. Умножим на : ,так как . Тогда .

24)

Б)Доказательство о структуре общего решения однородной СЛАУ

Теорема 9.5. Если x^¹, x^k — произвольная фун­даментальная система решений однородной СЛАУ Ах = О, то любое ее решение х можно представить в виде

где С1,....Ck — некоторые постоянные.

Эту теорему называют теоремой о структуре общего реше­ния однородной СЛАУ. Это вызвано тем, что, при заданной фундаментальной системе решений х^1..... X^^к однородной СЛАУ выражение

рис(9.9)

где C1,.... Ck принимают произвольные значения, описывает все множество решений. Соотношение называют общим решением однородной СЛАУ.

Д: Пусть некоторое решение однородной СЛАУ Ах = 0 имеет вид рис (9.10)

Не ограничивая общности, опять будем предполагать, что базисный минор матрицы А сосредоточен в верхнем левом углу, т.е. в первых г строках и столбцах. Тогда рассматриваемая однородная СЛАУ имеет те же решения, что и система

которую можно записать в виде

Эта система, рассматриваемая как СЛАУ относительно базисных неизвестных х1..., х(r), имеет невырожденную матрицу, так как ее определитель совпадает с базисным минором матрицы А исходной СЛАУ (матр mxn). Решая систему относительно базисных неизвестных (например, с помощью формул Крамера), получаем соотношения

рис(9.14)

Где aij принадлежит R — некоторые числа. Запишем фундаментальную систему решений x^¹,.... х^k в координатной форме:

и составим из столбцов x, x^¹,.....x^k матрицу

Последние к столбцов матрицы В образуют фундаментальную систему решений и, согласно определению, линейно независимы, а так как ранг матрицы равен максимальному числу линейно независимых столбцов, то RgB >= к. Покажем, что Rg В <= к. Так как столбцы матрицы В являются решениями системы Ах = 0, их элементы удовлетворяют соотношениям (9.11), т.е.

(рис 9.12)

где i = (0, r). Вычтем из первой строки матрицы В линейную комбинацию последних к=n-r строк с коэффициентами a(1,r+1).....a(1n). Тогда, согласно первому равенству из (9.12),получим нулевую строку. Аналогично преобразуем строки 2-ю, r-ю, используя оставшиеся равенства (9.12). В результате этих преобразований мы получим матрицу, у которой первые г строк нулевые. Так как при этом ранг матрицы не меняется, то RgВ<=п-r=к.

Поскольку RgB=к, а последние к столбцов матрицы В, как уже отмечалось, линейно независимы, то, они являются базисными и, следовательно, первый столбец x

согласно о базисном миноре, является их линейной комбинацией. Это означает, что существуют такие постоянные Ci(i = (1, к)), что выполнено равенство (9.9).

25)

Цилиндрическая поверхность

Представляет собой множество точек на прямых, параллельных фиксированной прямой. Эти параллельные прямые называются образующими цилиндрической поверхности.

Характеристики

Список файлов ответов (шпаргалок)