билет11-25 (1080658), страница 2
Текст из файла (страница 2)
и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой. Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют линейно независимыми.
Если a1 = ... = аn = 0, то, очевидно, a1a1 + ... + апап =0. Имея это в виду, можем сказать так: векторы а1,...ап линейно независимы, если из равенства (1) вытекает, что все коэффициенты a1,.....an =0.
Теорема Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных.
Необходимость. Предположим, что векторы а1,....ап линейно зависимы. Согласно определению линейной зависимости, в равенстве 1 слева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, например а1. Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть, меняя, как обычно, у них знаки. Разделив полученное равенство на a1, получим
т
.е. представление вектора а1 в виде линейной комбинации остальных векторов а2, .....аn.
Достаточность. Пусть, например, первый вектор а1 можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов:
Перенеся все слагаемые из правой части в левую, получим
т.е. линейную комбинацию векторов a1, ...ап с коэффициентами а1 = 1, a2 =,бетта,... ап = -бетта (n), равную нулевому вектору. В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны нулю. Векторы а1,.... ап линейно зависимы.
15)
А)Общее уравнение прямой в простр
A(1)x+B(1)y+C(1)z+D(1)=0
A(2)x+B(2)y+C(2)z+D(2)=0
Вывод ввекторного уравнения
Дано: прямая L, точка на этой прямой M(0), ненулевой еденичный вектор s.
Если точка М принадлежит прямой L, то вектор M(0)M коллинеарен вектору s. Т.к. s!=0, то вектор s явл базисом в простр V(1) коллинеарн ему векторов. Поэтому для некоторого числа t выполняется M(0)M=ts. Т.к. M(0)M = OM-OM(0)=r-r(0). Где r и r(0) –радиус векторы точек M и M(0) соотв, то усл M€L можно записать r = r(0)+ts.
M
Параметричесок уравнение
В пространстве положим что изв координаты {l,m,n} напр вектор s прямой L и точки М(0)(x0,y0,z0)€L в прямоугольн сит корд. Обозначми через (x,y,z) корд точки М.
Критерий принадл точки М прямой L явл условие колинеарности векторов M(0)M = {x-x0;y-y0;z-z0} и s. Что равносильно пропорц их координат. Обозначим через t коэффициент пропорциональности, получим равенства x-x0=tl, y-y0=tm, z-z0=tn тогда:
x=tl+x0
y=tm+y0
z=tn+z0
Канонические уравения прямой
Из параметрических уравнений можно искл параметр t и записать рез-т в виде:
(x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n.
Б)
Минор – в матр А вычеркиваем i-ю строку и j-й столбец, в которых стоит элемент a(i,j). Из оставшихся элементов можно составить новую квадр матр (n-1) порядка сдвинув строки и столбцы после вычеркивания.
Базисный минор – минор который выполняет 2 условия: он не равен 0, его порядок равен рангу матр А.
Доказательство баз минора
Т: Базисные столбцы матр А, соотв любому ее базисн минору М, линейно независимы. Любые столбцы матр А, не входящие в М, явл линейными комбинациями базистных столбцов.
Д: Пусть ранг матр А= (aij)mxn=r . Докажем, что базисные строки линейно независимы. Предположим , что они линзав. Тогда по теор о «лин зависим» одна из них явл лин комб ост базисных строк. Тогда минор М =0. Это противоречит тому что минор М базисн.
Докажем что любая строка не вход в баз минор явл лин комб баз строк. М расположен в левом верхнем углу. Покажем что опред порядка r+1 получ добавл к минору М элемен i-й строки и произв j-го столбца матр А равен 0. При j<=r опред =0, так как он содержит 2 одинак столбц. Если же j<r , то табл1=0, так как в этом случ табл1 явл минором матр А, порядок которого = r+1 и больше ран га матр. Раскл опр табл1 по посл столбцу:
Таблица 1
| a11 | … | a1r | a1j |
| … | … | … | … |
| ar1 | … | arr | arj |
| ai1 | … | air | aij |
Алгебр дополнения не зависят от параметра j. Кроме того А(r+1,r+1)=М!=0. Поэтому из посл равенства => для всех j=(1,n)
a(i,j)=b(1)a(1,i)+b(2)a(2,j)+…+b(r)a(r,j), где b(k)=-A(k,r+1)/A(r+1,r+1) k=(1,r) не зависят от j. т.е. i-я строка матр А явл лин комбин первых r ее строк.
Однородные СЛАУ Док о структуре общ реш СЛАУ
СЛАУ свободные член у которой =0.
Теорема
Если столбцы
решения
однородной СЛАУ Ах = 0, то любая их линейная комбинация также является решением этой системы.
< Рассмотрим любую линейную комбинацию данных решений:
Тогда
т-е. столбец х является решением однородной СЛАУ.
Следствие Если однородная СЛАУ имеет ненулевое Решение, то она имеет бесконечно много решений.
16)
А) Условие параллельности и перпендик 2-х прямых в пространстве
1. Если скалярное произведение двух векторов = 0 то векторы перпендикулярны
2. если векторное произведение 2-х векторов =0 то векторы параллельны
Вывод формулы между 2-мя простр прямыми
Cos(AB,AC) = (XAB*XAC+Y*Y+Z*Z)/sqrt(XAB2+Y2+Z2)*sqrt(XAC2+Y2+Z2)
Сам вывод нигде не нашел
Условие принадлежности 2-х прямых одной плоскости
2 прямые принадлежат плоскости только в том случае если эти прямые компланарны.
Скрещивающиеся прямые
Б) Базисный минор – минор который выполняет 2 условия: он не равен 0, его порядок равен рангу матр А.
Т: Базисные столбцы матр А, соотв любому ее базисн минору М, линейно независимы. Любые столбцы матр А, не входящие в М, явл линейными комбинациями базистных столбцов.
Д: Пусть ранг матр А= (aij)mxn=r . Докажем, что базисные строки линейно независимы. Предположим , что они линзав. Тогда по теор о «лин зависим» одна из них явл лин комб ост базисных строк. Тогда минор М =0. Это противоречит тому что минор М базисн.
Докажем что любая строка не вход в баз минор явл лин комб баз строк. М расположен в левом верхнем углу. Покажем что опред порядка r+1 получ добавл к минору М элемен i-й строки и произв j-го столбца матр А равен 0. При j<=r опред =0, так как он содержит 2 одинак столбц. Если же j<r , то табл1=0, так как в этом случ табл1 явл минором матр А, порядок которого = r+1 и больше ран га матр. Раскл опр табл1 по посл столбцу:
Таблица 2
| a11 | … | a1r | a1j |
| … | … | … | … |
| ar1 | … | arr | arj |
| ai1 | … | air | aij |
Алгебр дополнения не зависят от параметра j. Кроме того А(r+1,r+1)=М!=0. Поэтому из посл равенства => для всех j=(1,n)
a(i,j)=b(1)a(1,i)+b(2)a(2,j)+…+b(r)a(r,j), где b(k)=-A(k,r+1)/A(r+1,r+1) k=(1,r) не зависят от j. т.е. i-я строка матр А явл лин комбин первых r ее строк.
Метод окаймления
Минор М матр А называется окаймляющим для минора М, если он получается из последнего добавлением одной новой строки и одного нового столбца матр А.
Метод: Выбираем не нулевой минор первого порядка . К очередному не нулев минору послед прибавляем таки столбец и строку, чтобы новый окаймляющ минор был не 0. Если этого сделать нельзя то послед не 0 минор будет базисным.
Т: если для некоторого минора матр все окаймляющие его миноры =0, то он явл базисным.
Ранг матрицы равн максимальному не 0-му минору.
17)
А)
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости
Перпендик: Нормальный вектор плоскости и направл вектор прямой коллинеарные.
Парал: Нормальный вектор плоскости и направл вектор перпендикулярны
Вывод формулы для вычисления угла между простронст прямой и плоск
L: x/l=y/m=z/n
Пл Ax+By+Cz+D=0
Sin(фи) = (Al+Bm+Cn)/(sqrt(A^2+…)*sqrt(l^2+…..))
Условие принадлежности прямой заданной плоскости
Если 2 точки заданной прямой лежат в заданной плоскости, то прямая принадлежит заданной плоскости
Б)
Ранг и базисный минор матрицы
Ранг: Максимальный не нулевой минор матрицы.
Базисный минор – минор который выполняет 2 условия: он не равен 0, его порядок равен рангу матр А.
Доказательство баз минора
Т: Базисные столбцы матр А, соотв любому ее базисн минору М, линейно независимы. Любые столбцы матр А, не входящие в М, явл линейными комбинациями базистных столбцов.
Д: Пусть ранг матр А= (aij)mxn=r . Докажем, что базисные строки линейно независимы. Предположим , что они линзав. Тогда по теор о «лин зависим» одна из них явл лин комб ост базисных строк. Тогда минор М =0. Это противоречит тому что минор М базисн.
Докажем что любая строка не вход в баз минор явл лин комб баз строк. М расположен в левом верхнем углу. Покажем что опред порядка r+1 получ добавл к минору М элемен i-й строки и произв j-го столбца матр А равен 0. При j<=r опред =0, так как он содержит 2 одинак столбц. Если же j<r , то табл1=0, так как в этом случ табл1 явл минором матр А, порядок которого = r+1 и больше ран га матр. Раскл опр табл1 по посл столбцу:
Таблица 3
| a11 | … | a1r | a1j |
| … | … | … | … |
| ar1 | … | arr | arj |
| ai1 | … | air | aij |
Алгебр дополнения не зависят от параметра j. Кроме того А(r+1,r+1)=М!=0. Поэтому из посл равенства => для всех j=(1,n)
a(i,j)=b(1)a(1,i)+b(2)a(2,j)+…+b(r)a(r,j), где b(k)=-A(k,r+1)/A(r+1,r+1) k=(1,r) не зависят от j. т.е. i-я строка матр А явл лин комбин первых r ее строк.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
