билет2 (1080656)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Билет№2

• Любой ненулевой вектор пространства V₁, называют базисом в V₁. K. Любую упорядоченную пару неколлинеарных векторов в пространстве V₂ называют базисом в V₂.Любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов называют базисом в V₃.

ДОК единственности разложения векторов в базисе V_2. Выберем в этом пространстве базис, т.е. два неколлинеарных вектора e₁,e₂.Согласно теореме о линейной зависимости эти три вектора и любой третий вектор x, будучи компланарными, линейно зависимы. Поэтому один из них является линейной комбинацией двух других. При этом можно утверждать, что вектор х выражается через е₁ и е₂. Действительно, запишем линейную комбинацию этих векторов: в которой один из коэффициентов не равен нулю. Сразу делаем вывод, что , так как в противном случае в равенстве слева можно опустить первое слагаемое, и мы получим, что векторы e₁, е₂ линейно зависимы. Но этого быть не может, так как они неколлинеарны. Так как , мы можем разделить равенство на а. В результате, перенося последние два слагаемых в правую часть, получаем представление вида: которое называют разложением вектора x в базисе e₁,e₂,а коэффициенты λ₁,λ₂ этого представления – координатами вектора x в базисе e₁,e₂

Л инейные операции над векторами.

Под линейными операциями над векторами понимаются операции сложения (вычитания) векторов и умножения вектора на скаляр (число).

( Правило треугольника). Суммой векторов а и b называется вектор с = а + b, соединяющий начало вектора а с концом вектора b, если начало вектора b совмещено с концом вектора а .

(Правило параллелограмма). Суммой векторов а и b, имеющих общее начало, называется вектор, равный по длине и параллельный диагонали параллелограмма, построенного на векторах а и b, и выходящей из общего начала векторов а и b.

Очевидно, эти определения эквивалентны, т.е. определяют один и тот же вектор с = а + b.

Т. Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:

1. а + b = b + а для любых векторов а, b (коммутативность);

2. (а + b) + с = а + (b + с) для любых векторов а, b, с (ассоциативность);

3. Для любого вектора а выполняется равенство а + 0 = а.

4 . Для любого вектора а существует противоположный вектор - а такой, что а + (-а) = 0.

Справа приведены рисунки, иллюстрирующие доказательства первого и второго свойств. Третье и четвертое свойства очевидны:

3. а + 0 = ;

4. Если , и взять , то а +

(-а) = = 0.

Опр. 1.1.3. Суммой n векторов a₁, a₂, a₃, _… a_n называется вектор, соединяющий начало вектора a₁ с концом вектора a_n, если начало вектора a₂ совмещено с концом a₁, начало a₃ совмещено с концом a₂ и т.д. (рис.3).

Опр. 1.1.4. Разностью векторов а и b, имеющих общее начало, называется вектор, соединяющий конец вычитаемого вектора с концом уменьшаемого.

Разность векторов а и b можно найти, сложив с вектором а противоположный вектор -b: а - b = а + (-b).

О пр. 1.1.5. Произведением вектора а на в скаляр (вещественное число) называется вектор , коллинеарный вектору а, сонаправленный с ним, если и противонаправленный к а, если , имеющий длину .

Теорема 1.2.2. Операция умножения вектора на число обладает следующими свойствами:

1. (ассоциативность);

Действительно , обе части неравенства представляют собой векторы, коллинеарные вектору a. Поэтому равенство будет верным, если совпадут длины векторов и их направления. Равенство длин очевидно, если числа λ и μ имеют противоположные знаки, то оба вектора в равенстве являются противоположно направленными по отношению к a. Итак, в любом случае в равенстве стоят векторы одного направления и одинаковой длины,т.е. равные векторы.

2. (дистрибутивность относительно суммы скаляров);

При λ=0 и μ=0 свойство очевидно, слева будет нулевой вектор, справа сумма нулевых векторов. Если они не равны 0, свойство вытекает из правила параллелограмма и свойств подобных параллелограммов. + рисунок!

λ b λa+ λb

b a+b

a λa

3. (дистрибутивность относительно суммы векторов);

Здесь 3 коллинеарных вектора. До-во сводится к подсчету длин векторов. Если λ и μ имеют положительные знаки, то все 3 вектора имеют одно направление, то справа складываются длины а доказываемое сводится к: , если оба отрицательны аналогично.

Пусть λ и μ имеют противоположные знаки. Для определенности λ>0, μ<0.При сложении векторов λа и μа вычитаются их длины, так как складываются векторы противоположного направления. Получаемый при этом вектор будет однонаправленным с а при |λ|>|μ|, и противоположного направления в обратном случае. Его длина, согласно определению произведения вектора на число, равна |λ+μ||a|, учитывая направление этого вектора, Заключаем, что он равен (λ+μ)a, т .е. доказываемое равенство верно и при противоположных знаках.

4. Для выполняется равенство ;

5. Вектор, противоположный вектору а, получается умножением вектора а на скаляр ( );

6. При умножении на скаляр 0 получается нулевой вектор: 0.

7 . Если умножить на скаляр , то получится единичный вектор, сонаправленный с вектором а, т.е. орт вектора а: a₀=a/|a|

Однородные матрицы

Т . Если столбцы x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…x^(s) – решения однородной СЛАУ Ax=0, то любая линейная комбинация, так же является решением этой системы.

ДОК.Рассмотрим любую лин. Комбинацию данных решений: , тогда

Т.е. столбец x является

решением однородной СЛАУ Ax=0.

Следствие. Если однородная СЛАУ имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много решений.

Д ОК.Если x – ненуленвое решение однородной СЛАУ, то для любого решением однородной СЛАУ является и λx

ОПР. ФСР-любой набор из k=n-r линейно независимых столбцов, являющихся решениями однородной системы СЛАУ Ax=0, где n – кол-во неизвестных, r – ранг матрицы А.

С ледствие. С помощью нормальной ФСР однородной СЛАУ множество всех решений можно описать формулой где постоянные принимают произвольные значения.

Следствие.Для существования ненулевого решения у однородной квадратной СЛАУ необходимо и достаточно, чтобы ее матрица была вырождена. (т.е. чтобы ее определитель был равен 0)

• Теорема о структуре общего решения СЛАУ. Если x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…x^(s) – произвольная фундаментальная система решений однородной СЛАУ. Ax=0, то любое её решение x можно предст. в виде x=с₁x⁽¹⁾+…+c_kx^(k), где с₁….с_n – некоторые постоянные. Соотношение называют общим решением однородной СЛАУ.

• ОПР.Однородная СЛАУ Система m линейных уравнений с n неизвестными (СЛАУ) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Т.е. это СЛАУ свободными членами которой являются 0.

Характеристики

Тип файла документ

Документы такого типа открываются такими программами, как Microsoft Office Word на компьютерах Windows, Apple Pages на компьютерах Mac, Open Office - бесплатная альтернатива на различных платформах, в том числе Linux. Наиболее простым и современным решением будут Google документы, так как открываются онлайн без скачивания прямо в браузере на любой платформе. Существуют российские качественные аналоги, например от Яндекса.

Будьте внимательны на мобильных устройствах, так как там используются упрощённый функционал даже в официальном приложении от Microsoft, поэтому для просмотра скачивайте PDF-версию. А если нужно редактировать файл, то используйте оригинальный файл.

Файлы такого типа обычно разбиты на страницы, а текст может быть форматированным (жирный, курсив, выбор шрифта, таблицы и т.п.), а также в него можно добавлять изображения. Формат идеально подходит для рефератов, докладов и РПЗ курсовых проектов, которые необходимо распечатать. Кстати перед печатью также сохраняйте файл в PDF, так как принтер может начудить со шрифтами.

Список файлов ответов (шпаргалок)