Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Массой оси пренебречь. Отведи 7 в= —,1е1 — — з!пЫ~, 1вв= —, ~м1+ — з1пЫ); в 2 1в я 7" 2 Л 2с Мв'+С+4А ( — ) 48.44 (1228), Какую работу нужно совершить для сообщения тележке массой М скорости и в следующих случаях: 1) На полу тележки лежит (поперек) однородный цилиндрический каток массой т и радиусом г. Радиус инерции катка относительно его оси р, Каток может катиться по полу тележки без скольжения.
2) Указанный каток неподвижно скреплен с полом тележки. Массой колес пренебречь. Отлет: Ав= 2 + — „„и, Ав — — — 2~ +у)и", Ав)Ав. М ав+гв7 48,48 (1228). Найти ускорение тележки, по платформе которой катится без скольжения круглый цилиндр, если сама тележка скаты- В77 вается тоже без скольжения по плоскости, наклоненной к горизонту под углом к и параллельной платформе тележки; обрззующие цилиндра перпендикулярны к линиям наибольшего ската платформы. Масса тележки без колес М, масса всех колес т, масса цилиндра М,; колеса считать однородными сплошными дисками.
6М+ бед -1-2Мд Ответ: пд= 6М+9 +2М 48.48 (1227). В дифференциальном регуляторе, изображенном на чертеже, валы Од и 08, вращающиеся в противоположные стороны с угловыми скоростями сод и о«д, снабжены зубчатками Мд и Мо и при помощи двух пар сателлитов С сцеплены с шестерней Р, играющей роль рукоятки сателлитов. Если юд равно юм то шестерня Р остается неподвижной. В противном случае Р начнет вращаться и через вал А приведет в действие не показанное на чертеже регулирующее приспособление; последнее создает при этом передззае- Я мые валам О, и О„моменты, причем опережающий вал будет тормозиться, а отстающий — увеличивать свою угловую скорость.
Считая эти моменты пропорциональными угловой скорости шестерни Р (коэффициент пропорционзльности обозначается через п) и одинаковыми по величине для того и другого вала и обозначая через ! приведенный к оси 0«08 момент инерции системы, найги А закон изменения угловых скоростей юд К *адаче 48.48. и юд, если их начальные значения аш и о«до не равны друг другу. Моменты инерции >д и,/а валов Од и О, с шестернями М, и М, считаем равными друг другу; приведенный к оси вращения шестерни Р момент инерцин этой шестерни и проводимых ею через вал А в движение частей механиама обозначаем через,Уп, при решении задачи вводится еще в рассмотрение момент инерции !с сателлитов относительно оси их собственного вращения (эта величина не фигурирует в окончательном результате). Под приведенным к оси вала моментом инерции системы понимается сумма з'=2.!д+3п+41с, где 3с — дюмент инерции одного сателлита относительно оси 0«0,.
! «4 1 Ответ: од= — шдо(1+е «4)+ — в!до(1 — е «'), 1 -«4 ода= 2 задо(1 — е )+ 2 оддо(1+е )> 2я где Х= —, 2 ' 48А7 (1228). К концам нити А и В, пропущенной через отверстие О, сделанное в гладкой горизонтальной плоскости стола, присоединены 378 две точечные массы тг и тз. Первая масса все время остается на поверхности лола, тогда как вторая движется по вертвкали, проходящей через точку О.
В начальный момент ОА = ги скоРость массы и, Равна нУлю, тогда ггг— как скорость па массы т| направлена перпендикулярно к начальному положению участка нити ОА. Доказать, что при этом условии массз и, будет совершать колебательное движение; нзйти размах а этого колебании и дать выражение для его периода Т. Нить считать не- К задаче 4ВА7. весомой, нерастяжимой и абсолютно гибкой, - винна г а мгоч а~год а! где газ= ~/ — ~2га+ — ) + — . 4глая г 4глал1 4жал' 48.48 (!229). Однородный диск радиуса й, имеющий массу М, может вращаться вокруг своей горизонтальной оси О. К диску на нити АВ длины 1 подвешена материальная точка массы т.
Составить уравнения движения системы, !. Ответ: (т+ — ~Рф+тй1 соя(р — ф) ф+ +тй~-'п(у — „ф)Р+тлйз!пф=о -М тй1соз(9 — ф) ф+тг'зф тйгз!п(и ф) фз+ Г' + тд) з!п ф = О, где 9 — угол поворота диска, а ф — угол в отклонения нити от вертикали. и 48.49 (1230). Диск системы, описанной к,ааааа щчз в предыдущей задаче, вращается с постоянной угловой скоростью а. Составить уравнение движении материаль. ной точки. Ответ: ф — аз — з1п(м1 — ф)+-~ з!пф=О. й Т 48.80 (1232).
Колесо катится без скольжения по горизонтальной плоскости. Радиус колеса а, его масса М; С вЂ” момент инерции колеса относительно оси, проходящей перпендикулярно к плоскости колеса через его центр; А — момент внерции колеса относительно его диаметра. Составить уравнения движения колеса. Указание. Использовать уравнения Лагранжа с множителями для иеголономных систем. Ответ: — (Афз!п'Ь) — С(ф+фсозЬ) 9з1п 9= 0„ (С+та')а-. (ф+~созб) — тачафз!п9=0, (А+ таз) 9 — АфчыпЬ сов 9+ (С+ тач)(ф+ йсозб) ф з1п Ь= — тра соз 9, где ф — угол поворотз колеса вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости; 9 — угол наклона плоскости колеса и горизонту; 879 ф азимут вертикальной плоскости„содержзшей диаметр колеса и про ходящей через точку касания, 48.51 (1233). Конденсаторный микрофон состоит нв последовательно соединенных катушки самоиндукции, омического сопротивле- ния и конденсатора, пластины которо У го связаны двумя пружинзми общей Рйl жесткости е.
Цепь присоединена к элементу с постоянной электродвижущей силой Е, а нз пластину конденсатора действует переменная сила р(1), Коэффициент самоиндукции катушки омическое сопротивление Й,емкостьконденсатора в полозгении равновесия сил' стены Сь, рзсстояние между пласти- К ллллчс лз.б!. нами в этом положении а, масса по- движной пластины конденсатора т. Ввести электрические и механические обобщенные координаты и составить уравнения движения системы в форме Лагранжа.
43 У к а з а н и е. 1. Потенциальная энергия конденсатора равна ь'= т, 2С (С вЂ” емкость конденсатора, 4 †зар на его обкладках); влектрокннетнче- 1 сная энергия вычисляется по формуле Т= — Е1ь~Ь вЂ” коэффициент самоии- 2 дукции, 1= — — сиза тока в цепи). «а вг 2. За обобщенные коорлннаты принять изыененне заряда конденсатора д и смещение пружин из положения равновесия. Тогда полный заряд будег 4,+ 4, а полное смещение х„+ х; здесь аь — заРЯд конденсатоРз, а х, — смещение пружин от нейтрального положения в положение равновесия сйстемы.
' Ответ: тУ+ех — — 4 — —,, =р(1)' т.р+ го) — — х+ — — —, = О. Ь' о дх а с, ас, 48.82 (1234). Опрелелить частоты малых свободных колебаний конденсзторного микрофона, описанного в прелыдущей зздаче. Сопротивлением электрической цепи пренебречь, Ответ: Ут ==1г -+ — 1гг ~ — — —, +4 —, р"2 )г гл Сел у ~гл СьЕ / аьгяу.' 48.63 (1238). Определить электрические колебания, возникающие в конденсаторном микрофоне, описанном в задаче 48.81, при внезапном приложении постоянного давления ра к пластине микрофона. Для упрощения вычислений пренебречь массой подвижной плзстины и считаттч что омическое сопротивление пепи равно нулю; следует также отбросить нелинейные члены в уравнениях движения.
Ответ: При са > чб заряд конденсатора равен С,а са 1 — — ", сс,а'/ 48.34 (1236). Изображенная на чертеже система отвечает принципиальной схеме электромагнитного датчика, используемого для записи механических колебаний. Масса якоря Л, ;кесткость пружин с. Коэффициент самоиндукции катушки изменяется вследствие из- суй с,2 менення длины воздушного зззора в магннтопроводе Ь =Е (ж) Ех — вертикальное смеще- Е пне якоря ив положения, когда пружины не напряжены).
К катушке присоединена элек- К ааааче 4а.бе. трическая пень, состоящая из элемента с заданной э. д. с. 22 Омнческое сопротивление цепи равно Й. Составить урзвнения движения системы и определить ее положение равновесия. Указание. За обобщенные координаты прпнять смещение х якоря я дд! заряд ч, соответствующий току 4 в цепи ]1= — - ч д! !' Олаастт Уравнения движения: . дЕ 1 дЕ т+ '"+ 4) д ' 4) +ел= А' дх 2 дх Е В «положении РавновесиЯа х=ха и (=4)=(а, где !«=в ! !дЕ! сх =Ма+ — 1- ! !а. 2 ],дх)а 48.бб (1237). Составить уравнения малых движений вблизи поло.
жения равновесия электромагнитного дзтчика, описанного в предыдущей задаче. Указание. За обобщенные координаты взять яэмеиеияе заряда е н вертикальное перемещение якоря яэ положения равновесия $. Фуякцию Е(х) разложить в ряд ! =!. (ха+1)=!а+ЕД+... и ограничиться в этом ряду первымя двумя членами. Отаеш: Еае+йе+Ет!«с=О; Л$+с$ — Ь,(ее=О. 4836 (1238). Основание датчика, описанного в задаче 48.54, совершает малые вертикальные колебания по закону $=$аз!пп4(.
Определить закон движения якоря и ток в электрической цепи датчика. Олтаетт ! = — Ет(а!)т (с — Лота) соб щ(+ Л14«л + (Е 4!«щ + Ь ащ (с — Мща)] ейп е!), х = да ( — (Е]!«Ь«пта + (йа + Ьаща) (с — Лптх)] зш щ! + ФЕ,'!«е!! соб ба(], где ба=!са(с — Лща)а+баб!Е',!44+Ь (с — Лща)]а. 48.б7 (1239). Электромеханическая движущая система состоит из цилиндрического постоянного магнита с конпентрическими полюсамн А, создающего радиальное поле, и якоря массой Л, опирающегося на пружину жесткости с. Якорь соединен с проволочной катушкой, состоящей из и витков, н с механическим демпфером, сопротивление которого пропорционально скорости якоря (коэффициент сопротивления ])); средний радиус катушки г; ее коэффициент самоиндукциз Ь, 36! К задаче Ч8.58 омическое сопротивление Й, магнитная индукция в зазоре магнита В.
К аажимзм катушки приложено переменное напряжение )г(!). Составить уравнения движения системы. У к а з а и и е. Обобщенные силы, отвечающие взаимодействию катушки а магнита, равны О = — 2лглВх, Оз = 2кглВ4 (Ое — электродвижущая сила, иидуцвруемвя в электрической цепи, а Π— сила взаимодействия катушки с магнитом). Ответ: Еф+ !чг) + 2игпВх= Ъ'(!); Мх+ рх+ сх — 2ягггВчт=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
