Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 71
Текст из файла (страница 71)
считая, что вращение последнего происходит вокруг поступательно перемещающейся оси, проходящей череа его центр масс. Ось вращения маховика совпадает с осью вращения аппарата; У и .та — моменты инерции маховика и аппарата (вместе с маховиком) относительно общей оси вращения, Оррраврэ. А о ° о - ° Ьао (,Р— 0 — 2 Р о б1.10. Считая, что статор электромотора системы, описанной в вадаче 51.9, создает вращающий момент Мар — — Мо — дар, где М, и к — некоторые положительные постоянные, найти условие, необходимое для того, чтобы торможение вращения космического аппарата проиаошло ва конечное время, Предполагая, что это условие выполнено, определить время Т торможения.
Ответ: Мо)а(4 —.1)Яь Т= — 1п ' ' „где , рИ, о У "Р(йо 0' 51.!1. Определить угол ф, на который повернется космический аппарат аа время торможения вращения, если оно осуществляется способами, описанными в вадачах 51.9 и 51.10. Яо Мо — а (ро — У) Яо Орлвет: ф — ' ', ' '1п М, а' (Уо — Р) Мо — а (Ро — 0 "о ' 51.12. Лля поворота корпуса космического аппарата испольвуется электродвигатель-маховик, уравнение движения которого на вращающемся аппарате имеет вид и + ор,рТ = и, где и — относительная угловая 898 скорость маховика, Т вЂ” его постоянная времени, и-управляющ напряжение, принимающее значения,.+:и. Определить длительность гт разгона (и=и,) и торможения гя(д = — и,) маховика, если первоначально невращающийся корпус при неподвижном маховике требуется повернуть на заданныи угол и остановить.
Ось вращения маховика проходит через центр масс космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата относительно общеп оси вращения соответственно равны .I и .lа. о °: ь — +т ~ И -~~ г:=*ч. 1а=Т1п(1+)/1 — е — ~г) где т ~~'Р ы т' ГЛАВА Х!!! УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ, ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ 6 62. Определение условий равновесия системы.
Устойчивость равновесия 62.1 !1 162). Ось вращения АВ прямоугольной пластины наклонена под углом в к вертикали. Определить момент сил Я относительно оси АВ, который нужно приложить к пластине для ее поворота на угол О. Вес пластины Р; расстояние от центра тяжести О пластины до оси АВ равно а. Ответ: М = Ра з!и за!п 0.
к заяачс аал. к заааче аал, 62.2 (1168). Шарнирный шестиугольник, состояший из шести равных однородных стержней весом р каждый, расположен в вертикальной плоскости, Верхняя сторона шестиугольника АВ неподвижно закреплена в горизонтальном положении; остальные стороны расположены симметрично по отношению к вертикали, проходяшей через середину АВ, Определить, какую вертикальную силу О надо приложить в середине горизонтальной стороны, противоположной АВ, для того чтобы система находилась в безразличном равновесии, Ответ: !я'= Зр.
400 62.3 (1164). Е однородному стержню АВ длиной 2а и весом О, подвешенному на двух нитях длиной ! каждая, приложена пара сил с моментом .М. Точки подвеса нитей, расположенные на одной горизонтали, находятся на расстоянии 2Ь друг от друга. Найти угол Ь, определяющий положение равновесия стержня. Огпвет: В положении равновесия угол Ь находится из уравнения М )/ Тз — (а — Ь)' — 4айз!п —, = лайз!пЬ. 2 62А (1166). !1рямолннейный однородный стержень АВ длиной 2! упирается нижним концом А в вертикальную стену, составляя с ней угол ч>.
Стержень опирается также на гвоздь С, параллельный стене. ~"'. зе — — а'а— с >2 К зада~е 52.3. К задаче 52.Е К задаче 52,$. и, наконец, в третьем положении равновесия 1 ! у>=уз=О, х>= 2 (Š— 2) ле= 2 (Е+2). К задаче 525. 62.7 (1168). Концы однородного весомого стержня длиной 1 могут скользить без трения по кривой, заданной уравнением у(х, у)=0. 40! Гвоздь отстоит от стены на расстоянии а.
Определить угол в по ложе ни и р а вно вес и я стержня. дав /а Ответ: 5!пе>= 2> —. У ! 62.6 (1166). На гладкий цилиндр радиуса г опираются два однородных весомых стержня, соединенных шарниром А. Длина каждого стержня равна 2а. Определи~ь угол 26 раствора стержне, соответс>вующий положению равновесия. Отвелп Угол Ь определяется из уравнения а !626 — г !626 — г= О. БХ6 (1167).
На нсрастяжимой нити, перекинутой через бесконечно малый блок, висит невесомый стержень, к концам которого прикреплены грузы Р, и Ре. Длина стержня Е данна нити Е. Определить У положения равновесия системы. Одпвелт: В одном положении равновесия ОЛ В а=!) и — '= —,'; в другом положении рзвновесия з 1 ! уз=уз=О, дг> — — 2 (6+1), хз= 2 (Š— 1)з Р Определить положения равновесия стержня (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х — по горизонтали вправо,) Ответ: Координаты концов стержня, отвечзющие положениям равновесия, будут решениями системы (х,— х,)'+(у,— ув)в — Р=О„У(хь у,)=0, Дхь ух)=0, 2 (у, — у,) — — = (хх — хг) !! — а — + — — !. дУ дУ Г дУ дУ дУ д/т дл; дх, (дх, у, ду,дх,)' 62.8 (1169). Однородный весомый стержень длиной 7 может скользить своими концами без трения по параболе у=ахв.
Опреде- лить возможные положения равновесия, (Ось у направлена по верти- кали вверх, ось х — по горизонтали впрзво.) Ответ: Первое положение равновесия: 1 !в Ха — — — хв= ч., ув=ув=а-д-, Второе положение равновесия со с=~ а! по формулам 1 Хг= — е 1 в определяется нз уравнения ! 1 ! ув=4— е хв= — е ув= -в! 1 % 4а ' 2а 4а 62.9 (1 170). Решить зздачу 62.7 в предположении, что кривая является эллипсом (7(х, у)= †, + †, — 1 =О), а длина стержня удовлетворяет условию 1( 2а. Определить возможные положения равновесия стержня. У к в з в н н с. Вместо декартовых координат следует ввести координату т (знсцентрнчесную аномалию) с помощью соотношений х = асов 0 у = ь мп ч. Ответ: Положения равновесия отвечают значениям энсцентрических аномалий, определяемым из уравнений: .Г! а) рв=2н — Рь а!прв= 1,' — (сУшествУет пРи ! =2ф, б) а!п — = у —, сов —,= 2а (существует при Фв — % в ! тв+тв 2 г' 2а' 1 —— а, У к а з а н и е.
Положение колечка А следует характеризовать центральным углом т= ~ВОА. Надо отдельно рассматривать равновесие колечка на верхней н нижней полуокружностлх. 402 а) Ь н 1(2а). 62.10 (1171). По гладкому проволочному кольцу радиуса )с, расположенному в вертикальной плоскости, может ' скользить без трения колечко А. К этому колечку на нити подвешен груз весом Р; другая нить, перекинутая через ничтожно малый блок 8, расположенный на конце горизонтального диаметра большого кольца, имеет на конце С другой груз весом Я. Определить положения равновесия нолечка А и исследовать, какие из них устойчивы, кзкие нет. Ответ: На верхней полуокружности (О (у (к) при любых значениях Св(Р существует положение неустойчивого равновесия з!и-= 41 у —;,+8 — — 1, причем 0(<~ес я(2.
на нижней полуаокружности (к(р(2и) при Я(Р =-1 существует положение устойчивого равновесия з. ь - -'( ф' з' Ч. з .1. '~, Зз причем к( ре( —,. К задаче 52.11 403 52Л! (!172). Однородная квадратная пластинка может вращаться в вертикальной плоскости около оси, проходящей через угол О; вес пластинки Р, длина ее стороны а.
К углу А пла- К задаче 22 Ю, стинки привязана нить длиной (, перекинутая через малый блок В, отстоящий на расстоянии а по вертикали от точки О. На нити висит груз веса Я=-~- Р. Определить у'л положения равновесия системы н исследовать их устойчивость. В Олгввт: Положения рзвновесия отвечзют следующим значениям угла (л ф1 = и(б, фа — к(2, ра=3к(2. Второе и третье положениа равновесия устойчивы.
0 Ф Б2.12 (1173). Однородный весомый стержень АВ длиной 2а опирается на криволинейную на- 4 прзвляюшую, имеюшу1о форму полуокружности з радиуса й. Определить, пренебрегая трением, положение равновесия и исследовать его устойчивость. Ответ: В положении равновесия стержень наклонен к горизонтальной линии под углом пе, определяемым из уравнения соз уе — — — [а + К' а'+ 32йз1 [предполагается, что 1 — Я(а(2Я), Это по- 3 ложение равновесия устойчиво. 62ЛЗ (1174). Подъемный мост ОА схематически изображен на чертеже в виде однородной пластины весом Р и длиной 2а, К середине края кзалачегалх плзстины прикреплен канат длиной 1, перекинутый через малый блок, лежащий на вертикали на расстоянии 2а над точкой О. Другой конец С каната соединен с противовесом, скользящим без трения по криволинейной направляющей, Определить форму этой направляющей и вес противовеса О так, чтобы система находилась в безразличном равновесии.
При горизонтальном положении моста противовес С находится на прямой ОВ. В Отвели О ==. уравнение направляющей Р 1'2 ' в полярных координатах г, бч / Р гз = 2 (а — 2 )Г2 а соз б) г + 4 )7 2 а1 — зч — Заз. ае — — о а 62.14 (1176). Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия «обрак д тлз. щенного» двойного маятника, изображенного на чертеже. Маятник может быть схематизирован в виде двух материальных точек масс тт и тм связанных стержнями длиной 12 и 12.
В вертикальном положении равновесия пружины (жесткосги их с, и еД не напряжены. 12 с Ответ: Условия устойчивости з имеют вид К задаче 52 15. К задаче 52.!Е, 4Ь, второго ЗЬ и третьего 2Ь. М пружин одинаковы н соответственн прикрепления пружин от центров 12 11 К задаче 52,17. К задаче 52.15, стержне ОМ, свободно проходящем и шарнирно соединенном в точке А около оси Ом Длина коромысла сз'1) зиье; 1(11+ ез) язв — (та+та)е) (гД вЂ” тза)) 511112.
62.16 (1176). Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия системы маятников, изображенной на чертеже; длина стержня первого маятника ассы всех маятников и жесткости о равны т и с. Расстояния точек тяжести масс равны И. Массой стержнеи пренебречь, а массы «з рассматривать как материальные точки; когда маятники находятся в вертикальном положении, пружины не напряжены. Ответ: Условия устойчивости имеют вид 1З«Ь2 — 4теЬ О; 495'Ье — 59тееЬз + 12гнзааЬ2 '-» О; ЗбезЬз — 153теезЬ5+ + 130тзеееЬ« — 24тзблЬз) О. 62.16 (1177).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
