Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 69
Текст из файла (страница 69)
РФ вЂ” РФ соа 6 Ответ: ф= А .,6 —, Ря — — 0; А апР6 Ра . (Р, сарж 6 — Р,~! (Рч соа 6 — Р,а) А ' а Ам!п~а +ту(а!п 9; Р~ — Р ~~6 Р ф= — „,„., +т,Р,=и 49.15. Свободная точка единичной массы движется в вертикальной плоскости ху под действием силы тяжести. Составить дифференциальное уравнение в частных производных Якоби — Гамильтона н найти его полный интеграл (ось у направлена вертикально вверх).
дУ ! (дУ)а ! !дУ!а Ответ: — + — ! — + — ~ — ! + ду = О; д! 2 ! дх ! 2 ~ дв ( Ь 6+Ь ! 1('( 2ду — 2Ь вЂ” Ьа)а+С, а Зо где Ьь Ьа и С вЂ” проиавольные постоянные. 49.16. Пользуясь результатами, полученными при решении предыдущей задачи, и свойствами полного интеграла уравнения Якоби— Гамильтона, найти первые интегралы уравнений движения точки. дУ 1.е Ответ: — = (+ — 'у — 2лу — 2Ьт — Ь„'= аь да, — = х+ — — 2бу — 2Ь, — Ь„= а„ дУ Ьа я да, дУ . дУ вЂ” =Ь =х, — = — 2лу — 2Ьт — Ьа=(1, дх ' ду где ам а„Ь, и Ь,— произвольные постоянные.
999 49.1 ь Физический маятник массы М движется вокруг неподвиж- нон горизонтальной оси О. Момент инерции маятника относительно осн вращения равен 1, расстояние от центра тяжести маятника до его оси вращения равно У. Составить дифференциальное уравнение Якоби — Гамильтона, найти его полный интеграл и первые интегралы движения маятника (нулевой уровень потенциальной энергии взять на уровне Оси маятника). ду ! гд!!та Ответ: 1) — + — 1 — ! — М81созу=о.
дг 22 1!дт~ У 2) )г=Ь1+У 2/ ) У М81созу — Ь!Ьр! гя 3) т — — т =а, .ге ж, 2 ) )'Мд! озт — Ь ге упь'м~т;и=~!, где а и Ь произвольные постоянные интегрирования, 49.18. )твижение волчка, имеющего одну неподвижную точку О, определяется углами Эйлера ф, 6 и в. Пользуясь результатами реше- ния задачи 49.13, составить уравнение в частных производных Якобн— Гамильтона и найти полный интеграл его, +2г'( ) +тДР Соз 3=01 2) Р=Ь!1+Ь„а+дар+. + ~ ~!/ — 2АЬ! — — ' — ', ', — 2А81созО дд. Аь) (ь,— ь, а!и а)' С а!и-' З 49.19. Концы струны закреплены в неподвижных точках А и В, рзсстояние между которымн равно 1. Считая, что натяжение Т струны одинаково во всех точках, определить интеграл действия по Гамильтону для малых колебаний струны.
Предползгается, что колебания проис- х ходят в одной плоскости ху и что на , Ю струну действу!от только силы натяжения; линейная плотность струны равна р. Ответ: ! ! '=-'1 ~ 1 й)'-'Г1".' д к задаче 49.!9. где у=у(х, 1). 49.20. Пользуясь принципом Гамильтона — Остроградского н результатами решения предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение колебаний струны.
Ответ: †, = а, †„ где а = †; граничные условия: у(0, 1) = =уР, 1)=0, 13' 49.21. Абсолютно гибкая однородная и нерастяжимая нить длиной 1 подвешена ва один конец в точке О. Опреде.тить интеграл действия по Гамильтону для малых колебаний нити около вертикали, происходяших под действием силы тяжести. Масса единипы длины нити равна р.
"-"'='~)<(Ф'- -"К!"' где у=у(т, г). < 49.22. Пользуясь принципом Гамильтона-Остро< < градского и ревультатами решения предыдушей вада- <д чи, составить дифференциальное уравнение малых к задаче <д.д!. колебаний подвешенной ва один конец нити. дду д Г ду1 Отвел<с — = и — ~(1 —.е) — ~; граничные условия: 1) у(0, Ф)=0, 2) у(Е, Г), — ~ и — ~ конечны. д« ~«=< дг «=< ГЛАВА ХП ЙИНАМИКА КОСМИЧЕСКОГО ПОЛЕТА ф 60. Кеплерово движение (движение под действием центральной силы) 50.1. Модуль силы всемирного тяготения, действующий на мате- риальную точку массы гл, определяется равенством Г= т †, где .в )л=уМ вЂ” гравитационный параметр притягивающего центра (М вЂ” его масса, у — гравитационная постоянная) и г — расстояние от центра притяжения до притягиваелюй точки, Зная радиус Й небесного тела и ускорение д силы тяжести е) на его поверхности, определить гравитационный параметр р небесного тела и вычислить его для Земли, если ее радиус Й= 6370 ггэ!ь а я=9,8! и/секя, Ответ: В=ей', для Земли 0=3,98 ° 10" яме/селя, 50.2.
Определить гравитационный параметр рн и ускорение силы тяжести ен на поверхности небесного тела, если известны отношения его массы М„и радиуса Й„к массе М и радиусу Й Земли, Вычис- лить эти величины для Луны, Венеры, Марса и Юпитера, для кото- рых соответствующие отношения даны в следующей таблице: и,:м о.елы о,в!4 ялга о,эм луне..... Венеяе.... Ответ: е) Здесь и в дальнейшем предполагается, что сила притяжения небесного гела направлена к его центру; ускорения сил тяжести д даются без учета вращения небесных тел. вбэ 50.3. Материальная точка равномерно движется по круговои орбите на высоте Н над поверхностью небесного тела радиуса Й под действием силы всемирного тяготения.
Определить скорость движения пт и период обращения Т материальной точки" ). Ответ: 1) о =1( — = га( — (круговая скорость на высоте . Т„(,я Н для данного небесного тела); 2) Т=2пг 1/ — = 2п . Здесь г — рзсстояние / г ()? ( Ч)з(я )с )' л" от материальной точки до центра небесного тела, (ь — его гравитационный параметр, л †ускорен силы тяжести на его поверхности. 50.4. Пренебрегая высотой полета искусственного спутника над поверхностью небесного тела, определить первую космическую скорость о, и соответствующий период Т обращения для Земли, Луны, Венеры, Марса и Юпитера. Ответ: 50.5. На какой высоте нужно запустить круговой спутник Земли, обращающийся в плоскости экватора, для того, чтобы он все время находился над одним и тем же пунктом Земли? Ответ: Н=35 800 км.
50.6. Под каким углом р пересекается с земным экватором трасса спутника (проекция его траектории на земную поверхность), если он движется по круговой орбите высотой Н, наклоненной под углом и к плоскости экватора? Ответ: 1д р = ми а где ь) †углов скорость сова+И)г(й+Н)а." и' суточного вращения Земли и р — ее гравитационный пзрамегр. 50?. Точна массы т притягивается к неподвижному центру по взкону всемирного тяготения Р=т —... где р — гравитационный пара- И метр центра притяжения.
Найти интеграл энергии. Ответ: па — 2 — =й. И г 50.8. Определить, при какой высоте Н круговой орбиты спутника его потенциальная энергия относительно поверхности планеты радиуса Й равна его кинетической энергии. Ответ: Н=К(2. 50.9. Определить, с какой скоростью войдет метеорит в земную атмосферу, если его скорость на бесконечности о =10 клс(сек. Ответ: о~15 кис(сек. ') Во всех задачах втой главы сопротивлением атмосферы пренебрегаем. 390 50.10. Какую минимальную скорость па нужно сообгцить космическому аппарату на поверхности планеты, чтобы он удалился в бесконечностью Ответ." пз =3/ 2 пт — вторая космическая скорость (эд — первая космическзя скорость).
б0.11. Определить'вторую космическую скорость для Земли, Луны, Венеры, Марса н Юпитера. Ответ: 00.12. Точка движется под действием центральной силы. Считая, что модуль радиус-вектора г точки зависит от времени г сложным образом через полярный угол ф, определить скорость и ускорение точки а). Ответ: па=аз~из+( — Д юч — — О, а~а= + сапа( — +и), где и= —, с=гаф=алехи!=сопя( — удвоенная секторная скорость; анак плюс для силы отталкивания, знак минус — для силы притяжения. 60.13 (уб!). Точка массы т движется под действием пентрзльной силы по коническому сечению, урзвнение которого в полярных координатах имеет вид Р 1+е соз ф' где р и е — параметр н экспентриситет траектории. Определить силу, под действием которой движется точка. Ответ: то„= О, Е, = — тр/г', где )г = е'/Р и с — удвоенная с екторная скорость.
б0.14. Точка массы т притягивается к неподвижному полюсу по закону всемирного тяготения е =тр/гз. Найти траекторию движения точки. Ответ: Кривая второго порядка (коническое сечение)„ уравнение которой в полярных координатах имеет вид 1+а саз(ф — а) ' где р=е'/р, а е и е — произвольные постоянные интегрирования. У к а з а н н е. Воспользоваться ответом к задаче 50.! 2, '1 Здесь и в дальнейшем предполагается, что полюс полярной системы координат совпадает с центром притяжения (отталкивания). 391 б0.1б. Материальная точка движется поддействием силн всемир ного тяготения по эллиптической траектории, эксцентриситет которой е ( 1, а параметр р. Зная интеграл плошадей с= тяф= !гусю ), определить полуоси а и Ь эллиптической траектории и период обрзшения Т. Ответ:а= — Ь==.
Т= р р 2яро Гаа 2яу 1 — ев' Г' ! — ео! с(! — ео) П Р И 50.16. В условиях предыдущей задачи определить ускорение точки в моменты, когда она проходит апогей и перигей. с' со Ответ: гв,= —, (1 — е)', твя = —, (1+ в)'. 50.17. Зная период обращения Т спутника вокруг Земли по эллиптической орбите и разность его апогея и перигея Н, определить эксцентриситет орбиты.
Отвеу)Р: с=И ~/ —, 2рТ' 50.18. Спутник движется около планеты радиуса й поэллиптической орбите с эксцентриситетом с. Найти болыцую полуось его орбиты, если отношение высот перигея и апогея равно 7(1, 1 — т Ответ: а= Й. б0.19. Точка движется под действием силы всемирного тяготения Г=тр!го. Выразить постоянную энергии Ь (см. задачу 507) через элементы траектории точки и грави- Ве~шинагсгсоссгагс тационный параметр р. ес ссссгсг Ответ: Ь= — р,!а для эллипВв тической траектории (а — большая )юлуось эллипса), Ь = 0 для парв"е ь боличе ской траектории и Ь = р)а В для гиперболической траектории (а— г~сс„шс~сл вещественная полуось гиперболы).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
