Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 70
Текст из файла (страница 70)
50.20. В начальный момент ма- териальная точка, движущаяся по к оояочо оо.яо закону всемирного тяготения, на- ходилась в положении лво на расстоянии г, от притягивающего центра и имела скорость по; угол между вектором скорости по и линией горизонта (касательной, проведенной в точке Мо к окружности, центр которой совйадает с центром притяжения) равнялся Оо, а полярный угол был равен ро. Определить эксцентриситет е и угол е между полярной осью и фокусной линией конического сечения *).
Отвеи:е= 1у 1+ — „Ь, / сг 15(ро — е)= — ', где с= гв ао го Р =гепосоз Ь,— интегРал площадей; Ь=па — 2Р)'г — интегРал энеРгии. *) За положительное направление фекальной оси конического сечения принимается яапроялеяие от полюса, совпадающего с одним вз фокусов сечения, к ближайшей вершине. 392 60.22. В момент отделения космического аппарата от последней ступени ракеты он находился в точке Мз на высоте Н=230 км ог поверхносги Земли и имел начальную скорость о»=8,0 км/сек, при- чем вектор скорости оз составлял с линией горизонта (касательной, проведенной в точке М, к окружности радиуса гз) угол О»вы †0,02 рад. г Кояольяея Е»/ ящ1 Определить постоянную плошая л яя х' дей е, параметр р траектории и постоянную энергии л.
Ответ: с=52790 кмз/еек; р= Та =7002 км; й= — 56,6 км'/сек'. 60.23. В условиях предыдущей и пю задачи определить направление большой оси эллиптической граектории П язз спутника, экснентриситет е траектории, апогей и перигей (макси- к ззлз»аз зз.аз и ао 23. мдльное Нта» и минимальное Н|»1» удаление спутника от поверхности Земли) и период Т обращения спутника.
Ответ: 1) а=рз — 0,335 рад, где рз — начальный полярный угол радиус-вектора г;, 2) е=0,0649; 3) Н,„=1!20 км, Ньн»=210 км; 4) Т=98,5 мин. 50.24. При каком направлении начальной скорости космический аппарат упадет на поверхность планегы радиуса Й вне зависимости от величины начальной скорости оз? Ответ: Если начальная скорость будет направлена внутрь конуса, описзнного вокруг планеты из начальной точки. 60.25. При каких начзльных условиях траектория космического аппарата, запущенного на высоте Н от поверхности планеты радиуса Й, не пересечет ее поверхности? 2КН Ответ: 1) о»1~о', „,, „где и — круговая скорость лля данной плане~ы на высоте Н.
яяяяр- яеязге 60.21. Определить, какую скорость надо сообщить космическому аппарату, чтобы, достигнув высоты Н над поверхностью планеты и отделившись от последней ступени ракеты, он двигался по эллип- тической, параболической илн гиперболической траектории. радиус планеты й. Ответ: о, ( о, †трзектория †эл, из =я,— » парабола, о„) о, — » гипербола, /, й??з где из= а/ 2 = у 2од — параболическая скорость на высоте Н з= )/ 1»4 О=У (о, — круговая скорость). У к а з а н и е. Воспользозатьсз ответам к предыдущей задаче.
2) Начальная скорость должна быть направлена вне конуса, описанного вокруг планеты из начальной точки. 50.26. Найти зависимость между периодами 7 ! обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями а, их эллиптических траекторий. ~а~ а1 Ответ: '-'-„= — ' для любых плзнет (третий закон Кеплера). 50.27. Период обращения одного из спутников Юпитера, называе. мого Ио, равен 1,77 суток, причем радиус его орбиты составляет 5,91 радиуса Юпитера. Среднее расстояние Юпитер — Солнце равно 5,20 среднего расстояния Земля — Солнце (5,20 23 000 земных радиусов), а период обращения Юпитера вокруг Солнца равен 11 лет 314,84 суток.
Определить отношение массы Юпитера к массе Солнца (радиус Юпитера равен 11,14 радиуса Земли). Ответ: Масса Юпитера в 1000 раз меньше массы Солнца. 50.28. Под средним значением [г] радиус-вектора точки, движущейся по эллиптической траектории, понимается величина, определяемая равенством г 1 Г [г) = — г т[г, где Т вЂ пери обращения. Определить среднее значение радиус-вектора планеты, если а †больш полуось, а е — эксцентриситет ее эллиптической трае- ктории. Ответ: [г)=а ~1+ — е !, ! 2 '50.20.
11ва спутника, имеющие равные массы, движутся в одном направлении вокруг притягивающего центра по компланарным орбитам, одна ив которых †кругов радиуса а другая †эллиптическ с расстояниями перигея и апогея га и 8г, соогветственно. Полагая, что спутники путем непосредственной стыковки соединились друг с другом в точке соприкосновения их орбит и дальнейшее движение продолжали вместе, найти аповей их новой орбиты. 42 яг ваяаче аа.аа.
Ответ. г,=23 г„ 50.80. Определить связь между истинной у и эксцентрической Е аномалиями точки на эллиптической орбите эксцентриситета е. Е /! — е Ответ: !2 — = ~l — !5 2 Г' 1+е 2' 60.37. Спутник движется по круговой околоземной орбите ради. уса г. Определить величину радиального импульса скорости, в результате которого спутник перейдет на эллиптическую орбиту с перигеем г . Ответ: и = )/ — ( ~гà — — ф — ') . 60.38.
Космический корабль движется со скоростью о=30 кмгсек по орбите Земли, имеющей радиус г,=150 10' км. Какой касательный импульс скорости и он должен получить, чтобы в афелии своей новой орбиты он достиг орбиты Марса (г,=228 10' км)7 Решить такую же задачу для случая полета к орбите Венеры (га 108, 1Ов км) Ответ: На орбиту Марса: и=2,95 кмгсеге, нз орбиту Венеры: и=2,55 км/сею. 50.39. Спутник движется по эллиптической околоземной орбите с радиусом перигея н апогея соответственно г, и гя. Определить величину касательного прироста скорости и в перигее, при котором высота апогея увеличится на Гт.
Ответ: и=)/ 1 ~~/ " — )/ ' ). 50.40. Космический корабль, движущийся по круговой спутниковой орбите, должен стартовать с.нее путем получения касательного импульса скорости и выйти нз гиперболическую орбиту с задзнным значением скорости на бесконечности и . При каком радиусе г, начальнои круговой орбиты величина необходимого импульса и будет наименьшей? 28 Ответ: г,= —,. е,'., ' 9 61. Равные задачи 61.1. Йве свободные точки, массы которых равны т, и т„движутся под действием сил взаимного притяжения.
Определить закон движения первой точки относительно второй. Оглвет: Относительное движение происходит по тем же законам, что и абсолютное с гравитационным параметром Р=Т(т +т.). 61.2, Какой вид примет зависимость между периодами Т, обращения планет вокруг Солнца и большими полуосями а~ их эллиптических орбит, если учесть движение Солнца, вызванное прнтяжением соответствующей планеты7 а', а', л1+ тг Ответ: — '„: — -", = , где ть т„М вЂ” мзссы планет и Солнца ' Т",'Т', М+ль' соответственно (сравнить с ответом к задаче 50.26). 61.3. Два однородных шара радиусов Йт и Йя начали двигаться ив состояния покоя под действием сил взаимного притяжения.
Определить, с какой относительнон скоростью в, стол.нутся шары, если первоначальное расстояние между их центрами равнялось Е, а массы шаров равны шт и /пя. 1 1) Отведи и,= 1~ 2р(, + — — ~, где р =У(т1+тя). 1+ 1 61.4. Две точки, массы которых равны Р11 и иа, начали двигаться из состояния покоя под действием сил взаимного притяжения. Определить время Т, через которое столкнутся точки, если первоначальное расстояние между ними равнялось Е. н ?(з Ответ: Т = — 1гг —, где р = Т(1лт+л1,).
2У2р' 61.6. Две свободные точки, массы которых равны тт и т движутся под действием сил взаимного притяжения. Определить закон движения точек относительно их центра масс С. Олшеди Движение по отношению к центру масс происходит по тем же законам, что и абсолютное движение с гравитационными ш1 т1 нараметрами р,=у +', и ра=,У +' 61.6. Проекция центральной силы на радиус-вектор равна — ~ †, + †,), где р ) О и ч — некоторые постоанные. Определить гр траекторию движущейся точки. Ответ: 1) ч(са, г= Р где с=гаф=сопз1 р= 1+С соа Ь (<р — е) ' С1 — У вЂ” А = 1 — — е и е — произвольные постоянные; в 1 нм 2) ч=сз, — = Д +С,гр+С„С, и Ся — постоянные г интегрирования; Р М вЂ” СС 31 )Р, -, 1= — —, 11 1+С сп Ф (<à — е) ' н — — 1 е и е — произвольные постоюшые.
61.7. Космический аппарзт массы ш приближается к планете по прямой, проходящей через ее центр. На какой высоте гт от поверхности планеты нужно включить двигатель, чтобы создаваемая им постоянная тормозящая сила, равная тТ, обеспечила мягкую посадку (посадку с нулевой скоростью)? Скорость космического аппарата в момент включения двигателя равна ес, гравитационный параметр планеты р, ее рздиус Й; притяжением других небесных тел, сопротивлением атмосферы и изменением массы двигателя пренебречь. 1 (р Ответ: Н= — 1 — +ТЙ+ — ' '+ 1гг ( +ТЙ+ — ") — 4рТ~ — Й, 2ТЬ 2 — У ()? 2! знак плюс, если Т))1/Йя, и знак минус, если Т(р(Й-". 61.8. Определить полезную работу, которую должен совершить двигатель ракеты, чтобы поднять космический аппарат на высоту ?? над поверхностью планеты и сообщить ему на этой высоте 391 круговую и параболическую космические скорости.
Вес космического аппарата на поверхности планеты равен О, радиус планеты рт; сопротивлением атмосферы пренебречь. Вычислить эту работу для второй йосмической скорости для Земли, если вес аппарата равен 5 т. Ответ: Ар — — О)ч, „; Аз=О)т, 2Ф+Н1о Ая — — 31850 ткм=31,85 ° 10' кГм. б1.0. Космический аппарат вращается с угловой скоростью 12,. Определить, какую полную работу должен совершить двигатель ма. коника М, чтобы остановить вращение космического аппарата, к задаче бр.я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
