Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 68
Текст из файла (страница 68)
л 48.58 (1240), К основанию сейсмометра прикреплена проволочная катушка из и витков радиуса г, соединенная с электрической к „ ,„, „88, регистрирующей системой, схематизируемой цепью с коэффициентом самоиндукции Ь и омическим сопротивлением Й. Магнитный сердечник, создающий радиальное магнитное поле, характеризуемое в зазоре магнитной индукцией В, опирается нз основание с помощью пружин обшей жесткости с. На сердечник действует также сила сопротивления, пропорциональная его скорости, вызываемая демпфером, создающим силу сопротивления рХ Составить уравнения, определяющие перемещение сердечника и ток в цепи в случве малых вертикальных колебаниИ основания сейсмометра по закону 1=.',8!им!.
У к а з з н и е. Обобщенные силы, отвечающие л ле взаимодействию катушки и магнита, даются формулу лами О = — 2згпВх и О8=2пгпВу. Ответ: Мх+рх+сх — 2иглВд= = М(ею 8!пю(; д.р+ )т!) + 2кгпВх = О. 9 49. Интегралы движения, преобразование Рауса, канонические уравнения Гамильтона, уравнения Якоби †Гамильто, принцип Гамильтона †Остроградско К задаче зэя. 49.1. Трубка АВ вращается с постоянной угло- вой скоростью ю вокруг вертикальной оси СВ, составляя с ней угол и. В трубке находится пружина жесткости с, один конец которой укреплен в точке А; ко второму концу пружины прикреплено тело М массы т, скользящее без трения внутри трубки. В недеформированном состоянии длина пружины равна АО= 1. Приняв за обобщенную координату расстояние х от тела М до точки О, определить кинетическую энергию Г тела М и обобщенны" интеграл энергии. 362 Ответе Т= 2 т(х'+(1+х)'ю'з1п'а)' 1 тх'- т (1+ х)а гва зщ' а+ сха+ 2тя соз ах=)г, где й- постоянная интегрированна.
49.2. Найти первые интегралы движения сферического маятника длиной 1, положение которого опрсделяется углами 8 и ф .и Ответа 1) Интеграл, соответствую« ший циклической координате ф (интеграл моментов количества движения от ф 3 носвтельно оси «): ф з1п 8=и; 3 Р 11 2) интеграл энергии: ! 8з+фзз1пз8 — 2-Тсоз8=й, где п н К т й — постоянные интегрирования. 49.3.
Гироскопический тахометр установлен иа платформе, вращающейся с постоянной угловой скоростью и вокруг оси ь. Определить первые интегралы движения, если коэф фициент жесткости спиральной пружины равен с, моменты инерции гироскопа относительно главных центрзльных осей х, у, «соответственно равны А, В и С, причем В=А; силы трения на оси и собственного вращения гироскопа урзвновешиваются моментом, спадь ваемым статором электромотора, приводящим во вращение гироскоп; силами трения на оси прецессии у пренебречь.
с Ответ: 1) Интеграл, со- ЛЫ ответствующий циклической координате гр (интеграл моментов количества дви- 0 жения относительно оси «): ф+из1п 8=н; 2) обобщенный интеграл У энергии: А (8а — и' сова 8) + сйа = И. 49.4. Материальная точка М соединена с помощью невесомого стержня ОЛ1 длиной Е с плоским шарниром О, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью пь Определить условие устойчивости нижнего вертикального положения маятника, период его малых колебзний прн выведении Его из этого положения и обобщенный интеграл энергии.
Ответ; 1) юа(ф; 2) Т= 3) фа — втзз(па~р-2 ~ соз4а=й. к авда м 4зл 49,6. Уравновешенный гироскоп движется по инерции в кардаповом подвесе, Определить кинетическую энергию системы н первые интегралы уравнений движения, если момент инерции внешней рамки относительно неподвижной оси врашення равен /н моменты инерции внутренней рамки В относительно главных центральных осей х, у, л равны /„,,/у,,/„а соответствующие моменты инерции гироскопа — /„, ./, и ./, (/„=,/у).
О~мпн! 1) Т= — П./ + /;+ ! + (/ф+ /г /у) соа 9) ть +' (/у +' /у) 6 + +,/, (ф+ у! в!и )'); 2) интеграл, соответствуюпгий циклической координате Р (интеграл моментов количества движения гироскопа относительно оси л): ф+фз!пй=п; 3) интеграл, соответствующий к звлаче 49 5. циклической координате ф (интеграл мо- ментов количества движения всей системы относительно ося с): [/,+,/;+(/'+./„—./) соая6) 6+./пв!пй=пй 4) интеграл энергии: (/, + /,'+(/.'+/,—./;) соза9) 9 ) (/у-),/;) 6У=/ь 49.8.
Игнорируя циклическую координату ф, составить функпию Рауса н лифференцяальное уравнение в координате 9 для сфериче- ' ского маятника. (См чертеж к задаче 49.2.) Олгвет: /с= —,~9 — —., 1, 9 — и —,, + — з|п9=0, где п=фз!п'6= согзй 49.7. '!'очка массы лг движется в центральном силовом поле, п тенциальная энергия которого равна П(г), Определяя положение точки полярными координатами г и р и игнорируя циклическую координату в, составить функцию Рауса и дифференциальное уравнение движения в координате г. / ея'1 дй Отве/п: !) /с= —, !/я — —,1, 2) /и!р — —,,,~=— где с=г'ф=сопв! — удвоенная секторная скорость.
49.8. Гироскоп установлен в кардановом подвесе. На осях $ и у вРащениЯ Рамок поАвеса действУют моменты внешних сил тИ и Му. Игнорируя циклическую координзту !г, найти 1) функцию Рауса, 2) дифференциальные уравнения движения для координат ф и 9, 3) гироскопические члены. (См. чертеж к задаче 49,5.) 664 Ответ: 1) /с= — (/1+./;+(У„+1,—,/;)созяВ]()+ + 2 (./„+./,) +,/ и~зш — —./,и~ 2) [/, + /е+(/х+/х —.Ге) соз'6) 6— — 2 (/' +./„—,/;) соз 6 з!п 666+,/,и соз 66 = А4, (/„+./') 6+ 2 (Х, +,/л —./ ) соя В гйпбф' —./ и со! Вф= М,; 3) /,исоз66, —,/„.исозбф, 49.9. Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения для математического маятника массы ш н длиной /, положение которого определяется углом 9 отклонения его от вертикали. Проверить, что полученные уравнения эквивалентны обычному дифференциальному уравнению движения математического маятника. рЗ Ответ: 1) Н= 2 1, — гив/соз661 2 тР 2) 6 = — „Р = — лгй/з! п р.
Р м!в 49.10. Материальная точка массы гл подвешена с помощью невесомого стержня длиной / к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной угловой скоростью а (см. чертеж к задаче 49.4). Составить функцию Гамильтона и канонические уравнения движения, ~а Ответ: 1) Н= — —— 2 тЕ' мр У вЂ” — мз з1пзе — лге/соз 66 2 2) Ф ~ща~ Р Р=т/з мтз!прсозв — те/з1пр 49.11.
Вертикальное положение оси симметрии волчка, движущегося относительно неподвижной точки О под действием силы тяжести, определяется углами а и р, Исключив циклическую координату в (угол собственного вращения), составить для углов в и 6 функции Рауса и Гамильтона. Масса волчка равна лг, расстояние от его центра тяжести до точки О равно /, момент инерции относительно оси симметрии з равен С, а относительно осей х и у равен А.
Ответ: й = — А(соз'ба'+ 6') — Си ы!и ра, 1 Н 2А ~1 6 +Рр!+т6/со озг Г!Р„+Сл з1п6)' где и=ф — з1пра=сопя!. (Здесь и в дальнейшем символы Рм Р и т. п, означают обобщенные импульсы.) 49.12. Пользуясь результзтами, полученными при решении предыдущей задачи, составить для канонических переменных Гамильтона 13 и. в. мещерсэяа лзб дифференциальные уравнения малых колебаний волчка около верхнего вертикального положения, Ответ: а = А (Ро+Сл))); Р„=тй(а; ° 1 р = — Ра! 1 Рв = — — (Р„+ Сп!)) + тдф. Сл 49.13. Положение оси симметрин в волчка, движущегося относительно неподвижной точки О под действием силы тяжести, определяются углами Эйлера: углом прецессии !р и углом нутации 9.
Соста- С вить функцию Гамильтона для углов ф 9 х и ср (угол собственного вращения) и соот- ветствующих импульсов, если т — масса Р волчка, 1 — расстояние от его центра тяжести до точки О, С вЂ” момент инерции относир тельно оси х, А — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей черен точку О. у ! Г (РФ вЂ” Р соа 6)а ,е ! + — Ро+та~соа9. 49Л4. В условиях предыдущей задачи составить канонические уравнения движения волчка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
