Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Прн тД -„е тД относительное равновесие невозможно. 48.24 (1206). Тонкий диск мзссы М может своей плоскостью скользить без трения по горизонтальной плоскости. По диску, верхняя поверхность которого шероховата, движется материальная точка массы гл. уравнения относительного движения точки в декартовых координатах х и у, связанных с дисяом и имеющих начало в его центре тяжести, заданы в виде х=х(!), у=у(Г). Момент инерции диска относительно его центра тяжести равен Х Определить закон изменения угловой скорости диска. В начальном положении диск неподвижен, Олгвет: ~Г+ ю+М (х +У1~ф+ „,+М (хР— Ух)= тМ М+т (хара — уахьа)ь где ха, уь хи ра — значения координат и проекций скорости точки в начальный момент времени.
48.25 (1207). По диску, описанному в предыдущей задаче, вдоль окружности радиуса тС движется материальная точка с относительной скоростью п=аг, Найти закон движения диска. льМ сга я Отвею: т= —.,— — — г = —. гь; 2(а+М) тМ 2Д и+М слсс а+я ь лЩ а+В т+М 2ь!ь ' т+М 2Р соз — с, и= — — з!п — г, где ф — угол поворота диска, а $ и 2 — координаты центра тяжести диска в неподвижной декартовой системе, имеющей начало в центре инерции системы.
48.26 (1208). Материальная точка М движется под действием силы тяжести по прямой АВ, вращающейся с постоянной угловой скоростью ьь вокруг неподвижной вертикальной оси. Прямая АВ образует угол а с горизонталью, Найти аакон движения точки. Отвею: Расстояние движущейся точки от точки пересечения прямой с вертикальной осью в К ььавьа аавя где 48.27 (1209). ности радиуса а, 372 Г=Сьеа|саьь+С е — а! саьь+Х Мп а есть а ' Ст и Сз — постоянные интегрирования.
Материальная точка массы т движется по окружкоторая вращается с постоянной угловой скоро- стью ее вокруг вертикального диаметра АВ. Составить урмнение движении точки и определить момент зИ, необходимый для поддержания постоянства угловой скорости. О!авели Э+~~ — ю'созЬ) з(пЬ=О; Лз = 2та' з>п Ь ° соз Ь юЭ, 48.28 (!210).
Материальная точка массы лт движется внутри гладкой трубы, представляющей собой окружность радиуса а; труба сво. бодно вращается около вертикального диаметра. Момент инерции трубы относительно вертикального диаметра равен Х Составить уравнения движения системы, считая, что труба вращается под действием постоянного момен- К задаче 4ЗДЬ та зИ. (См. чертеж к задаче 48,27,) Ответ: та'Ь вЂ” тла' з>пЭсозЬ 4рт+таа з1пЭ=О, ./се+ тая з>п е Ь р+ 2лзаез>пЬ сов Ь ° Эр = 4>1 (Ь вЂ” угол, определяющий положение точки в трубе, р — азимут трубы).
48.29 (1211). Однородная балка весел> Р и длиной 2! подвешена ва концы на канате длиной 2а, перекинутом через неподвижный блок С. Пренебрегая массой каната и считая блок весьма малым, составить выражения для кинетической и потенциальной энергий системы. У к а за н не. Траекторией точки С по отношеппзо к отрезку В,Р; является эллипс с большой осью 3 2л и с фок>самы в точках Вз и Р;, за одну из обоб- К задаче 4вхч шенных координат принять эксцентрическую аномалию аллипса, т. е. угол т, определяемый с помощью соотпошеннй АВ=асоат, 'ВС=) о' — !" мпт; яа ВтОрУЮ ПрИНятЬ УГОЛ а МЕждУ ВертИКаЛЬНОй ОСЬЮ У И ПерисидИКУШрО44 ВС к стержню. Ответ: Кинетическая энергия системы: Р Гттз е е л .
з >,.з .. ачба+те мп',зсоз'т.е Т = — ~' —; + а' созе р ->- >>л зш' й 'и' — 2айфа+ ',," ., фе~. 24 ~(3 ~ / оасовзт+азаш Потенциальная энергия системы: П= — Р(ЬПпйсоза — асозеуз(пк); 3=)' а' — 74. 48,30 (1213). Однородный тонкий стержень АВ весом Р и длтиой 27 скользит концом А по вертикальной прямой, а концом В по горизонтальной плоскости, Состанить уравнения движения сте)жня н найти их первые интегралы (см. чертеж на стр. 374).
Ответ: Уравнения движения: 47 Ь зш т сов 4р 4 — з(п р' Ь зш 41+ 237 з!и 7 совр =О 373 (р — угол наклона стержня к вертикали; Ь вЂ” угол проекции стержня на горизонтальную плоскость с осью Ох). г Первые интегралы: ва з!па р = СО р~+ О~з!и аз + й. л соз в = С (С, и С,— произвольные постоянные).
48.31 (1214). Составить уравнения движении математического маятника массы т, подвешенного на упругой нити; длина нити в положении равновесия 7, ее жесткость равна с. Ответ: Если р — угол отклонения маятни- К аадааа азах ка от вертикали, л — относительное удлинение нити, то уравнения движения будут (!+л) 7+22!!+ ! з!в<~=0; 2 — (!+л)фз+ — г+ ! (1 — созе)=0. 48.32 (1218). Найти в предыдущей задаче движение маятннка для случая малых колебаний. Ответ: в=Аз!и! у — !+а~, ар=Вз!пф ! ) ~), где А з, В, р — произвольные постоянные. 48.33. Один конец нерзстяжимой тонкой нити обмотан вокруг однородного круглого цилиндра рздиусом 7т', второй конец прикреплен к неподвижной точке О. Пилиндр, рззматывая нить, опускается вниз, одновременно раскачиваясь вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса нити, Пренебрегая несом нити, составить дифференциальные уравнения движения цилиндра, Ответ: 2 ° а 2 р гср 3 !кр = згсоз5 -- (р <~7 — Й~хр = — срз!Пр.
48.34. Польауясь результатами, полученными при рс- К аалача аззз. шенин предыдущей задачи, составить дифференциальное уравнение малых колебаний цилиндра, если движение началось из состояния покоя и при 1=0 р=ра р='раФ О. и йга Ответ: — (ра(!)р)+йр(!)р=0, где Р(!)= 3+ра — Й:рь 48,38 (1216).
Определить движение системы, состоящей из двух масс та и ть насаженных на гладкий горизонтальный стержень (ось Ох); мзссы связаны пружиной жесткостью с и могут двигаться поступательно вдоль стержня; рзсстояние между центрами тяжести масс при ненапряженной пружине равно 7; начзльное состояние 374 системы при (=0 определяется следующими значениями скоростей и координат центров тяжести масс: х,=0, х,=из хе=1, х =О. К а аллее азлз. Олгвет: хл — — 1тлиег+ — ''з1п И); ала + Гиа в 1 хв — (= ~таиса — — з!пИ~; Д= у с~ — + — ~. вц+ гла 1 48.36 (1217).
Маховик 1, вращающийся вокруг вертикальной оси О, под действием прилагаемого к нему постоянного момента М, несет ось вращения О, шестерни 2. Шестерня 2 находится в зацеплении с шестерней 3, которая может вращаться вокруг оси неаависимо от маховика. Вращению шестерни 8 препятствует не показанная на чертеже спиральная пружина, реактивный момент которой — с~) пропорционален углу поворота (~ шестерни 3. Определить движение системы, принимая шестерни за однородные диски одинзковых радиусов а и масс гл и считая моллент инерции маховика относительно оси Ол равным 20 тав. В начальный момент система находилась в покое. Овдовели ф = —, ~1 — соз 1,02 1/— с 26с ~ У лава /' Мс, И/ г 1а = —. — ' —.
( 1 — соз 1,02 ~Г 52ьча" ' 676с( где р — угол поворота маховика, 48.37 (1218). Составить уравнения движения эллиптического маятника, состоящего из ползуна Мг массы ть скользящего без трения по горизон- с" а тальной плоскости, и шарика Мв массы ть соединенного с ползуном стержнем АВ длиной 1. Стержень может вращзться вокруг оси А, связанной с ползуном и перпендикулярной к плоскости чертежа.
Массой стержня пренебречь. ! а г ау Ответ: — ((т,+те~-'~- тч(Ц соз Я=01 х г 17+ сов 7Я + 8 ей и у = О. и веча ез.ат. 48.38 (1219». Определить период малых колебаний описанного в предыдущей задаче эллиптического маятника Отведя Т=2я у гп, У гп,+т, д' 4889 (1220). В задаче о движении эллиптического маятника (см, задачу 48.37) составить уравнения движения, принимая во внимание влияние постоянной силы трения скольжения ползуна о направляющие, 1йэффнциент трения равен У. Ответ: — [(т, + тя) у+ тзуф соз з] = 'И вЂ” У[(т1+ тз) г+ тз1 соз ффз+ тзгз1п уф[ з1ап Р 1ф+соз1~Р+8яп~1=0, +1 при а >О, где з18пР= — 1 при )г(О. 48.40 (1221).
Шероховатый цилиндр массы т и радиуса г катится без скольжения по внутренней поверхности полого цилиндра массы М и радиуса Й, могущего вращаться около своей горизонтально расположенной оси О. Моменты инерции цилиндров относительно 1 з своих осей равны — тг" и Мйз. Составить уравнения движения 2 системы и взяти их первые интегралы. Оглвет: МКчй — -~- т)с ~(Я вЂ” г) у — ЙЬ~ = Сь 1 2 +4 г( )т ~~+2( — тй(гс — г) соз з =Св где ф — угол поворота отрезка, соединяющего оси цилиндров, а Ь вЂ” угол поворота внешнего цилиндра.
48.41 (1222). Тело весом Р может вращаться вокруг горизонтальной оси ОгОь которая в свою к эад1че 48 чь к заачче тю. очередь врзщается с постоянной угловой скоростью м вокруг вертикальной оси ОС. Центр тяжести тела 0 лежит на расстоянии от точки О нз прямой, перпендикулярной к 010з. Предполагая, что оси 010з и 00 являются главными осями инерции тела в точке О, составить уравнение движения. Моменты инерции тела относительно главных осей равны А, В, С.
Ответ: АЭ вЂ” авв(С вЂ” В) Мп 6 соя Э = — Ргз(п Э, где 6 — угол поворота вокруг ОвОв, 48.42 (1223). Груз Р приводит во вращение вокруг оси ВО рамку 1 уравновешенного гироскопа посредством нити и шкива Е радиуса г. Определить давление на подшипники В и О рамки, обусловленное гироскопическим моментом, в положении, когда грув спустится на высоту 7ь А и С в моменты инерции ротора относительно осей Ох, Оз, Аг — момент инерции рамки в ' ю Е относительно оси Ох, массой шкива Е пренебрегаем.
Ротор совершает л оборотов в секунду, Расстояние ВО=В. М Отаегл: йв=йо= — „= а' — Ь у А ьд~ьр в А' д 48АЗ (1224). Система, состоящая К ваяаче ва.ся. из двух одинаковых колес радиуса а каждое, могущих независимо вращаться вокруг обшей нормальной к ним оси ОвОв длиной г, катится по горизонтальной плоскости. Колеса связзны пружиной жесткостью с, работающей на кручение (упругий торсион). Масса каждого колеса Л; С вЂ” момент инерции колеса относительно оси вращения; А — момент инерции колеса относительно диаметра. Составить уравнения К ввваче ва.еа движсния системы н определить движение, отвечающее начальным условиям Рв — — О, (вг —— О, Рв — — О, фв=м (ув, ув — углы поворота колес).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
