Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975) (1079972), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Ответ; 2 мпн 4 сек. 45.9. Ракета движется в однородном поле силы тяжести вверх с постоянным ускорением п~. Пренебрегая сопротивлением атмосферы и считзя эффективную скорость н, истечения газов постоянной, определить время Т, за которое масса ракеты уменьшится в два раза. Ответ: Т= о' !п2. »е+ й 45.10. ЭФфективная скорость истечения газов из ракеты н, = 2,4 клггсек.
Каково должно быть отношение ззпаса топлива к весу ракеты без топлива, чтобы после сгорания топлива ракета, движущаяся внв поля тяготения и зне атмосферы, приобрела скорость 9 км,'сек? Оп!нет: Вес топлива должен составлять примерно 98»»га от стар- тового веса ракеты, 45.1 1. Ракета движется поступательно при отсутствии тяготения и сопротивления среды. Эффективная скорость истечения газов п,=2400 м)'сек. Определить число Пиолковского, если в момент полного сгорания топлива скорость ракеты будет равна 4300 м,~сек. Ответ: «6. 45.12.
Тело переменной массы, имея начзльную скорость, равную нулю, движется с постоянным ускорением пг по горизонтальным направ- ляющим. Эффективная скорость истечения газов и» постоянна. Определить, пренебрегая сопротивлением, путь, пройденный телом Ао того момента, когда его масса уменьшится в»г раз. о» Ответ: а= —,' (!ой)а, 2»е 4Б.13. Решить предыдущую аадачу, предположив, что на тело дейсгвует сила трения скольжения. ыо» Ответ: а= ',(!пгг)а, где Т" — коэффициент трения сколь- 2(м+уа)' жени я. ~) Числом Ииолковского называется отношение стартовой массы ракеты к насос ракеты без топлива.
45.14. Тело переменной массы движется по специальным напрзв. ляющим, проложенным вдоль экватора. Касательное ускорение тв,= а постоянно. Не учитывая сопротивление движению, определить, во сколько раз уменьшится масса тела, когда оно сделает один оборот вокруг Земли, если эффективная скорость истечения газов и, = сопя(, Каково должно быть ускорение а, чтобы после одного оборота тело приобрело первую космическую скорость? ~ т'.яч Ответ: Бе е раз; а= —. Э й 45.15. Определить в предыдущей зздаче массу топлива, сгоревшую к моменту, когда давление тела на направляющие будет равно нулю. Ответ: т,=та~1 — е 45.16. Тело скользит по горизонтзльным рельсам, Истечение газа происходит вертикально вниз с постоянной аффективной скоростью и„ Начальная скорость тела равна пь Найти закон изменения скорости тела и закон его движения, если изменение массы происходит по закону т = та в аа.
Коэффициент трения скольжения равен ~. Отвегл: в=па — У~61 — тг 1и ' 1; т„— ат 11 а= вас — у~ — — чт,~( 1п та+ ' (1п(тв — аг) — 1)1( а 45.17. Решить предыдущую задачу, если изменение топлива будет происходить по закону т=тче ~, Определить, при каком а тело будет двигаться с постоянной скоростью пь Ответ: в=па — У(й — ап,)1; а=пас — УМ вЂ” ап,) —; а= —. ей ее 45.18.
Какой путь пройдет ракета на прямолинейном активном участке в пустоте и при отсутствии сил тяготения аа время раз~она от нулевой начальной скорости до скорости, равной эффективной скорости исгечения продуктов сгорания см если известна начзльная масса ракеты та и секундный расход р? вето е — 2 Оглвет: з = †. †, где е — неперово число. е 45.19. Ракета движется прямолинейно вне поля тяготения и при отсутствии сопротивления. Найти работу силы тяги к моменту, когда сгорит все топливо. Начальнзя масса ракеты ть конечная — ть Эффективная скорость истечения и, постоянна.
Ответ: А = т,чУ '11п з — (е — 1)]; т~ 45.20 При каком отношении з начальной тч и конечной т~ масс ракеты, движущейся прямолинейно в пустоте и при отсутствии сял тяготения, ее механический к. п. д., определяемый как отношение ки- нетической энергии ракеты после выгорания топлива к затраченной энергии, имеет наибольшее значениеу 2 (г — 1) Ответ: г — корень уравнения 1пх= —. 1+г 45.2!. Самолет, имеющий массу та, приземляется со скоростью ц, на полярный аэродром, Вследствпе обледенения масса самолета при движении после посадки увеличивается согласно формуле т=гпа+а(, где а=сопнй Сопротивление движению самолета по аэродрому про- порционально его весу (коэффициент пропорциональности 7). Опре- делить промежуток времени до остановки самолета с учетом (Т) и без учета (7;) изменения его массы.
Найти закон изменения скорости с течением времени. Ответ: Т=~'( 1+ 2е"' 11, Т,— ва. т,н, — ул12 (2гл, + ат) Г 45.22. Эффективные скорости истечения первой и второй ступени у двухступенчатой ракеты соответственно равны пп' = 2400 м1еек и и,'м = 2600 м7еек. Определить, считая, что движение происходит вне поля тяготения и атмосферы, числа Циолковского для обеспечения конечной скоро- сти п,=2400 м1сек пеРвой стУпени и конечной скоРости па=5400 м/сек второй ступени.
Ответ: х, = 2,72; зя = 3,17. 45.23. Считая, что у трехступенчатой рэкеты числа Циолковского и эффективные скорости и, истечения у всех трех ступеней одина- ковы, найти число Циолковского при п,=2,4 км,'еек, если после сгоРания всего топлива скорость ракеты равна 9 км/еек (влиянием поля тяготения и сопротивлением атмосферы пренебречь), Ответ: в=3,49, 45.24. Трехступенчатая ракета днижетсз поступательно при отсут- ствии тяготения и сопротивлениа атмосферы, Эффективные скорости истечения и числа Циолконского для всех ступеней одинаковы и соот- ветственно равны и,= 2500 м!сек, з= 4. Определить скорости Ракеты после сгорания горючего н первой ступени, во второй и в третьей.
Отетп: н,=3465 мосек; иа — — 6930 мгсек; па=10395 мосек. 45.25. В момент, когда приближающийся к Луне космический ~орабль находится нз расстоянии О от ее поверхности и имеет ско- Ро~т~ пю направленную к центру Луны, включается тормозной дви- гатель, Учитывая, что сила тяготения обратно пропорциональна квад- Рату расстояния от корабля до центра Луны, н принимая, что масса корабля изменяется по закону т =т,е "' (та — масса ракеты в момент включения тормозного двигателя, а — постоянное число), найти я, при котором корабль совершит мягкую посадку (т.
е. будет иметь 343 скорость прилунения, равную нулю). Эффективная скорость истече. ния газов пе постоянна. Радиус Луны Й, Ответ: а= — +— вз йт< 2ве~ пе ('ч + ~) 45.26. Найти закон изменения массы ракеты, начавшей диня<ение вертикально вверх с нулевой начальной скоростью, если ее ускорение тв постоянно, а сопротивление среды пропорцнонзльно квадрату скорости (Ь вЂ” коэффициент пропорциональности), Поле силы тяжести считать однородным, Эффективная скорость истечения газа и, постоянна. Ответ: е< вч- е ме — (в+В < Ж Ьв' 2в,звз 2взэвз <г +е + (в+и)' (в+я)' ' К задаче в 2у. 45.27. !'акета перемещается в одно- родном поле силы тяжести по прямой с постоянным ускорением тв. Эта прямая образует угол а с горизонтальной плоскостью, проведенной к поверхности Земли в точке запуска ракеты.
Предполагая, что эффекгнвная скорость истечения газов пе постоянна по величине и направлению, определить, каково должно быть отношение начальной массы ракеты к массе ракеты без топлива (число Циолковского), если к моменту сгорания топлива ракета оказалась на расстоянии гт' от указанной выше касательной плоскости. Ответ: е=е'еев ""',гдер — угол,образуемый скоростьюп, с касательной плоскостью, рваный р = вгссоз в с<ма гРееч зе 45.28.
Тело переменной массы движется с постоянным ускорением пг по шероховатым прямолинейным напрзвляющим, составляющим угол а с горизонтом, Считая, что поле силы тяжести является однородным, а сопротивление атмосферы движению телз пропорционально первой степени скорости (Ь вЂ” коэффициент сопротивления), найти закон изменения массы тела. Эффективнзя скорость истечения газа и, постоянна; коэффициент трения скольжения между телом и направляющими равен Г. \а< Ответ: т=(та — —,')е е — — Й вЂ” М, где паз=в+ в! в, ( вз<' +6(з!па+Усова), зла — начальнаЯ масса тела. 46.29 (1165).
Аэростат весом Я поднимается вертикально и увлекает за собой сложенный на земле канат. На аэростат действуют подъемная сила Р, сила тяжести и сила сопротивления, пропорцио- иальная квадрату скорости: Я= — (т.са, Вес единицы длины каната у, Составить уравнение движения аэростата. Олявевп х= — е+ — — х, Ра рл+ т О+ (х О+ух 45.30 (1156).
При условиях предыдущей задачи опреде- лить скорость подъема аэростата. В начальный момент аэростат неподвижен и находится на высоте гтя. Олгвелг .(л= ~ [1 — ~ т ') ( т)~— 45.31 (1157). Шарообразная водяная капля падает вертикально в атмосфере, насыщенной водяными парами. Вследствие конденсации масса капли возрастает пропорционально площади ее поверхности (коэффициент пропорциональности а), Начальный радиус капли гь ее начальная скорость пь начальная высота йь Определить скорость капли и закон изменении ее высоты со временем (сопротивлением движению пренебречь).
У казанке. Показать, что ег=я ее, и перейти к новой независимой переменной г. и = и, г — — — 1 г — г" ~1, где г = ге+ Ы. г', д! г' 4а) г'~' 45,32 (1158). Решить предыдущую задачу в предположении, что на каплю кроме силы тяжести действует еше и сила сопротивления, пропорциональная плошади максимального поперечного сечения и скорости капли; гс= — 4рягяп (3 — постоянный коэффициент). — (ы -~-01 ! .-- х=.е-з,+,, +3 +..г —. 33+ 2а ~ ла + Зя а — — (аз-ьям — — па+а ~1 1 1 г 3 (г' — г'„) 2я (ла + ЗР) — (га раз] а 3 Й и+а,~ — —,( +0 ~~+ я6 где г 45.33 (1169).
Свернутая в клубок тяжелая однородная цепь лежит на краю горизонтально~о стола, причем вначале одно звено цепи неподвижно свешивается со стола. Направляя ось х вертикально вниз и принимая, что в начальный момент х= О, х=0, определить движение цепи. Олгвевк х = — 61Я. 1 6 4534 (1160). Цепь сложена на земле и одним концом прикреплена к вагонетке, стоящей иа наклонном участке пути, образующем 343 .. угол а с горизонтом.
Коэффициент трения цепи о землю у'. Вес единицы длины цепи у, вес вагонетки Р. Скорость вагонетки в начальный момент ов. Определить скорость вагонетки в любой момент времени и выяснить необходимое условие, при котором вагонетка может остановиться. ! Рй 1 Ответ. й 3(р )тх)а+ 3,з)па[ (р ) ~ )~1+ + — дхз)па+ — ) !— 3 бу ~ (Р+ух)Я! 3 ~ сова- — ~йхсоа а. Остановка может иметь место при выполнении неравенства У) 1йа.
46.36 (! 161). Материальная точка массы т притягивае~гся по аакону всемирного тяготения Ньютона к неподвижному центру. Масса МО центра со временем меняется по закону М= ' . Определить дви1+а) ' жение точки. Указание. Перейти к новым координатам с помощью соопюшепнй а= ч= !+аГ' 1+а) н к приведенному времени т= а(1+аГ) ' Ответ: Уравнения движения в координатах $, т) имеют вид (упостояннзя тяготения) Д% Маа . лат) Мат) ) у =() — -).у — =(); Р=Я'+~' т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
