Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. ивммм =Ос (рис. 124). Задачи типа П Заданы векторы ж, и пв, (или ~о,), либо эти векторы можно найти непосредственно из условии задачи, характеризующих абсолютное и переносное (или относительное) движения. Определить вектор ю, (или ш,). Пример 90. Полуцилиндр радиуса г=!0 см движется поступательно и прямолинейно по неподвижной горизонтальной плоскости с ускорением в, и толкает опирающийся на него стержень СО, который пе- г ремещается поступа- (я тельно в вертикальных и с Рис.
!24 Рис 125 направляющих с ускорением в,. Определить касательное и нормальное ускорения точки С в ее движении по отношению к цилиндру в тот момент, когда ~ СО,х, =а= 60' (рис. 125). Р е ш е н и е. Переносным движением в данной задаче является (так же, как и в примере № 88) движение полуцилиндра, а так как это движение поступательное, то переносное ускорение цв, точки С стержня равно пв,. Абсолютное ускорение точки С равно, очевидно, заданному ускорению ив, стержня СО, т.
е. и,=ю,. В относительном движении (в движении по отношенйю к полуцилиндру) точка С перемещается по полуокруж. ности радиуса г. Поэтому относительное ускорение равно щ„=цв~"'+ и~~"', причем вектор относительного нормального ускорения цв~"' направлен по радиусу СО„а вектор относительного касательного ускорения ш)' направлен перпендикулярно к О,С, как указано на рисунке.
По формуле (89) имеем; ~в ~в+~в шв в =в+в~ 'вз -(и|, еп В этом векторном равенстве неизвестны только модули искомых ускорении в)"~ и в~'~. Для определения этих модулей достаточно спроектировать это векторное равенство на две выбранные оси. В данном случае, принимая во внимание направления векторов в|» и в~"~, эти оси целесообразно направить по радиусу О,С и по касательной Ст.
Проектируя равенство (а) на эти оси, получим: в,сов(90' — а) = в, сова — в~"|, в, сов а = — в, 6|и а -|- в,~, „(м откуда в,"'=в,сова — в, в|па, ео в,"=в,сова+в, в!па, ео т. е. оо О,— ю ггв го ю г 3+%, вз 2 ' 2 вз Задачи типа 111 (задачи 445, 446) Известны абсолютное ускорение ви и направления всех составляющих ускорений в,"~, в,'"', в)", вГ', а также модули двух из них. Найти модули двух других составляющих ускорений.
Пример 91. Кривошип ОСг г вращается вокруг неподвижной оси 0 с данной угловой скоростью ы = сопв(. Соединенный с ним при помощи шарнира ползун С может перемещаться вдоль стороны АВ шарнирного параллелограмма О,АВО, с неподвижным звеном 0,0,. Углы а и р для данного положения механизма известны. Определить относительное ускорение ползуна С и угловое ускорение кривошипа О,А. длина которого равна а (рис. 126).
Р е ш е н и е. Движение ползуна С будем рассматривать как составное, слагающееся из двух движений: 1) относительного движения по отношению к стержню АВ и 2) переносного движения вместе с этим стержнем. Так как при движении стержень АВ остается параллельным неподвижному звену О,О„то движение этого стержня, а следовательно, и переносное движение, будет поступательным. 211 Поэтому переносная скорость н переносное ускорение точки С равны соответственно скорости н ускорению точки А, т. е.
(е) (х) (л) пс ои н (ао (()А = (аА + а)А векторы ои н в7' направлены перпенднкулярно к крнвошнпу О,А, а вектор а)и(") — вдоль О,А к центру О„ причем оА —— — а(э„(аА = ае)„а),( = ае „ (и) з (т) где е), н е, — угловая скорость н угловое ускорение стержня О,А. Так как относительное движение точки С есть прямолнней- % м'а э(а с мьд да! Рис 12б нос движение вдоль стержня АВ, то относительная скорость н относительное ускорение а)с) этой точки направлены вдоль стержня АВ. Но точка С принадлежит одновременно н крнвошнпу ОС, вращающемуся равномерно вокруг осн О, поэтому абсолютная скоРость ос' н абсолютное УскоРение а)сс) точки С напРавлены соответственно по перпендикуляру к ОС н вдоль ОС к центру О, причем ос =ге), а)с =ггп. (а) (и) а Зная модуль н направление вектора ос' н направления векторов ос) н ос', строим параллелограмм скоростей н по теореме синусов нз него находим: 'с "с (а) (е) Би) (90 — а) а~п (90' — р) ' отс>ода (г) (а> СОВ )ле ал Со*!! ос = <'с Овп 0050 Но (е) пс = СА — — ам„ поэтому гсов р о) = — <» »сова и, следовательно.
<„>, г'<ае сов' р ы>А =ао>, = — °вЂ” О СОве а По теореме сложения ускорений имеем: (а) (г) (е) (г) (5) (л) ы>с = <пс + ы>с = ы)с + ы>А + ы)А (а) В этом векторном равенстве известны теперь направления ВСЕХ ВЕКТОРОВ Н МОДУЛИ ДВУХ ИЗ НИХ: Ш<(гп И Ы>А">, ОСтаЕтСЯ Найтн модули векторов ы>с> и ы>(Ав>. для этого спроектируем равенство (а) на оси Ах, и Ау„тогда получим ы>с соз !) = ю< -!. ы>АП з(п а+ ы>А сова, ы)с <пп и= а>А сова — ы>А вина. (а) (с) <л) Из этих уравнений находим: (.о ! (а>, <л> гме г сов' р ы>А = — (<пс з>п р + ЖА ып а) = — ( 51п р + — — з!и а )— сов а сова >, о сове а (а >ип р сов* а -1- г мп а соз' р), ы>с =ы'с сов!3 — ы>А з1п а — ы>А сова= (г) (а> (5>- (л) (а> в(п р в>п а <а> 5(п' а <л> <л> = ыс сов (1 — ы>с — — ы>А — ы>А соз а = сОБ а с05 а (а соз (а -(- б) соз' а — г соз' р).
а сов'а Угловое ускорение е, звена О,А находим по формуле." <5) сеА го>е о А а'сов*а(аз!и Р соз'а+г з!п а сов* Р). Рассмотрим теперь геометрический способ решения этой задачи (рис. 127). Из произвольной точки О строим в выбранном масштабе ВЕКтарЫ Оа=-ШС~~ И Об = Ш(А»>. ЗатЕМ ИЗ ТОЧЕК а И Ь ПрОВОдИМ 2<3 прямые, параллельные соответственно векторам и7с" и юТ, до нк пересечения в точке с.
Тогда со и) юи =Ьс, ис =са и Ьс 6 О1~~ $4. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ УСКОРЕНИЙ ПРИ ПЕРЕНОСНОМ ВРАЩАТЕЛЬНОМ ДВИЖЕНИИ В случае составного движения точки, если переносное движение является вращательным, абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова или добавочного, ускорений этой точки, т. е. юс= юс+иь+ ю„, (99) или оп пи, -[ о — еи гас= и~с +ил +иь' +иь +сам ,р ьч с а с Рис.
127 Рис, !28 Кориолисово ускорение ю„равно удвоенному векторному произведению угловой скорости переносного вращения на относительную скорость точки, т, е. юс — — 2е, Х о„. Следовательно, модуль этого ускорения равен ю = 2сь„п, з!п и, (96) где п — угол между векторами в, и о,. Чтобы найти направление кориолйсова ускорения гас движущейся точки А4, достаточно в точке А4 построить векторы си, и и, и восставить из этой точки перпендикуляр к плоскости, в которой лежат эти векторы азз и о,. Вектор юз направлен по этому перпендикуляру так, чтобы наблюдатель, смотрящий с конца этого вектора, видел поворот вектора о», на угол а против часовой стрелки до совмещения его с вектором и, (рис. 128). Направление вектора ш„можно определить и другим спо. собом.
Проведем через точку М плоскость и, перпендикулярную к вектору ьз„и спроектируем относительную скорость о, на эту плоскость. Если полученную проекцию о' повернем в плоскости и о Г на 90 вокруг точки М в направлении переносного вращения (рис. 128), то получим направление вектора ш,. Если о, ) ы„т. е.
если вектор о, лежит в плоскости и, то для того, чтобы получить направленйе кориолисова ускорения, достаточно повернуть вектор о, в плоскости п на 90' в направлении переносного вращения; в этом случае а = 90', з)п а = 1 и, следовательно, ш =2ю,о,. Если вектор угловой скорости переносного вращения параллелен относительной скорости о„то либо а=О, либо я=180' и, следовательно, з)па=О, а потому в этом случае из=О. Задачи этого параграфа можно решить двумя сйособами: геометрическим и аналитическим. Геометрическое решение задачи состоит в построении многоугольника ускорений на основании векторного равенства (93) илн (94). При аналитическом способе решения применяется метод проекций, т. е. искомое ускорение определяется по его проекциям на выбранные координатные оси. Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на следующие два основных типа.
Задачи типа 7' (зазачи 462 †4, 466 †4, 470, 476-483, 489, 490) Требуется найти модуль и направление абсолютного ускорения. Пример 92. В примере 85 определить абсолютное ускорение точки М (рис. !29). Решение. Переносным движением в данном примере является вращение цилиндра вокруг оси г с угловой скоростью 215 м = — ' сек и угловым ускорением в =- — '=я1 1/сея . Повн > 41ме й 2 е Д этому переносное ускорение точки М равно со <л> юе ~е +~е Переносное нормальное ускорение и4"1 точки М направлено по радиусу МР, кругового сечения цилиндра, проходящего через точку М, причем ы) 1 ГЛ1 1дг =0 М о)е = —.
4 Рис 129 Переносное касательное ускорение ю,"' точки М направлено по касательной к этому круговому сечению, причем ~во =Р,М.е,=и1г, Относительным движением точки М (движение по отношению к цилиндру) является ее движение по винтовой линии со скоростью 4З о = —,=а1. г,У1 Поэтому (И [з1 И,=И~, +и,". Относительное касательное ускорение ш)' точки М направлено по касательной к винтовой линии, причем М1 СЬ, ю,= — =а. Н4 216 Относительное нормальное ускорение п)~ ' точки М направлено по главной нормали винтовой линии, т.
е. по радиусу МО„ причем (л) п)г е ' где 9 — радиус кривизны винтовой линии определяется по фор- г муле о = —., = 4г ". а)п Следовательно, (л) а»(» Ш)г ег Остается найти кориолисово ускорение (па, построив предварительно вектор переносной угловой скорости о)„направленный по оси Ог вращения цилиндра.
Так как векторы о), и ог не перпендикулярны, то для того, чтобы найти направление вектора а)а, нужно спроектировать вектор ог иа плоскость, проходящую через точку М и перпендикулярную к вектору о),, и полученную проекцию, направленную, очевидно, по одной прямой с вектором и~в, повернуть на 90' в направлении переносного вращения; следовательно, вектор (о„ будет направлен по радиусу МО„причем и) а = 2(«) «о» з) и у = (г) го г = — г ° пт. и» По теореме Кориолиса имеем: (л) (т) («) †(л) (пл (ег«+ юг+ (па= Н)е + (е)«+ (пг + (пг Проектируя это векторное равенство на трн взаимно перпендп кулярные оси Мх„Му„Мг„получим: п),л = (п(г" сои(90» — у)+ и)»("» (л) (л) (илу (егг + (и« ~ (па (о.„= ю," соз у, (т) или + 2 ю„х ~ (а + гп«), а Уз Ю л», о * См «Курс теоретической мехаиики» проф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
