Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Вектор юс составляет с направлением СО угол а = 60', т. е. направлен по стороне СА треугольника АВС (рис. 113, в). Глава [*т' СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ В Е УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ТРАЕКТОРИЯ СОСТАВНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ Если мы рассматриваем движение точки по отношению к системе координат Ох,у,г„которая в свою очередь движется относительно системы отсчета Охуг, принимаемой за неподвижную, то движение точки М по отношению к подвижным осям О,х,у,г, называется втносиглельным. Движение подвижных осей О,х,у,г, относительно неподвижной системы отсчета Охуг называется переносным, а движение точки М относительно неподвижных осей называется в этом случае составным, или абсолютным движением. В связи с этим 197 различают абсолютную (о,), относительную (и,) и переносную (о,) скорости точки М, а также абсолютное (ю,), относи тельное (ю,) и переносное (в,) ускорения этой точки При этом относительной скоростью и относительным ускорением точки называют ее скорость и ускорение в относительном движении, абсолютной скоростью и абсолютным ускорением точки называют ее скорость и ускорение в абсолютном движении.
Переносной скоростью и переносным ускорением точки называются соответственно скорость и ускорение той точки, неизменно связанной с подвижной системой осей, с которой в данный момент совпадает точка М. Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разбить на два основных типа: 1) зная относительное движение точки и переносное движение, найти уравнения и траектбрию абсолютного движения этой точки (задачи 417, 419 — 422); 2) зная абсолютное движение точки и переносное движение, найти уравнения и траекторию относительного движения точки (задачи 418, 423, 425). При решении этих задач следует прежде всего установить подвижную и неподвижную системы отсчета и выяснить характер переносного движения, т. е.
характер движения того тела, с которым неизменно связана выбранная подвижная система осей. После этого следует установить, какое движение рассматриваемой точки является абсолютным движением и какое †относительным. Пример 83. Движение точки относительно подвижных осей Ох,у, задано уравнениями: Ж х =4 51п — 1, 2 у =1 — соз — т. 1 2 Подвижные оси Ох,у, вращаются в своей плоскости вокруг неподвижной точки О по закону у= — 1.
Составить уравнения 2 движения точки М относительно осей Оху (уравнения абсолютного движения) (рис. 114). Р е шеи ив. Переносным движением в данной задаче является вращение подвижных осей Ох,у, вокруг точки О. Чтобы найти уравнения абсолютного движенйя точки М, нужно ее координаты х и й в неподвижной системе осей выразить в функциях времени г'. Построив координаты точьи М в подвижных и неподвижных системах осей, имеем по формулам преобразования координат при повороте осей на угол ~р х=х, сов ф+д, в!п ~р, д=д,сову — х, 51п<р, Рис 114 или, подставляя значения х„д, н ~р, получим искомые уравнения абсолютного движения точки М: х=4 51п 2 Гсов — 'и Г+ 1 — сов — Г 51п — Г, 2 2 / 2 и 1 и и . л д=1! — сов — 1) сов — à — 4 айп — 1 51п — г ) нли 3 и х= — в!пят+ в!и — 1 2 2 и 3 б д = сов — Г+ —, сов пт — —.
2' П р н м е ч а н и е Исключив 1 иэ уравнений относительного движения точки М, находим ее откосительную траекторию: (хг )э Это есть эллипс с полуосями а=2, в=1 и с центром в точке А !0, 1). Следовательно, абсолютное движение точки М можно представить каи движение по этому эллипсу, который вращается вокруг точки 0 Пример 84.
Резец совершает прямолинейное возвратно-поступательное движение так, что его конец М движется по неподвижной оси Ох по закону Х=ОМ=ав!пю1. Составить уравнения движения точки М относительно диска, вращающегося !99 равномерно с угловой скоростью в вокруг точки О, и найти траекторию этого относительного движения (рис. 115), Р е ш е н и е. Подвижную систему координатных осей Ох,у„ неизменно связанных с диском, выберем так, чтобы в начальный момент ось Ох, совпадала с неподвижной осью Ох.
Тогда уравнение переносного вращательного движения запишется так: ~р = вг. Чтобы пслучить уравнения относительного движения точки М, находим ее координаты в подвижной системе отсчета Ох,у,: Х х, = ОВ = ОМ соз ~р, у, — ОА =- — ОМ зш ~р. Подставив сюда значения ~р и ОМ, получим: х = а з(п в! соз в( = у, = — а з!и в! з!и в1 = — а з(п' в|. Рис. 115 Это и есть уравнения относительного движения точки М. Чтобы найти траекторию относительного движения этой точки, достаточно из последних двух уравнений исключить время Г. Для этого возведем первое из этих уравнений в квадрат: х,' = а' з!и' вг сов* вГ = а' з!п' в1(1 — з!и* вг). Заменяя а з(п'вт через у„получим: х'= — у (а+у ) или у', = — ау, — х',, или х,'+ ау, + у* = О, или х,'+(у, + — ) = —. Следовательно, искомая траектория есть окружность радиуса а / а~ — с центром в точке ( О, — — ) . 2 2)' 200 й 2. ТЕОРЕМА СЛОЖЕНИЯ СКОРОСТЕЙ Если точка М участвует в составном движении, то имеет место следующая теорема: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки (рис.
116), т. е. аа аз+ оз' (86) Если угол между векторами о, и о, обозначим а, то модуль н направление вектора абсолютной скорости определяются пе Рис. Нб формулам (87) и (88): 'г' и,'-1 о',-'+2п,п,сова (87) (88) зази зн13 з|пт ' где р и у — углы, образуемые вектором о, с векторами о„п и,. Задачи, относящиеся к этому параграфу„можно разделить на четыре основных типа.
Задачи глина 7 (задачи 433, 439, 444) Зная переносную и относительную скорости точки найти ее абсолютную скорость. Решение задач этого типа сводится к построению паралле. лограмма скоростей по двум смежным его сторонам о, и о,. Пример 85.
Круглый цилиндр радиуса г вращается вокруг своей вертикальной оси Оз с угловой скоростью ы= — 1*1(сек. 2 По поверхности цилиндра перемещается точка М по винтовому ам пазу по закону 3= —, где 3 есть длина дуги М,М винтовой 2 ' линии. Касательная к винтовой линии составляет с образующей цилиндра угол у=80". Определить абсолютную скорость точки М в момент г(Г выражено в сек, а 3 — в м) (рис. 1!7). 3В ззч.
437! 201 рами о, скорость 2 Р е ш е н и е. Если систему подвижных осей Ох,у,г неизменноо свяжем с цилиндром, то переносное движение будет вращательным вокруг неподвижной оси Ог с угловой скоростью еа, = Г» = — 1* ))сек. Поэтому переносная скорость точки М будет направлена перпендикулярно к 'плоскости МО,г н по модулю равна о,=еа,г = — гт.
Относи- Л е е е 2 тельным движением точки М (движением по отношению к цилиндру) является ее движение по заданной винтовой ли- ан нии по закону 3 —.Следова- 2 тельно, относительная скорость точки М направлена по касательной к винтовой линии и по модулю равна «.у »з о„= — = а1 см)сек. »1 Рис. 117 Так как угол между вектои о, равен 90' — у=60', то по формуле (8?) абсолютная точки М будет равна о.=)' о*,+о,'+ 2о,о,соз(90' — у)= ( — ' г1* 1 +а'1'+ 2 — гт'а1— 2 = — 'г (пгт+ а)' + За'см,'сек, Задачи типа )1' (заза«и 433, 441 †4) Зная абсолютную скорость точки и направления переносной и относительной скоростей этой точки, найти модули этих скоростей.
Решение задач этого типа сводится к построению параллелограмма скоростей по данной диагонали и направлениям двух смежных его сторон. Пример 86. Механизм состоит из двух параллельных валов 0 н О„кривошипа ОА и кулисы О,В; расстояние между осями валов равно 00,=30см, длина кривошипа ОА равна 10 ем. Кривошип вращается равномерно вокруг оси 0 с угловой ско- 2о2 ростью а=4 11сек. Найти переносную и относительную скорости точки А, а также у! ловую скорость ы, кулисы в момен г, ко! да кривошип ОА составляет с вертикалью угол ф = 60' !рис.
118). Р е шеи и е. Если за подвижную систему отсчета выберем си- Р / стему, неизменно связанную с кулисой О,В, то переносное движе- 8 ние будет вращательным вокру г оси О, с угловой скоростью ыг Поэтому переносная скорость точ. ' р ки А будет перпендикулярна к Ве О,А и помодулюравна о,=О,Аы . 1 Относительное движение точки 4, !а - !' т. е. ее перемещение относительно кулисы, является прямолинейным вдоль О,В.
Поэтому вектор относительной скорости о, этой точки ! / направлен по прямой О,В. Но точка А принадлежит одйоврсменно н кривошипу ОА, вращающемуся вокруг неподвижной оси О с угло- 1 вой скоростью ы=-4 —, а потому С, траекторией абсолютного движе- Рис. 1!8 ния точки А, т.
е. ее движения по отношению к неподвижной системе координат О,ху, является окружность радиуса ОА. Абсолютная скорость точки А направлена перпендикулярна к ОА и по модулю равна о, = ы ОА = 4 1О = 40 см)'сек. Зная модуль и направление вектора и, и направления векторов и, и о, строим параллелограмм скоростей, в котором вектор п, должен быть диагональю. Так как о„) п„то из пря.
моугольного треугольника имеем: п,=о, з!ну, п,=п, сову, где у — угол между векторами и, н о„равный углу ОАО,. Для определения этого угла из треугольника ОО,А находим: О,А = г'О,О'+ОА' — 20,0 ОА сов !180' — !р) =* = )' ЗО' + 10' + 2 ЗО 10. соз 60' = 10 $ '18, О,А О,А о,о и1и т и!и 1180' — р) и|и ф 8Ви 203 Отсюда о,о . зо р'з з р'з ыпу, ш~р 27 5 созу=Р'1 — з)п'у = ь 1 — — ==.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
