Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Вектор ол перпендикулярен и ОА и по модулю равен ол — — ыОА = 2 25 = 50 см(сек. Так как кривошип ОА вращается равномерно, то ускорение шл направлено вдоль АО, причем ш„=ы*ОА =4 25 100 см/сек'. Рис. 110 Так каи точка В принадлежит звену ВС, вращающемуся вокруг неподвижной точки С, то траекторией точки В является дуга окружности с центром в точке С и радиусом СВ. Поэтому векторы о и в' направлены по одной прямой, перпендикулярной к ВС, а вектор нгв направлен вдоль ВС и по модулю и~в равен ш" = ~ . Кроме того, ~в = ~в+ ~в (а) С другой|стороны, точка принадлежит звену ВС, движущемуся в плоскости рисунка; принимая в этом движении точку А за полюс, по формулам (75) и (78) имеем: "В = ПА+ ВВА ~В А+ ВА+ ВА' (б) (в) где векторы оз„и ш'А направлены по одной прямой, перпендикулярной к АВ, а вектор пгВА направлен вдоль ВА, причем г СВА пеВА — — .
До того как переходить к определению ускорений, следует найти скорости ВВ и ВВА, для этого построим, согласно равенству (б), треугольник скоростей В. Тогда Вас ва, аЬ=ВВА ВЬ=ВВ причем ~ ВЬа = ~ А ВС = 30, ~ а ВЬ = 90' — ~ СВО =- 30'. Отсюда Ва=аб, т. е. ВВА —— ВА — — 50 см~~сек, ВВ = В Ь = 2 В а соз 30 = )ГЗ ВА — 50 )' 3 см, сек, Следовательно, СВ ЗС~А в" = — = — = 150 см'сек* В ВС ВС ~вА = Ав — — 50 см/сек*. !91 Теперь переходим к определению искомого ускорения ~оа. Для этого построим многоугольники ускорений по формулам (а) и (в), начиная построение с известных векторов ш", шА и ш"А .
Из точки о проводим вектор оа,=шА, из точки а,— вектор а,с,=ш"А, а из точки с,— прямую се, параллельную вектору ш'А, т. е. перпендикулярную к а,с. Далее, из точки о проведем вектор ое, =- ш", а из точки е,— прямую е,е, параллельную вектору в', т. е. перпендикулярную к оес Точку пересечения прямых с,с и е,е обозначим через Ь„тогда е,Ь,=ш', с,Ь,= ю'А и ВЬ,= вз, Измерив выбранной единицей масштаба длины сторон е,Ь„с,Ь, и ВЬ„найдем модули ускорений шв, ШВА и ИВ.
Так как все углы в многоугольниках ускорений известны (см. рис. !10, б), а неизвестными остаются только модули двух сторон, то эти стороны можно вычислить по формулам тригонометрии. Так как оа,=2а,с, и ~оа,с,=50", то ~а,ос,=30', ~а,с,о=90' и прямая с,с проходит через точку о, т. е. много- угольник ускорений превращается в два треугольника: Г),оа,с, и г~,ое,Ь„в которых ~~с,оЬ, =-60'. Из этих прямоугольных треугольников имеем: е,Ь, =се, 1360', оЬ, =2ое и ос, =оа, з1п60', с,Ь, =с,о+оЬ„ откуда вв =)' 3 вв, 1св — — 2вэ, ~'з эд д 2 + з в Как было указано выше, численные значения векторов в и„, в'д можно найти методом проекпий: проектируя вектор- ное равенство в" + в' =вд+в"д+ и', на прямые ВА и ВС, получим: 1) вэ сов 60' — в" сов 30'= висок 60' — в"; 2) и" — вд соз 30'+ в" д соз 30'+ в,',д соз 60'.
Отсюда вв = в 4 — 2вэд + вз )г 3 = ! 50 $' 3 см,'се~к, ввд =)г Звд+ 2вэ — взд)Г 3= 1300 1-50 гг3) см,~сек', вэ — — )/г(вв) + Ьэ) = 300 см,'сек'. Третья группа Особенностью задач этой группы является то, что угловое ускорение е фигуры находится здесь как производная — по (Й~ щ Й3 времени от угловой скорости, т. е. е = — . ю ' Пример 81. Кривошип ОА вращается в плоскости рисунка вокруг неподвижной точки О с угловой скоростью о=2 !!сек и угловым ускорением а=4 1)сек' и приводит в движение свободно насаженную на него в точке А шестерню ! радиуса 5 см, катящуюся без скольжения внутри неподвижного колеса 11 радиуса г, = 15 см.
Определить скорость и ускорение точки В подвижной шестерни, если ~ОАВ=60' (рис. 111, а). Решение. Найдем сначала скорость од точки А и касательное и нормальное ускорения в„и вд этой точки: од — — ыОА = =ы(г,— г,)=20 см)сек, в" = и'ОА =40 см'сеК, вд= вОА = ° =40 см)сек', так как вд = вд, то вектор вд составляет с направлением АО угол 45', а с направлением А — угол, равный 60 — 45 =15'. Качение шестерни ! по неподвижному колесу П 192 происходит без скольжения, а потому мгновенный центр ско- ростей шестерни 1 находится в точке касания Р колес и сле- довательно, угловая скорость подвижной шестерни 1 равна: ил (с,— и) /с, ы = — =ы — =в( — — -1); ! б б (г, отсюда угловое ускорение втой шестерни равно е, = — '=( — ' — 1) — = ~ — ' — 1) з.
Далее задача может быть решена двумя способами: 1) по формуле (78); 2) при помощи мгновенного центра ускорений по формулам (83), (84). Рнс. ! !! 7-й способ. Выбирая точну А за полюс, имеем: 'вв гвл+ел+ сввл+'вол причем (а) св" в — — в', А В = ы' ( — ' — 1 ) А В = 80 см )век', зг, швл —— з,АВ= е (г-' — 1) АВ = 40 см!сек". тг, Вектор гв есть замыкающая сторона ломаной линии, сторонами которой являются векторы !вд, !вл, седл, гв'.л, известные как по модулю, так и по направлению.
Таким образом, все слагаемые в правой части предыдущего векторного равеяства известны и по модулю, и по направлению. Построив много- в в , ззт! угольник ускорений, в котором Ос= в'„', со= вд„ае= в" д, еб=ввл, найдем искомое ускорение вз точки В: ОЬ= вз (рис. 111, б). Для определения модуля и направления вектора вз методом проекций, спроектируем векторное равенство (а) на оси х и у, направленные по ВА и перпендикулярно к ВА. Тогда вз = гсзл — в л соз 60' — вл соз 30' = =80 — 20 — 203~ 3=(60 — 204 3) см1сек*, вз — — взд — вд соз 30'+ вл соз 60 = з»= = 40 — 203/ 3+ 20 = (60 — 20 ~/ 3) см/сек'. Отсюда вв — / ~с» + в~в — — 20(3 — 1/ 3) )» 2-"-35,8 см,'сек*.
з — е з» з» Так как вз„= вз, то вектор вз образует с направлением ВА угол 45 . 2-й способ. По формулам (84) и (85) находим: тйа= — ', = — = —, А1„1= == $'ГО~ 3,16 ем. з, а 1 вд ДО У2 Повернув вектор вд вокруг точки А в направлении вращения 1 шестерни 1, т. е. по часовой стрелке, на угол а =агс1дв 2 и отложив на полученном после этого луче отрезок АЯ =)/10=.3,16 см, получим точку 9 †мгновенн центр ускорений (рис. !12). Тогда для ускорения в„ точки В по формуле (83) имеем: в =ВЯ „/ з'+в'= 3 ! ВЯ ~Г8' + 16' = В1',1 8 1/ 5.
В Рис. 112 Расстояние ВЯ вычислим из треугольника АВЯ, в котором ~ ВА11 = а — 15',В()» = АВ' -1- АЯ» — 2АВ . А Ц соз (а — 15 ) = 35— — 20)» 2(соя 15'+то агбп 15') ь.. 4,15, т. е. ВЯ= 2,03 см и, следовательно, вз =- 2,03 8 )"5 ~ 36 см)сек'. Вектор вз составляет с направлением ВЯ такой же угол а, как и вектор вд с направлением АЯ, Четвертая группа Пример 82. Равносторонний треугольник АВС движется в плоскости хОу так, что его вершины А и В перемещаются по осям Ох и Оу, причем шА —— 20)'Зсм/сск', аюа — — 20см/сел'. Найти ускорение ш вершины С в момент, когда сторона АС параллельна оси Ох, если АС=20 см (рис.
113, а). В/ 4 д/ г) 0 в, А Рис. 113 () (б) Векторы пгВА и га"А направлены соответственно по ВА и СА, а векторы ш А и в'А — соответственно перпендикулярны к ВА н СА, причем и "А в*АВ, ~осА — — а'СА, швА = ВАВ, Ы~~А = еСА.
в Решение. /н1 способ. Выберем точку А за полюс, тогда, согласно формуле (78), имеем: В А+ ВА+ ВА' С А+ СА+ СА Так как ВА=СА, то взл вел взл вел. На основании равенств (а) и (б) построим многоугольники ускорений точек В и С. Для мого из произвольной точки О проводим векторы Оа =вд и ОЬ=вз. Далее из точки а проводим прямую„ параллельную вектору в"л, т. е. параллельную ВА, а из точки Ь вЂ прям, параллельную в'д, т. е. перпендикулярную к ВА до их взаимного пересечения в точке е, Тогда ае = в" „, еЬ = вы ~, Чтобы построить многоугольник ускорений для точки С, проведем вектор ае(, параллельный вектору вод, т.
е. парал- лельный СА и равный по модулю ае (так как в"я=в"д, то ад=в" д — — в д — — ае, т. е. аб=в",). Затем из точки е( проведем вектор Йс, перпендикулярный вектору аа, причем бе= вс1д —— в'д — — еЬ. Соединив точки О и с, получим замыкающую сто- рону многоугольника Оае(с, т. е. Ос= в. (рис. 113, б). Для решения задачи методом проекций спроектируем равен- ство (а) на прямую ВА и прямую, перпендикулярную к ВА, а равенство (б) — на оси х и у. Тогда имеем: 1) — ва соз 60' = — вд соз 30'+ в" д,. 2) — вз Соз 30' = вд соз 60' — ввд, 3) в,„= — в" ' сл' '1) в~г= вл+всл Отсюда в" л = вл соя 30 — вз соя 60'= 20 $/ 3 — — — = 20 см(сек*; — т~З 2О 2 2 магд — — влсоз60'+взсозЗО'- + ' =-201 3 ем)сек*; 2о р з 2о у з в „= — в" = — в" = — 20 см/сек', сх сл Вл вс — — — вд + вел = — вд + взд = — 20 )' 3 + 20 1' 3 = О.
Следовательно, ускорение в точки С равно по модулю 20 см(сек' и направлено по оси Ох влево. 2-й способ (при помощи мгновенного центра ускорений). Так как в данной задаче ускорения вд и вз заданы, то мгновенный центр ускорений проще всего можно найти как точку пересечения двух прямых, проведенных из точек А и В под одним и тем же углом п=агстп —, к ускорениям точек [см. [е[ м~ формулу (84)[. Но угол а равен углу между векторами в „ и ВА [см. формулу (80)[.
Из равенства (78) имеем: ~аА юа ~А Чтобы построить вектор ювА, т. е. разность ю — шА, проведем из произвольной точки О векторы Оп=~их и ОЬ=в и соединим их концы. Тогда юаА--аЬ (рис. 113, в). Из прямоугольного треугольника ОаЬ находим: 18 у = — = —, = 'Р' 3, где у = ~ ОЬа, Оа вд Оа мз т. е. у=60'. Отсюда следует, что вектор ваА, проведенный из точки В, направлен по стороне ВС треугольника АВС и потому составляет с направлением ВА угол 60' (рис. 113, г).
Следовательно, а =60'. Теперь, чтобы построить мгновенный центр ускорений, достаточно повернуть на угол 60' против часовой стрелки вектор юА вокруг точки А, а вектор ю вокруг точки В. Полученные после этого поворота векторы будут направлены соответственно по биссектрисе угла А треугольника АВС и по стороне ВС; точка пересечения 9 этих прямых является мгновенным центром ускорений. Так как, очевидно, ([С = ОВ, то юс=ю„=20 си~век' [см. формулу (83)[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
