Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ, ДВИЖУШЕЙСЯ В СВОЕЙ ПЛОСКОСТИ (задачи 501 — 538) Движение плоской фигуры в ее плоскости можно разложить на два движения: 1) поступательное движение со скоростью, равной скорости какой-либо точки А тела, принятой за полюс, и 2) вращательное движение вокруг этого полюса (вокруг оси, проходящей через полюс и перпендикулярной к плоскости движущейся фигуры). Прн этом угловая скорость вращательного движения не зависит от выбора полюса. Отсюда следует, что скорость любой точки В плоской фигуры равна геометрической сумме двух скоростей: скорости полюса о. и скорости овд точки В во вращательном движении вокруг полюса, т. е. оа = од + Рад, (75) причем озд ) АВ и о д— - АВ в. Отсюда следует теорема о проекциях скоростей точек плоской фигуры: проекиии скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую вти точки, равны между собой. Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется такая точка Р плоской фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю.
Если известны скорость од какой-либо точки А плоской фигуры и угловая скорость этой фигуры, то, повернув вектср од вокруг точки А на 90' в направлении вращения фигуры и отложив на этой полупрямой отрезок АР=' — ''д, (76) получим точку Р, которая является МЦС (рис. 102). Если же известны направления скоростей двух точек плоской фигуры, то МЦС находят как точку пересечения перпендикуляров, восставленных в этих точках к направлениям их скоростей. Если мгновенный центр скоростей Р найден и если известна угловая скорость ьз фигуры, то скорость любой точки В фигуры определяется как скорость этой точки во вращательном 172 движении вокруг мгновенного центра скоростей, т.
е. вектор из перпендикулярен к отрезку РВ и по модулю равен произведению аРВ. Отсюда следует, что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра скоростей, т. е. о~ РА эз РВ' (77) С ОА + ПСА' причем о А ) АС. На основании этого векторного равенства строим треугольник скоростей. г(ля этого в точке С строим вектор о„, из кон а а которого опустим перпендикуляр ас на прямую АВ, тогда оо=Сс и оса=ас, причем ~аСс=~р.
Из 173 Таким образом, скорость любой точки движущейся плоской фигуры можно определить двумя способами: 1) по формуле (75); 2) прн помощи мгновенного центра скоростей. Из задач, относящихся к этому параграфу, следует обратить внимание на такие задачи, в которых имеются плоские механизмы, состоящие из нескольких звеньев (иапример, задачи 517, 533, й„ 535 †5). При решении этих задач рассматривают последовательно движе. В ния отдельных звеньев механизма, на- ~ За' чиная с того звена, движение которого задано, и при переходе от одного азА звена к другому определяют скорости тех точек, которые являются общими для этих двух звеньев механиз- р ма. Следует подчеркнуть, что мгновенный центр скоростей можно находить только для каждого звена в отдельности; то же относится и к угловым скоростям (см.
пример 75). Пример 74. Стержень АВ длиной 5 м опирается иа неподвижное ребро С двугранного угла и движется в плоскости чертежа так, что нижний его конец А скользит по горизонтальной оси х со скоростью, равной од — — 4 м/сея. Определить угловую скорость а и скорости точек В и С стержня в момент, когда угол у=30', если ОС=2 м (рис. 103). Решение, 1-й способ. Скорость точки А направлена по прямолинейной траектории втой точки, а скорость точки С стержня АВ направлена вдоль этого стержня.
Принимая точку А за полюс, по формуле (75) имеем: этого треугольника имеем: о = од соа !р = 4 — = 2 !/ 3-3,46 д!!сея, з'з ! осд — — од а! п (р = 4 — = 2 м(сел. 2 // / // / / / / / / / / / / ,/ : од р !оз Но откуда м= — „= — =0,5 1(сея. осд АС 4 Переходя к определению скорости точки В, имеем; па=од+оэд, причем арап!ательная скорость о д точки В во- 114 круг полюса А перпендикулярна к АВ и по модулю равна 1 озл-— сзАВ=5 — =2,5 м,сея. 2 Аналогично предыдущему строим для точки В треугольник скоростей, в котором известны по модулю и направлению две стороны ол и оа Так как угол в треугольнике скоростей, лежащий против стороны о„, равен 90' — ф=60', то оа — — $' ил + пал — 2олсзлсоь60' = 3,5 м'гек.
?ч1 способ. Скорости точек С и В и у~ловую скорость стержня АВ можно найти и другим способом, построив мгновенный центр скоростей стержня АВ, как точку Р пересечения прямых АР и СР, перпендикулярных к скоростям ол и о . Тогда пл пв сс Расстояния РА и РС находим из треугольника АРС, а расстояние Р — из треугольника ВРС. АС 4 РА = — = —.=8 м, мп ф в1п 30' РС = АС стп ф = 4 с1п 30' 41/ 3 м, Ре —.— е ВС+ Рс' — 1'! +48=7 Следовательно, пл Л 1 сп = — = — =0,5 —, АР 8 ' сек' ос —— сзРС=0,5 43г'3 = 2У Зж3,46 ле/сея, оз — — ыРВ=0,5.7 =3,5 м/сек Вектор оа перпендикулярен к отрезку РВ. Пример 75.
Кривошип О,А =20 см делает 120 оборотов в минуту и при помощи звена АВ=-100 см приводит в движение стержень О,В=60 см, закрепленный шарнирно в точке О,. Определить угловую скорость стержня АВ и угловую скорость стержня О,В в момент, когда кривошип О,А займет вертикальное положение, если известно, что в этот момент звено АВ образует с вертикалью ~О,АВ =60' и БР АВО,=ЗО' (рис. 104). Реше н не. ! и ело~об. Ланный механизм состоит из трех звеньев, 175 1) кривошипа О,А, вращающегося вокруг оси О, с углоиой скоростью: лл ! се= — =4л —; = Зо= 2) стержня О,В, вращающегося вокруг оси О,; 3) стержня АВ, движущегося в плоскости чертежа.
Найдем скорость точки А. Вектор од перпендикулярен к радиусу вращения О,А и по модулю равен од — — свО,А =4л20 =80л см'сек. Далее рассмотрим точку В. Так как точка В принадлежит звену О,В, вращающемуся вокруг неподвижной точки О„то скорость точки В перпендикулярна к О,В.
Принимая точку А за полюс, по формуле !75) имеем: ов = од+ овд, причем о ад ) А В и овд=ы,АВ. На основании этого векторного равенства строим треугольник скоростей. Для этого в точке Встроимвектор Во=о и луч, перпендикулярный к д,В, а из точки а — луч, перпендикулярный к АВ, до их взаимного пересечения в точке Ь. Тогда ов — — ВЬ, о „=аЬ, причем ( ~ аВЬ = ~ ВЬа = 30'. Следовательно, е овд — — од — — 80 см'сек и ов- 2од соз 30' = од) 3 = = 80л) с3 см 'сек.
ое Рис !04 Теперь, зная скорости о и о „, находим искомые угловые скорости св, и св, стержней АВ и О,В: ов зол~З 4л~ З ! ы О,В 60 3 сек" в ад 80л ! с» =- — = — =0,4л — . АВ !00 ' сек ' 176 Если бы в данной задаче не требовалось находить угловую скорость звена АВ, то скорость точки В проще было бы найти по теореме о проекциях скоростей точек А и В на прямую АВ, Этой теоремой удобно пользоваться в тех случаях, когда заданы направления скоростей двух точек плоской фигуры и модуль одной из этих скоростей.
2-!2сиособ. Находим мгновенный центр вращения Р звена АВ как точку пересечения прямых О,А и О,В, перпендикулярных к скоростям оз и и . Так как скорости точек звена АВ пропорциональны их расстояниям от мгновенного центра вращения этого звена, то е4 РА з откуда 1В и А РА' Рис 100 Из треугольника АВР имеем: РВ мп 120' 1«З .2 РА мп ЗО' 2.1 Следовательно, оз = оА«г 3 "в ««4 УЗ 40 УЗ ы, = — = = — 1'1сек. О,В О,В 3 Угловую скорость звена АВ найдем по формуле (76): ГА ГА = — Р= — = 1 0=0,4п 1~сек. АР АВ !00 Пример 76. Кривошип О,О, вращается вокруг неподвижной оси О, с угловой скоростью «а,=4п 1,«сек и приводит в движение колесо П радиуса г,=10 см, катящееся без скольжения 177 по неподвижному колесу 1 радиуса и, =50 см.
С колесом П в точке А соединен шарнирно стержень АВ=80 см, который приводит в движение ползуи В, перемещающийся по горизонтальной направляющей, проходящей через точку О,. Построить мгновенный центр скоростей звена АВ и найти его угловую скорость, а также скорость точки В в тот момент, когда кривошип 0,0, вертикален и О,А !!О,В (рис. !05). Решен не.
Так как движение кривошипа 0,0, задано, то этот кривошип является ведущим звеном, поэтому сначала найдем скорость точки О,. Вектор оо, перпендикулярен к 0,0, и по модулю равен оо, = ыо О, О, = 4л 40 = 160н см,.'сек. ,((злее рассмотрим точку А, которая принадлежит колесу П; это колесо катится без скольжения по неподвижному колесу ! и поэтому скорость точки С колеса 7 равна нулю, т. е. точка С является мгновенным центром скоростей для колеса П, и скорость ов точки А перпендикулярна к СА. Кроме того, по формуле (77) имеем".
и! АС вЂ” = — =Р 2, и,, ОвС откуда ох —— оо,)/г2 = 160л 1: 2 см,'сек. Перейдем теперь к стержню АВ. Так как ползун В движется прямолинейно, то скорость ое точки В направлена по прямой О,В. Чтобы построить мгновенный центр скоростей для звена АВ, достаточно восстазить перпендикуляры в точках А и В к направлениям векторов ов и о до пересечения этих перпендикуляров в точке С,. Тогда е~ВС,А =45', з)п у= — „'„'= — = —, 0,0, 40 1 откуда 7=80'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
