Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Определить положение центра тяжести профиля, состоящего из прямоугольника и двух уголков, размеры кото- " Расстояние от центра тяжести С кругового сектора радиусом 11 до 2 ймпп центра круга О определяется по формуле ОС= —, —, где и — половина 3 а центрального угла этого сектора, 3 зая. тате.
Центр тяжести С, кругового сектора АВАРКА лежит на прямой ВК, причем рых в миллиметрах указаны на рис. 82. Решение. Выберем систему координатных осей, как указано на рис. 82, и заданный профиль разобьем на шесть прямоугольников 1, П; ..., *г'1. Обозначим центры тяжести этих прямоугольников соответственно С„ С„ ..., С„ а их площади о„о„5„..., 5,, Тогда 8, =200 12=-2400 м,и*=24 см*; 5,=60 10=600 мм'=6 см'! 8, = 5, = Я, = 80 1О = 800 мм' = 8 см*; 8.=350 10=3500мм'=35 см*. г -, При вычислении координат х„у„х„ рис.
52 д,, ..., х„у,точек фф..., С, следу- ет учесть, что центр тяжести прямоугольника находится в точке пересечения его диагоналей, а поэтому х, = 100 мм = 10 см; х, = 200 — 5 = 195 мм =- 19,5 см; х,=х =!0+40=-50 мм= 5 см; х = 5 мм=О 5 см; х,=200 — 10 — 40=150 мм=15 см; уо=6 мм=-0,6 см; у, =12-1-30=42 мм =4,2 см; у,= 12-1-350 — 5= — 357 мм=35,7 см; у,=12+ — =«187мм= =18,7 см; у,=д,=12+ 6= 17 ми=1,7 см. Полученные данные расположим в виде табл. 1!. Искомые координаты центра тяжести данного профиля находим по формулам (42): ~ Ях; 940+117+40+17,5+40+120 574,5 5 4 — 94+ В+ В+ З5+ В+  — 59' В,Ю 14,45 25.9+7В5,5+554,5+15,5+15,5 59 — 1 о(смЯ~ 89 Если в данной фигуре имеются вырезы (отверстия), то координаты центра тяжести такой фигуры определяются тем же способом, как и в примерах 47 и 48, по тем же формулам (42), но только площади вырезанных частей (поскольку они отнимаются) нужно считать отрицательными, т.
е. брать со знаком минус. 130 Таблица 11 № ееетеа з,вв, 1О 24 0,6 14,4 240 вв,в 4,2 25,2 117 35,7 40 в 18,7 17,5 654,5 35 0,5 1,7 13,6 40 1,7 !20 15 !3,6 Пример 49. Определить положение центра тяжести фигуры, представляющей собой круг радиусом )с с центром в точке О, нз которого вырезаны три круга с центрами в точках 0„0„0„ если расстояния между центрами этих кругов и их радиусы соответственно Д равны: 1=30 2 А' е 2 00, =1„ Оо 1м 00, =1,. 17 гв =— б ге= 8 ' г,=— 4 !31 Угол а равен 120' (рис.
63). Решение. Начало координат выберем в центре 0 большого круга, а ось х направим по прямой, соединяю- Рис. 83 щей точки 0 и Ос Будем рассматривать данную фигуру, как состоящую нз кругов радиусов г„г„ г, и полного круга радиусом 14 (без вырезов). Обозначим площади этих кругов Я„Я„В„З„а координаты нх центров тяжести Хв у Хе уе Х в у Х в уе Так как центр тяжести каждого круга совпадает с центром этого круга, то х =1 соз60 = —; е !7 в в 3 * х,=1,соз60' = —; !7 зи. х,= — ! = — —: а 4 х,=О; И~ 3 И$3 р ! соз 30 д ! соз 30 4 1 1 з ' ° р,=д,=О. Кроме того, З,=н14*. Так как плошади вырезанных кругов отнимаются, то, как было указано выше, их надо считать отрицательными, т.
е. я37', пл' Я,= — иг*, —; Б,= — пг', = —— !6 ' пка Я= — пг = — —. 36 ' Таким образом, получим табл. 42. Таблица 12 № ааатеа 5,№ Иа 3Г3 — лй' 64 — ий' 192 й 3 192 — газ и Уз 64 — — пйа 16 — пй' 64 пй1 48 — пй' 36 пйа Координаты искомого центра тяжести будут: 1 1 13 йа Ля Я;л! ~ 192 64 48 ! 1 -Ъ~ ., ~ +1) 64 16 ) 64 16 36 Итак, х, = О, у, = 0,02!с.
Четвертая группа Разбив данное тело на а простейших по форме частей, обозначим объемы этих частей Рп а координаты их центров тяжести лп у, г;. Тогда координаты центра тяжести данного тела определяют по формулам: чя чад ~,'1Ч ' Пример 50. На рис, 84 показан разрез тела, состоящего из цилиндра радиусом г н высоты й и двух полушаров радиусами гс„гс„центры которых совпадают с центрами нижнего и Г,1 4' верхнего оснований цилиндра. Определить центр тяжести этого тела, если гс, 2.Ч„ 3 ' йг с Решение. Так как ось г является для данного тела осью симметрии, то искомый центр тяжести С этого тела лежит на оси г, поэтому достаточно вычислить только ш одну координату г,. Обозначим объемы полушаров и цилиндра соответственно г'„'г'„'г'„а их центры Ряс.
84 тяжести С„ С„ С,, За начало координат выберем точку С,. Тогда эти объемы н координаты центров тяжести С„ С„ С, будут соответственно равны: 1~, = 3 лй, '=144лг*, /а 3 1* 33 г,= — ~ — + — Я,~ — — — г 1'.= 3 л)~~ = 18л г.= 8+-В-)1. = — г' ° 8 ° (г, = лгей 12лг'„г, = О. Искомую координату г, центра тяжести данного тела находим по третьей формуле из (42): 33 87 Уг,+рг,+Чг, 4 8 1413 !44+ 18 г,= — 6,09 г.
г — 6г. с Итак, ' Расстояние от центра тяжести полушара радиусом 8 до его основа- 3 ния равно — 1с (см учебник проф. И в1, Воронкова, й 58). 8 В некоторых случаях применение метода разбиения тела (нли данной плоской фигуры) на простейшие части связано с особым приемом, который можно назвать методом дополнения. откуда 2,У,— 2,У, зс= у или г,У,— а~У, с у, у, (44) Так как объемы двух подобных конусов АКВ и РКЕ проу, и' порцнональны кубам радиусов их оснований, то у' = †, и, сле- У, г' довательно, 2~ Я~ — $~г~ хс о ° га !34 Сущность этого метода состоит в следующем. к данному телу ! присоединяют второе тело !! так, чтобы получилось новое тело Ш простой геометрической формы, центр тяжести которого легко можно определить.
Например, продолжив две противоположные стороны данного четырехугольника до их пересечения, можно дополнить его до треугольника; усеченный тетраэдр можно дополнить до четырехгранной пирамиды. Если при этом положение центра тяжести присоединенного тела (! также легко можно определить, то к телу (!! применяем метод разбиения на простейшие части; это тело можно рассматривать состоящим из двух частей: данного тела ! и добавленного тела И, и, следовательно, можно воспользоваться формулами (43). Р' ге Пример 51. Определить расстояние центра тяжести усеченного круглого конуса АОЕВ от его нижнего основания, если известны радиусы )! и г верхнего и нижнего оснований конуса и его высота 6 (рис.
88). Ре ш е н и е. Начало координат выберем рис. аь и центре О нижнего основания усеченно- го конуса, а ось г направим по его высоте. Так как ось г является осью симметрии усеченного конуса, то искомый центр тяжести лежит на этой оси в некоторой точке С с координатой гс, которую и требуется определить. Применяя метод дополнения, дополним данный усеченный конус до конуса АВК, Пусть С, и С,— центры тяжести конусов АКВ и ОКЕ, У„У, — их объемы. Тогда ОС, =ао ОС,-г, и У,=.У, +У, где У вЂ” объем данного усеченного конуса. Рассматривая конус АКВ, как бы состоящий из двух частей АОЕВ и ОКВ и применяя формулу (43), имеем: З,У,+г„У Кроме того, расстояние от центра тяжести конуса до его 1 основания равно — высоты этого конуса, а потому 4 4 + 4 4 л, л,— л л+зл л, г = —, 1 4 , 1 э л,дм — (л1+ Зл) м л, (Иэ — Г~) — алга л, и гл Учитывая, что —.' = —, т.
е. Ь = —, получим л )( — т' ' ' й — г' г,)с — г г — — Я()х +)сг+г ) — Зг ] — — Я вЂ” т +г()с — г )+ + ( )) 4 ( + + + ( +)+ ) (Я* + 2г)с + Зг*). Следовательно, Л(Д вЂ” г)И'+2гй+зг') Л(И1+2Ю+зы) 4 (к' — и'] 4 (Р'+ Дг-)-М) л (к*+ гд. + зг1) 4 (й~+ йт+ м) ' См. предыдущий пример. 135 Если данное тело имеет полости (вырезаниые части), то координаты центра тяжести такого тела определяются по тем же формулам (43), но только в этих формулах объемы вырезанных частей нужно брать со знаком минус.
Пример 52. Из усеченного конуса, с, радиусы нижнего и верхнего оснований которого )с и г, а высота Л, вырезан круглый цилиндр радиусом апс. 86 г„имеющий с конусом общую ось и л высоту, равную 6,= —. Найти расстояние пентра тяжести ос. 2 ' таящейся части от нин4него основания конуса (рис. 86). Р е ш е н и е. Возьмем начало координат в центре нижнего основания конуса, а ось г направим по его оси симметрии. Искомый центр тяжести С лежит на оси г.
На этой же оси лежат центр тяжести С, сплошного усеченного конуса (без выреза) н центр т я ж е с т й С, вырезанного цилиндра, причем ОС " й" +2Ь+3'* * 4 Лм+~р+~' ' 3 ОС,=г,=Ь вЂ” — '= — Л. 2 4 Объемы сплошного усеченного конуса и вырезанного цилиндра будут соответственно равны: па пг,' а 3Ф+~ ~ )' ~' М' 2 (объем г', вырезанного цилиндра счи1аем отрицательным). Применяя теперь третью формулу из (12), получим л/Р 3 ~З (Ч'+ЗД'+3'*) — 3 "'* "' а ци*+зк.+и ) — ч.*, 'с „пг~ а 4 3(у Д~ ), уз (у-~ вг.).г~) 3 2 х 3 х ф и о ф Ы и 6 4. 3 6 ф м".
+ х + !! н В" 1! х 3» и ф М и 3' О, а Сс 3 со ф и с 3 С 43 е, о 43 О 3' О. 3 43 и х ф ах 43 Дх ь и о » ~ хо О,с сс»' х И С~ О. х х х А с О о О. з в О м з о И. о О 3" и х и о с 6В Зск. еетЕ хо ф О и ф и ф! ф'о а44 х а'и ф »эх х о с .6 ф ИО хсо с. х2 ф х Х С 34 4 » о хо х и и "о хйо 3 с а 43 хоз с х ю о х =1 х с, 33 + ай «»о 43 Р О„ х 63 ф ~"~44 зй ~1 х» О ф аВ !-3 ИИНИ3; $ 43 О О с х 6' о и и с х 4 О х 6\ х ф х 3 д о х + О ъ + х - В .В „, )со 'и з и 43 о о х 1 ИИЕНЗОЕД ! и и 3 И о и Й ~ !оЪ !! о! !!о 1 !38 и к как оо $ око Ы кое к кок о о кики о О ккоа к я и ~ о к о.о о ~" Ы -к и а к оооо !о И а иыеп:ое! ! о!!йаа око$ о о и к ккк и е.
к о и ок оч койки ь ! е $ ( РЛ „ой окиооэ о ''.! кО~й к к о о "С~ 4 ео и„ки 'к.'к.„" о~3" к'к К.~ колк ооокк Е~ емок к ) ~ к к к ко окм ь аы к к к й Ек" о к о > кокооо К о ао о й1 о и ь а о* с а % а б о х Ю х а М а а Е 140 фх хо а Э х М ох Ю ю х х о.х СЭ х х о ах М хх ам й х о. а х ао х о х х х 3 х о хоо о х :4 Н о Я о,хэ о ю ~ох х х о 3 $ х х П хо [ с х д х о о Ы о а о. х о Ю М $ х о $ Ю М а х й' ! сэ 4О х х 3 х ой сд" ч о $ х З а а' х х о Ф сс х х З Ф о О, о х ю сх оо сс З о л ах х сЧ О.
х о о 'О ах 141 х со )со о о З О. х н х сс а З с З З о О О О о О. о о х с о И О О х сс с о 3 = с а х х о о о О. х х а О '1! ЗЗЗ З с'с сэ х о Х со)Ч о о О н ц х о З чд о о:. п3 о х И З О сх ,х З 'о о О О о> Иа 4ЧЗ4ЧОО х ч О о х сс о ч х о о О х х х О С О З З З О х о ы ч х = х сч )сч И к О ,О О х ч с х о о О Ю н 3 о З О рдздвл и КИНЕМАТИКА Глава ! КИНЕМАТИКА ТОЧКИ х=),(~), у=У,(~) г = 7,(т).
(46) Если точка движется в плоскости хОу, то будем иметь только 142 Кинематика изучает движение механической системы, в частности абсолютно твердого тела, независимо от сил, действующих на эту систему. Так как при движении твердого тела различные его точки могут двигаться различно, то в кинематике сначала изучается движение более простого объекта, а именно движение точки, а затем — движение твердого тела. Определить движение точки — это значит уметь определить положение этой точки по отношению к выбранной системе отсчета в любой момент времени г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
