Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Таким образом, траекторией точки является линия пересечения поверхностей В начальный момент г,=О, х,=О, у,=О, а,=О, т. е. точка находится в начале координат; так как координаты х и г изменяются периодически в пределах от — Р до К, а координата у — в пределах от 0 до 2Я, то точка совершает колебательное движение по дуге параболы. По Формулам (50) и (51) вычислим проекции скорости н ускорения на оси х, д и ы о„=йвсозвг, в = — Йв'ып а1, о„= 2й ып 2ат, в„= 4Ив' соз 2шГ, о, = )та соз вг, ш, = — Да* з!п в(.
Следовательно, о = Йв соз в( 1+ 2йв 3! и 2а11 + Яа соз а! й, а = — т1в' ып ай+4Ра*соз2вЦ вЂ” йв' з!и вй, или о =. Рв (сова Л+ 2 ып 2Ы7+ соз вй), в = Яв' ( — з!п ай + 4соз 2 вЦ вЂ” з(п в(й). Далее находим модули векторов скорости и ускорения по формулам (54) и (56): !ш ~=йв ~г2(з!п'в! «- 8соз'2а!) = )/2йа' ) з!и'а!+ 8соз*2вт. Вторая группа Задачи, в которых требуется составить уравнения двнжекня точки в декартовых координатах и оиредеанть траекторию движения, а также скорость и ускорение точки 1аадачи 317, 319, 327, 332 — 334, 339, 369) При решении задач этой группы следует сначала составить уравнения движения точки; для этого нужно рассмотреть положение движущейся точки в произвольный момент времени, а не ее начальное нли конечное положение, и выразить ее текущие координаты как функции времени 1.
Далее следует придерживаться такого же плана, как и при решении задач предыдущей группы. Пример 56. Составить уравнения движения точки М колеса паровоза, отстоящей от оси колеса на расстоянии г, равном 0,8 хс, Рнс 91 если паровоз движется равномерно по прямолинейному участку пути со скоростью о =16 м/сек, и найти скорость и ускорение точки М. Колесо катится по рельсу без скольжения, а его радиус равен Я =1 м. В начальный момент точка М занимает положение М, на вертикальном диаметре колеса (рис. 91).
Решение. Ось Ох направим по рельсу, а ось Ор проведем через точку М„принимая за начало координат точку А,. Рассмотрим два положения колеса в начальный момент 7=0 и в текущий момент времени 1. Отметим положение центра С колеса и его радиуса СА, на котором расположена точка М в момент 1. Так как расстояние от центра колеса до рельса все время равно радиусу )с, то точка С движется по прямой, параллельной оси Ох, и притом по условию задачи равномерно, а потому расстояние от этой точки до ее начального положения равно СсС=и,1.
Так как СТ)(~С,А„то,б АСВ есть угол поворота колеса вокруг своей оси за 1 сэк, который обозначим через ~р. Для того чтобы найти уравнения движения точки М, 151 найдем координаты агой точки.' хм= А,В, ум — — М В. Но А,В= А,Р— СЕ=С,С вЂ” СЕ и МВ=МЕ+ ЕВ, или хм=ос! — СЕ, ум=В+ЕМ. Из треугольника МЕС имеем: МЕ г з!п (р-90') = — г сов ф, ЕС = г соз (щ — 90') = г з!и ~р, а потому х, = с1 — г з!и ~р, у, = К вЂ” сов ~р.
Найдем зависимость угла ф от времени 1. Так как качение колеса по рельсу происходит без скольжения, то — АР = РАм Но РАо =ССз-ос!, -РА= ВФ а потому ост = ВФ "с ' ~р = — 168 и Таким образом, хм - 161 — г а!п !61, ум ° 1 — г сов 16! т. е. искомой траекторией является укороченная циклоида. Если точка М находится на ободе колеса, то г = В и мы получаем следующие уравнения движения циклоиды: сс х =о 1 — Вз!и — 1, и с и "с у  — В сов — Е м и Если же г» В, например, г=1,2 В, то аналогично можно получить уравнения движения точки М, описывающей удлиненную цик.
клоиду. Подставив значение г в уравнения движения точки М, имеем. хм 161 — 0,8 мп 16! ум = 1 — 0,8соз 161. Лля определения проекций векторов скорости и ускорения на оси х и у воспользуемся формулами (50) и !51): о„=16 — 12,8соз!61, в,=204 8мп 161, о„= — 12,8з!п 161. в„=204.8соз16Е !52 Таким образом, о = 16 [! (1 — 0,8 соз 16 !) — / 0,8 а!п ! 6 г~, в = 204,8 (! з(п 16 ! + 1 соз 16 !).
Далее вычислим модули векторов скорости о и ускорения э по формулам (54), (56): !о~ = у'(16 — 12,8соз16!)*+(12,8)'з!и'16! = = 16 у' 1 64 -1- 0,1 соз 16 1; ~в ~ = )/(созз16!+ з1п'16!)(204 8)' = 204 8 м1сек'. Пример 57. Линейка зллипсографа АВ = 10)г2 см концами А и В скользит по двум прямолинейным направляющим, образующим между собой угол а= 135'. Найти траекторию, скорость и Рнс. 92 АМ ускорение точки М линейки, если — 3 н закон движения пол- л ауна А выражается уравнением ОА а=20 з1п — Г (рнс.
921. Решение. Ось Ох направим по прямой ОВ, а ось Оу— перпендикулярно к ОВ и построим координаты точки М: х = ОЕ = ВС вЂ” ОС вЂ” ВЕ; у= МЕ. Далее выразим координаты точки М через заданный отрезок ОА; для итого опустим перпендикуляр из точки А на ось Ох.
Из подобных треугольников АСВ и МЕВ находим: АС ВС АВ ;-„— = — — =4, откуда МЕ=4 АС н ВЕ= 4 ВС. 1 ! )йв вв мв Следовательно, х=-ВС вЂ” ОС. з 4 1 у = — АС. 4 1ЗЗ ге =х = ' ~Зсоз — г — 4 31п — 1) — Зп'Р'2 Г п . н к 3 ~ 2 2 — Зв' )~2 з ю =у = — 31п — Т, т 3 2 или оа — 6 (4х+ 25у)', о„= — "(х+4у), н' гз = — — х 4 Отсюда по формулам (52) и (53) находим: о = — "( — (4х+25у)1+(х +4у))), н': —. ~Ив ге= — — (х(+ у)) = — — г, 4 4 где г — радиус-вектор точки М.
Таким образом, вектор ускорения направлен противоположно радиусу-вектору движущейся точки. й 3. определение скорости и зскорения точки ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ (аааачн 323, 324, 333 — 349) Если заданы траектория движущейся точки н закон ее движения по этой траектории 3 =1(1), то вектор скорости направлен по касательной к траектории„а его проекция на направление касательной определяется по формуле (58) причем абсолютное значение этой проекции равно модулю скорости, т.
е. ~ о,1=~ 2)( =! о~. Вектор ускорения определяется по его проекциям на естественные оси (касательную, главную нормаль и бинормаль); аЬ, ~~ з а' (59) где о — радиус кривизны траектории в данной точке. 133 Следовательно Если плоская траектория задана уравнением у=) (х), то радиус кривизны траектории вычисляется по формуле (1+к *)и й= )„.( 1 (61) где у = — и у" р зз з"и зх ах* Рассмотрим частные случаи: Е Если точка движется прямолинейно и неравномерно, то радиус кривизны траектории о — со и, следовательно, в„=О.
В этом случае ускорение и направлено по прямолинейной траектории точки и по модулю равно !зч,~ ~д'в ~ 2. Если точка движется по кривой равномерно, то Й~, о,=сонэ( и ю,= — ' О, т,п а потому ускорение в направлено по нормали к траектории и по модулю равно з1 га ж (63) и 3.
Если точка движется прямолинейно н равномерно, то ю„=О, и>,=О и в=О. Пример 58. Вагонетка движется равномерно по закруглению радиусом К 600 м, причем ускорение ее центра тяжести равно и 0,0026 м/озк*. Найти скорость центра тяжести вагонетки. Решение. Так как центр тяжести вагонетки перемещается по окружности равномерно, то его ускорение и> направлено по радиусу этой окружности к центру н согласно формуле (59) по модулю равно чй ю — бу а Но радиус кривизны окружности равен ее радиусу, а потому цй И~ и' откуда 156 о =3/Ъи=)/0,0026 600='Р 1,56= 1,25 —... Пример 59. Точка движется с постоянным тангенциальным ускорением а по окружности радиуса К без начальной скорости. Через сколько секунд после начала движения касательное и нормальное ускорения станут численно равны между собоИ Ре ш е н и е, Для решения задачи воспользуемся формулами: ЙУ И = — =Я.
ш и' о' Ю е Интегрируя уравнение Но=аЖ ~ о= имеем: ! ~аЖ, В искомый момент времени 1, касательное и нормальное ускорения равны между собой, а потому а'М,' — '=а, л откуда Пример 60. Точка движется по окружности; в некоторый момент ее скорость равна о, а ускорение направлено по хорде МУ=1. Зная о и 1, найти ускорение точки в этот момент (рис. 93). Решение. Пусть на рис.
93 векторы МА и МВ обозначают соответственно ускорения ю и ю„. Тогда нз подобия прямоугольных треугольников МАВ и ЛЫУ имеем: и МЬ 29 в„мм ! Рис. 93 отсюда 2Я 2й е' 29 з~ 2е' ш= зэ = — ° — = — — = — ° 1 г 'е г 'й Ю ' 157 отсюда, принимая во внимание, что о,=О и а=сопз1, находим о=а! и, следовательно, Пример 61. Машина идет по выпуклому мосту АВ. Ее центр тяжести И описывает при этом параболу д= — 0,005х', а расстояние э=~АМ, отсчитываемое от точки А вдоль дуги параболы, изменяется по закону з= — 1' — 91*+бог (х, у и з выражены в метрах, а г' — в сек).
Определить скорость и ускорение центра тяжести машины в тот момент, когда он находится в вершине параболы, если в этот момент скорость машины достигает минимума (рис. 94). Рн~ 91 Решение. Так как траектория и закон движения точки М по ее траектории заданы, то для решения задачи воспользуемся формулами (58), (59) и (60). Тогда имеем: о =- — „= 21' — 181 + 60 Ие ш = — =41 — 18, Ж е1 и 9 Радиус кривизны траектории определим по формуле (61) (1+к') '* ° ь О= ., где у'=е- — — — 0,0!х, у" — = — 0,01.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
