Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 23
Текст из файла (страница 23)
дх1 Следовательно, (1+О,ООО1х'1 1' 0,01 Но в вершине параболы координата х точки М равна нулю, поэтому 0=100 л. Остается определить, в какой момент времени машина достигает вершины параболы; так как скорость ее в этот момент ес 18 достигает минимума, то — =О, откуда 41,— 18=0 и Ж 1 1,$ = 4,5 сек.
Следовательно, о, =21,— 181, +60=60 — 81+9 4,5= ° = 19,5 м,1сек. ее Так как в вершине параболы касательное ускорение н1,=— е1 (19,8)1 равно нулю, то ш ге„= — = — 1~5- — — 3,8 мосек'. 188 й 4. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ сзадачи 312, 353, 355 — 358, 357 — 369, 371. 373) или =з, + ) эс77, ч где 3,— значение дуговой координаты з при 1=0.
Касательное ускорение определяется по формуле ез 5 1с хс+Я'+з' с11 164) после этого нормальное ускорение можно найти из равенства сел 77 (65) где нн = х'+ у* + г'. Определив пс„, найдем радиус кривизны по формуле ссс исч (66) Пример 62. Даны уравнения движения точки: х=ай1, р = — (е~'+ е м) = а ссс (37).
Найти траекторию, закон движения точки по траектории и радиус кривизны траектории в зависимости от ординаты р. Ре шеи и е. Чтобы найти траекторию, достаточно исключить из уравнений движения время 7; для этого найдем значение 159 К задачам этого типа относятся такие задачи, в которых требуется, исходя иэ уравнений движения точки в декартовых координатах, найти закон движения точки по ее траектории, т.
е, выразить дуговую координату з в функции времени, а также найти касательное и нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории. Чтобы найти закон движения точки по ее траектории, нужно иа заданных уравнений движения определить скорость э и составить уравнение: ~Ь= пЖ. Отсюда, интегрируя, получим. с из первого уравнения и подставим его во второе.
Тогда имеем: е е ~ е= —, у= — (е' +е ' ~ =ас)«( — ) . Следовательно, траектория точки есть цепная линия. Далее находим скорость о: о„х = аФ. о„=у= — (е«' — е ') = айзЬ(И), ~ о~=')/ х*+у'=ай )/1+ай*(И) =айса (И) = — (е«'+е "). Предполагая, что з,=О, теперь имеем: Ф а«г и з= ( ой= — ~ (е"'+е «')Ш= — (е ' — е «') =азЬ(И). Ускорения а~е и в„находим по формулам (51), (59) и (65): го =х=О е и =у=' — (ем+е «')=ай*с5(И), ~з ) в ( =1/ х'+у*+ я* = — (е«'+е «') =аз'с)4(И), сд = — =д(ай сЬ (И)1= а (е — е ), го„= ~/ и* — го, = аа')/ сЬ' (И) — з)1' (И) = ай*, Теперь по формуле (66) находим радиус кривизны траектории: а««'(е«'+е мр а, р~ «~ 4а«' 4 ( Но поэтому а 4у' у' Я 4 а«а Пример 63. Даны уравнения движения точки: х=2г', у=4г', г=31', причем х, у, з выражены в метрах, а время « — в сек.
Найти радиус кривизны траектории в точке, где скорость о движущейся точки равна 5 м/сек. !бо Решение. Скорость и ускорение движущейся точки находим по формулам (50) и (51): х=2, у=81, г=6!, ~о)=)г'4+641*+361'=2)~11-) 25Р, х=О, у=8, г=6, ~ц)=)/64+36=10. Далее находим ю„ю„н 0 по формулам (64), (65) и (66); чс 2.50! !00! 2 1' !+25!й !00Н' !0 к,, И! ю,=у в' — гий' = ь' 100 — —,= — 1 о* — 100~'= —, и' с ей сй с' 5' 25 О=э, = =2О= — — 6,25 И.
м„20 20 4 Пример 64. Точка описывает плоскую траекторию так, что проекции ее скорости на ось Ох постоянна и равна с. Доказать, что в этом случае ускорение равно 1У и ай. !! ! где о — скорость, 0 — радиус кривизны траектории (рис. 95). Решение. Так как с„= с =- сопз(, то в„= х=. О, т. е. вектор ускорения парал- с~ лелев оси Оу. Построив проекцию вектора скорости Рис. 95 о=МА на ось Ох и проекцию вектора ускорения ш = МЕ па нормаль к траектории, получим два прямоугольных треугольника МАВ и МЕТ).
В этих треугольниках углы ~АМВ и ~ ЕМО равны, как углы с перпендикулярными сторонами, а потому эти треугольники подобны. Отсюда находим: МА МЕ ив,ип Но сй =ю а МВ=о =с, х следовательно, с й й ий !с = —, са ' 7 эйк. ю74 Глава И ВРАЩЕНИЕ ТЕЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Если твердое тело движется так, что две его точки остаются неподвижными, то такое движение тела называется вращательным движением вокруг неподвижной оси. Прямая, соединяющая две неподвижные точки тела, называется осью вращения этого тела.
Гели выбраны две плоскости, проходящие через ось вра щения, причем одна из них неподвижна, а вторая неизменно связана с вращающимся телом, то угол !р между этими двумя плоскостями„измеряемый в радианах и отсчитываемый в направлении, протиноположном движению часовой стрелки, если смотреть с положительного конца оси вращения, определяет положение тела в любой момент времени ! и является непрерывной однозначной функцией времени (рис, 96), т. е.
р =- !'(г). (67) Равенство (67) называется уравнением, или законом, вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси. Угол ч! — !р, называется углом поворота, или угловым перемещением тела. Рис 95 Первая и вторая производные по времени от угла ср называются соответственно угловой скоростью и угловым ускорением тела и обозначаются буквами еа и е, т. е. =;-Г(!), = — '. =,— =1 (г).
Ик , ЙЧГ дк ~Ы ' дсе де (66) При этом [се(= — = — =сек радиан ! сек сек (е) = — = —, =сек радиан 1 е сек' сек' Если число оборотов в минуту вращающегося тела равно л, то (69) !62 Задачи, относящиеся к вращательному движению твердого тела вокруг неподвижной осн, можно разделить иа три основных типа: 1) определение углового перемещения, угловой скорости и углового ускорения тела, 2) определение скоростей и ускорений точек вращающегося тела, 3) задачи, относящиеся к передаче вращательного движения от одного тела к другому.
ф 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛА ПОВОРОТА, УГЛОВОЙ СКОРОСТИ И УГЛОВОГО УСКОРЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ (задачи зтб-ббб) Если сз = сопз( и, следовательно, з = О, то вращение тела называется равномерным, в этом случае ср=т +ыд (70) Если а = сопя(, то вращение тела называется равномерно переменным; в этом случае ен ~+ ' Р рс+ ' 2' (71) Если ы,) О, то при в- 0 вращение тела — равноускорениое, а прн е(0, вращение тела — равнозамедленное, Пример 65. С момента выключения мотора пропеллер аэро- илана, вращавшийся с угловой скоростью, соответствующей я=1200 об)мин, сделал до остановки 80 оборотов.
Найти, сколько времени прошло с момента выключения мотора до остановки пропеллера, считая его врашение равномерно замедленным. Р е ш е н и е Так как вращение пропеллера равномерно замедленное, то по формулам (71), считая ср,=0, будем иметь: Н <р=-сз,74- е —, сз = са, + ес, причем аа ! са = — 40л —. 0 зо сек ' Так как пропеллер сделал 80 оборотов, то угол поворота равен <э=-80 2п=160я род Так как, кроме того, в момент остановки угловая скорость пропеллера равна нулю, то ы =О. Таким образом, получаем два уравнения: аН 40п Г + — = ! 60п, 2 40а+ ег= 0.
Отсюда находим: 40п е= —— 40п4 — — — = 160п1 40п 1' 2 следовательно, 160п = — =8 сек. 20п Пример 66. В период разгона маховик вращается вокруг своей оси по закону а ф= — 1 4 Определить угловую скорость и угловое ускорение маховика в момент, когда он сделает 27 оборотов, Решен ие. По формулам (68) находим: аф з а= —,= — пг а1 4 ф з 2 ан 2 Далее находим, в какой момент времени 1 угол поворота ф будет равен 27 2п=54 ирод: ф= — Г'=54п, 4 отсюда 1 = Р~' 54 4 = 6 сек.
Угловая скорость и угловое ускорение в этот момент будут равны: а' з 4 з а= — и 6=9п —,. 2 сзк' ' В 2, ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТЕЙ И УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ТВЕРДОГО ТЕЛА, ВРАЩАЮЩЕГОСЯ ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ (зааачв ава — 294) Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси, то любая его точка, не лежащая на оси вращения, описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна к этой оси, в скорость и ускорение точки определяются по формулам: о = !гга, цг, = !ее, пг„= !гга', цг=!е 1/еа'+ ао, (72) где Й вЂ” расстояние движущейся точки от оси вращения.
Векторы скорости о и касательного ускорения цг, направлены по касательной к окружности, описываемой данной точкой тела, а вектор нормального ускорения цг„ направлен по радиусу этой окружности к ее центру. Если вращение тела ускоренное, то векторы о и в, направлены в одну и ту же сторону; в случае же замедленного вращения — в противоположные стороны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
