Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 26
Текст из файла (страница 26)
По формулам (76) и (77) находим оввз и ов. ли "з ВС1 Ас ' их Ас Из треугольника АВС, имеем: ВС, АС, АВ в!п!5' в!п 120' ви! 45" ' откуда ВС, в!и 13' 1 АС, в!и30' 2 сов!3' !60иу 2 )72 4ир 3 Таким образом, оввз — — —— 1 сек 30$/ 3 3 = ов2 з!и 15'~0,54ов 58,4п см,сек.
173 й 3. ЦЕИТРОИДЫ (задачи 542, 544 †5, 552, 553) Геометрическое место мгновенных центров вращения на неподвижной плоскости, в которой движется плоская фигура, называется неподвижной центроидой, а геометрическое место мгновенных центров скоростей на плоскости самой движущейся фигуры называется подвижной центроидой. В каждый данный момент подвижная и неподвижная цеитроиды касаются друг друга, и точка касания этих кривых является в данный момент мгновенным центром вращения (мгновенным центром скоростей) движущейся плоской фигуры.
Данное движение плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить, построив подвнжную и неподвижную центроиды и заставив первую катиться без скольжения по второй с соответствующей угловой скоростью. Задачи, в которых требуется найти неподвижную и подвижную центроиды, решаются двумя способами: а н а л и т и ч е с к н м и геометр ичее к им. При аналитическом способе определения центроид текущие координаты мгновенного центра вращения в неподвижной системе координат и текущие координаты того же центра в подвижной системе координат, неизменно связанной с движущейся фигурой, нужно выразить как функции времени, или другого переменного параметра (например, угла поворота фигуры); исключив затем этот переменный параметр, получим соответственно уравнения подвижной и неподвижной центроид(см, задачи 552, 553).
При геометрическом способе определения центроид искомые центроиды находят, исходя из геометрических соображений, Например, если расстояние мгновенного центра вращения от данной неподвижной точки оказывается постоянным, то неподвижная центроида есть окружность; если сумма расстояний мгновенного центра вращения от двух данных точек подвижной плоскости, т. е. плоскости самой движущейся фигуры, есть величина постоянная, то подвижная цеитроида есть эллипс, фокусы которого находятся в этих точках подвижной плоскости, и т.
п. (см. задачи 542, 547, 548). Пример 77. Стержень АВ =-1 концами скользит по двум прямым ОА и ОВ, образующим между собой угол а =45'. Найти подвижную и неподвижную центроиды (рис. 106). Решение. /-й способ (ееометрический). Так как скорости точек А и В направлены соответственно по прямым ОА и ОВ, то мгновенный центр вращения Р стержня АВ находим как точку пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к прямым ОА и ОВ. Поэтому углы а и АРВ равны как углы с перпендикулярными сторонами, т. е.
~ АРВ =45'=сопз1. Отсюда следует, что подвижная центроида есть геометрическое Оз откуда ис. )зп 2-й способ (аналитический). Построим две системы координатных осей: неподвижную Оху и подвижную О'х'у', неизменно связанную со стержнем АВ, как указано на рис. 106; начало О' подвижной системы возьмем в середине отрезка АВ. Если обозначим координаты точки Р в неподвижной системе Оху через х и у, а в подвижной системе О'х'у' — через х' и у', то х=ОВ, у=БР, х'=-О С, у'=СР. Обозначим далее переменный угол ОАВ через <р и выразим координаты х и у через этот угол. Из треугольников ОАВ и АРВ по теореме синусов имеем: к ! у и в!и ч~ вгп 1!80' — а) мп,90' — е) мп а ' место таких точек, из которых отрезок АВ виден под одним и тем же углом, равным 45'.
Как известно из геометрии, таким геометрическим местом является дуга АРВ окружности, описанной около треугольника АРВ; так как сумма углов АРВ и АОВ равна 180', то эта окружность проходит и через точку О. Но сторона треугольника равна диаметру описанного круга, умноженному на синус угла, противолежащего этой стороне, поэтому, обозначая радиус подвижной центроиды через Я, имеем: 1= 20 з!и 45', )к 2! В= 2 в!и 45' 2 Так как ~ОАР =90', то отрезок ОР является диаметром подвижной цеитроиды, а потому ОР =2Я =1/21=сопз1, т.
е. асстояние мгновенного центра вращения Р от неподвижной точки постоянно; отсюда следует, что неподвижная центроида есть окружность радиуса ОР=2В= 1к 2 ! с центром в точке О. ~вдв /У' отсюда находим: Х = — 5!П ф, У = — СО5 ф. в!па ' 5!па Чтобы найти геометрическое место точек Р на неподвижной плоскости, т. е. получить уравнение неподвижной центроиды, нужно из этих уравнений исключить параметр р. Для этого достатдчно возвести каждое из этих уравнений в квадрат и затем их сложить.
Тогда получим: !3 !в Х*+ У' = — = —., в1п' а в1п' 45' ' нли х'+у*=2У. Отсюда видим, что неподвижная центроида есть окружность радиуса у 2( с центром в начале координат О, Чтобы выразить теперь через угол ф координаты х' и у' точки Р в подвижной системе осей, рассмотрим треугольники АСР н ВСР, из кото(вых имеем: АС = СР гп 1р СВ = СР гп (а — ф), нли ! — +х =у'гп р 2 — — х' = у' гн (а — ф) = у' гн (45 ф)— 1я 45' — 1К ф, 1 — 1К ф =1+1К45.1яфу =1+гяф У Освобождаясь во втором уравнении от знаменателя, получим: Р в — — х'+ ~ — — х ) гцф=у — у гнф. Чтобы найти геометрическое место точек Р на подвижной плоскости, т.
е. найти подвижную центроиду„нужно из этих двух уравнений исключить гнф. Из первого уравнения имеем: — +х' 2 гд р= Д Подставляя это значение 'гн ф во второе уравнение, получим: Р 4 — ва — — Х'+ — = п' — — Х или !1 х" +у'* — 1у' = —, 4 ' х" +(у' — — ) = —, 15! >тсюда видим, что подвижная центроида есть окружность радиуса ! 'г'"2 / 1т = =* — ! с центром в точке О ~0. — ~. Г" 2 2 ' 2)' Пример 78. Стержень, согнутый в виде прямого угла АВС, перемешается так, что точка А движется по оси х, а сторона ВС все время проходит через неподвижную точку 0 на оси у. Найти уравнения подвижной и неподвижной центронд, если АВ = 00= а (рнс.
!07). Решение. I-й способ (геомегпрический). Скорость точки А направлена по оси Ох, а скорость точки 0 — вдоль стержня ВС. Мгновенный центр врашения Р стержня АВС находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных нз точек А н 0 к скоростям этих точек.
Так как прямоугольные треуголь- Рис !07 ники АВЕ и ОЕ0, в которых ~ АЕВ = ~ОЕ0 и АВ= 00, равны, то АЕ=Е0, а потому из равенства треугольников АРЕ и 0РЕ з ключаем, что АР=ОР. Но, как известно из аналитической ~сометрин, геометрическое место точек, расстояния от которых до данной неподвижной точки (точки О) и до данной неподвижной прямой (прямой Ох) равны между собой, есть парабола. ! )озтому неподвижная центроида есть парабола, для которой прямая Ох является директрисой, а точка 0 — фокусом.
Точно так же рассматривая геометрическое место точек Р на подвижной плоскости, связанной со стержнем АВС, из равенства АР =0Р заключаем, что подвижная цептронда есть парабола, для которой директрисой является прямая ВС, а фокусом — точка А. 182 2-й способ (аналигпический). Если построим координаты х и у точки Р в неподвижной системе Оху, то х=ОА=РК, у=ОК=АР.
Из треугольника РОК имеем." Р0' = РК'+ 0К' = Р К'+ (ОК вЂ” а)', илн, принимая во внимание, что Р0 = АР, у'=х'+(у — а)', или х*=-2а(у — ~ 1. 2 ~' Следовательно, неподвижная центроида есть парабола с осью ад Оу и с вершиной в точке (О, — р ' 2)' Построив теперь координаты х' и у' точки Р в подвижной системе осей Вх'у', неизменно связанных со стержнем АВС, имеем: х'=Р0, у'=В0. Чтобы найти зависимость между х' и у', проведем отрезок Ас., параллельный В0. Тогда 10=а, АВ=В0=у', Рй=х' — а и АР' = Рь*-+ 1.А', или Р0' = РВ' + 1.А', т, е. х" =-(х' — а)' + у'*, или а1 у' =2а~ х — — ).
2)' Следовательно, подвижная центроида есть парабола с осью Вх' и с вершиной в точке 1 ~, О). (2 ' й 4, ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЙ ТОЧЕК ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ (задачи 557 †5) Ускорение любой точки движущейся плоской фигуры можно определить двумя способами: 1) как геометрическую сумму ускорений этой точки в поступательном и вращательном движениях фигуры и 2) как ускорение этой точки во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений, причем мгновенным центром ускорений называется такая точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент равно нулю. Если известны ускорение шд некоторой точки А фигуры (ускорение полюса), а также угловая скорость аз и угловое 183 ускорение а фигуры, то ускорение любой ее точки В определяется по формуле П>В = П>А + и ВА = Н>А + П>В ( + Н>ВА (78) Здесь вектор и> „— ускорение точки В во вращательном движении вокруг полюса А; п>ВА и п>вА — касательная и нормальная ГА> ПП составляющие этого ускорения.
Следовательно, >ивлев = ы'АВ и>'ВА = еАВ (79) при этом вектор п>ВА> направлен вдоль АВ (от точки В к точке А), а вектор н>а>'А перпендикулярен к АВ. Угол а между векторами п>ВА и ВА определяется по формуле 1п а = —,, )е) (80) при этом в случае ускоренного вращения фигуры векторы >ВвВАд и п „(вращательная скорость точки В вокруг полюса А) лежат по одну сторону от прямой АВ, в противном случае эти векторы расположены по разные стороны от этой прямой.
Если угловая скорость фигуры постоянна, т. е. В>=сопз1, то В=О, а следовательно, и а=О, т. е. вектор н>ВА совпадает по направлению с вектором ВА. Если же в данный момент В>=0, то а= — и вектор н> А перпендикулярен к вектору ВА. На основании равенства (78) ускорение точки В можно найти построением многоугольника ускорений и применением затем метода проекций, спроектировав векторное равенство (78) на выбранные оси. Если мгновенный центр ускорений Я принять за полюс, то для ускорения произвольно выбранной точки М фигуры имеем: п>м = п>о + н>мо но п>о — — О, а потому п>м = юмд = п>м Е + н>мо, >л> — И> (81) т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
