Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 27
Текст из файла (страница 27)
ускорение любой точки М плоской фигуры определяется как ускорение во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений (рис. 108). При этом ускорение п>м~ч направлено по прямой МЯ от точки М к центру Я, а ускорение ц>м>'>ч перпендикулярно к ЛЦ и щма=®~~а>', ~ме=~МВ.
(82) Ускорение н>„точки М равно по модулю н>А> — — ЯМ )> В>т+ а' (83) 1ВА и составит с направлением МЯ угол а = агстп —,. )е) (84) Отсюда следует: 1) угол а для всех точек фигуры имеет в данный момент одно и лго же вличение; 2) ускорения точек плоской фигуры пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра ускорений.
Чтобы определить для данного момента положение мгновенного центра ускорений нужно: 1) найти ускорение юх какой-либо точ ки А фигуры [обычно при решении задач ьте х рассматриваемого типа ускорение одной точ- -Ф ки фигуры (механизма) или задается, или "а ьгма его можно легко найти); м 2) повернуть полупрямую, по которой направлен вектор юю вокруг точки А на острый угол а=агстй — „, или в направлении вращения фигуры, (е~ если это вращение является ускоренным, или в противоположном направлении в противном случае; 3) на полученной после этого поворота полупрямой отложить отрезок (85) Отметим два частных случая: 1) пусть а=О, тогда туп —;=0 и а=О, следовательно, 1е~ ускорение вм любой точки М движущейся фигуры направлено по М(), т. е. проходит через центр Я. Поэтому мгновенный центр ускорений Я в этом случае можно найти как точку пере.
сечения прямых, по которым направлены ускорения двух каких- либо точек фигуры; 2) пусть ы = О, тогда тд а = ао и а = 90', следовательно, ускорение ю, любой точни М фигуры перпендикулярно к МЯ. Поэтому мгновенный центр ускорений Я в этом случае можно найти как точку пересечения перпендикуляров, восставленных из двух каких-либо точек движущейся фигуры к ускорениям этих точек. Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на следующие четыре группы: 1) задачи, в которых заданы векторы скорости и ускорения одной точки и прямолинейная траектория второй точки плоской фигуры, ускорение которой требуется найти (задачи 566 †5, 573 †5); 188 2) задачи, в которых заданы векторы скорости и ускорения одной точки и криволинейная траектория второй точки плоской фигуры, ускорение которой требуется найти (задачи 572, 573, 575); 3) задачи, в которых требуется определить ускорение точки катящегося без скольжения колеса (задачи 556 — 563); 4) задачи, в которых заданы ускорения двух точек плоской фигуры, а требуется определить ускорение третьей точки этой фигуры (задачи 564, 574, 576 — 578).
Первая группа В задачах пеРвой гРУппы известны УскоРение полюса А и направление искомого ускорения н«в точки В плоской фигуры, так как точка В движется прямолинейно. Для определения модуля ускорения шв следует найти сначала угловую скорость фигуры, а затем ускорение «ввл. Далее задача решается по формуле (78), на основании которой следует построить в выбранном масштабе многоугольник ускорений, в котором будут известны направления всех сторон и модули сторон, изображающих ускорения н«,«и н«вл.
Из построенного многоугольника ускорений определяются графически ускорение ввд и искомое ускорение н«в. Ускорения п«вл и н«в можно определить также без построения многоугольника ускорений методом проекций, спроектнровав равенство (78) на прямую ВА (для определения п«в) и на прямую, перпендикулярную к вектцру шв (для определения п«в„).
Из полученных двух уравнений находим н«вд и п«в. Пример 79. Кривошип ОА = 10 см нецентрального кривошипно. шатунного механизма вращается вокруг неподвижной оси О сусловой скоростью«рр — — 2 1/секи угловым ускорением а,=4 1/сек* и приводит в движение шатун АВ =550 см, соединенный с ним шарнирно в точке А. Г!олзун В перемещается в наклонных неподвижных направляющих тп Определить ускорение ползуна В и угловое ускорение шатуна АВ в тот момент, когда ~ АВп=60' и АВ / ОА (рис. 109, а). Р е ш е н и е. Так как движение кривошнпа ОА задано, то можно найти скорость и ускорение точки А.
Вектор ол перпендикулярен к ОА и по модулю равен рх —— «рр ОА = 2 10 = 20 ем/сек. Вектор ускорения н«л слагается из касательного ускорения и«„', направленного перпендикулярно к ОА, и нормального ускорения п«А, направленного по кривошипу ОА от А к О, т. е.«ах —— = п«х 1 н«А, причем ь«« -р«рОА =-4 10=40 см/сек', шл «, ОА = 4 !0=40 см«сек. Так как ползун В движется поступательно и прямолинейно, то векторы оа и ва направтены по прямой гпп. С другой стороны, точка В принадлежит шатуну АВ, движущемуся в плоскости рисунка; принимая в этом движении точку А за полос, по формулам (75) н (78) имеем: ОВ ОА+ ПВА а ШВ = И'А + ШВА + ШВА (а) (б) а, рис ~оэ А построим на основании равенства (а) треугольник скоростей, в котором пй = оаА Из этого треугольника имеем: оВА =- ВА ти 60' =- оА 'г' 3 = 20 ) АЗ = 34,6 см, сек Ю причем пВА ) АВ, шавА ) АВ, вектор гавА направлен вдоль ВА и т ь з "ВА овА — — ы АВ, и~вА=В АВ, швл=о,АВ ВА дн где га, и а,— угловая скорость и угловое ускорение шатуна АВ.
Для определения враща гельной скорости точки В вокруг полюса и, следовательно, евл 1200 ювл= — — =24 см(сек. АВ 50 Теперь в векторном равенстве (б) остаются неизвестными только модули ускорений ва и ывл, на основании этого равенства построим многоугольник ускорений, учитывая, что направление его замыкающей стороны я~ известно, Построение этого многоугольника следует начать с известных его сторон, т. е.
и с ускорений юл, юл и ювл. Из точки о проведем вектор оа, = = п~д, из точки а,— вектор а,а, =юл, а из точки а,— вектор а,Ь,=вал. Далее из точки Ь, проводим прямую, параллельную вектору ювл, т. е. перпендикулярную к а,а„а из точки о— прямую, параллельную вектору ша, т. е, параллельную направлению тп. Если точку пересечения этих прямых обозначим через Ь„то Ь,Ь,=вал и оЬ,=юа (рис. 109,6). Измерив длинысторон оЬ, и Ь,Ь, в выбранном масштабе ускорений, найдем чисвВл ленные значения в, вал и з,= —. а АВ ' Если в построенном многоугольнике ускорений обозначить точку пересечения сторон оа, и Ь,Ь, через е„ то получим прямоугольный треугольник ос,Ь„ в котором ~ с,оЬ, = 60', а потому оЬ, = 2ос„Ь,с, = ос, тд 60'1 кроме того ос, =оп,— а,Ь, =юл — ювл в Следовательно, юа=оЬ, =-2(ы4 — а4л) =2(40 — 24) =32 см,'сек'1 ювл-Ь,Ь,=Ь,с,+с,Ь,=-ил+(жл — швл) У3= = 40+16 к'3 =- 67,68 см/сек*, а= — = мал 40+16 "г' 3 АВ 50 ~ 1,36 1)сеК. Рассмотрим теперь, как найти численные значения ускорений юэ и и4л методом проекций.
Для этого спроектируем векторное равенство (б) на прямую ВА и на прямую Вр, перпендикулярную к тл: 1) ю„сов 60'= ил — ювл, 2) 0=(щл — савл) сов 30' )- юл сов 60 — юал 'оз60 ° Отсюда юз ~ 2 (шА — н)вА), жВА=шА 1 (ФА ШВА) ) 3 Вторая группа В задачах второй группы известны ускорение ша точки А и криволинейная траектория точки В, ускорение которой требуется найти. Поэтому известны радиус кривизны 0 траектории и направления векторов оа юв (по касательной к траектории) и ша (по нормали траектории), причем Ш —— ШВ 4- ШВ.
Если принять точку А за полюс, то по формуле (78) получим: и ШВ = ША + ШВА + ШВА следовательно, ~В+ ~В ИА + ЮВА + ИВА (а) Определив угловую скорость фигуры о и скорость оа, найдем ускорения: шв = —, швА = ы'АВ. Я Теперь в векторном равенстве (а) остаются неизвестными только модули ускорений в" и ш'А. На основании этого векторного равенства следует построить две ломаные линии: 1) сторонами одной из них являются векторы шэ и шэ 2) сторонами второй ломаной линии являются векторы юА, ш" и ш'А. Из этих построенных многоугольников графически определяются неизвестные ускорения в', вз„и ш . Задача может быть решена также методом проекций. Для определения ускорения в' достаточно спроектировать векторное равенство (а) на прямую АВ, после чего ускорение точки В находим по формуле ша —— (/ (~В) +(шв) .
Пример 80. В механизме, изображенном на рис. 110, а, кривошип ОА=25см врашается с постоянной угловой скоростью в=2 1(сек в плоскости рисунка вокруг неподвижной точки () и при помощи стержня АВ приводит в движение кривошип ВС, вращающийся в той же плоскости вокруг неподвижной точки С. Определить скорость н ускорение точки В в тот момент, когда 199 кривошип ОА горизонтален, ~ОАВ=60, ~АВС=ЗО', если А В =- ВС = 50 см. Решен ие. Найдем сначала скорость ол и ускорение вл точки А звена ОА, движение которого задано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
