Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если тело вращается равяомерно, то а =сопз1, следовательно, в этом случае о=сопз1; э=О, пг,=0 и ~п (73) т. е. вектор ускорения пг совпадает в этом случае с нормальным (центростремнтельным) ускорением. Пример 67. Колесо радиуса ес = 1 м вращается равномерно вокруг своей оси, делая один оборот за 0,25 сек. Найти скорость и ускорение точки, лежащей на ободе колеса.
Решение. Так как колесо вращается рав~омерно, то согласно формуле (70) гР— Ч'о Но за время 1=0,25 сек угол поворота колеса равен ер — гр, = 2л рад, поэтому 2л 1 а= — =8л— 0,25 сек Далее по формуле (72) будем иметь: о = !еа = 1 8л м сек ж 25,12 м,1сек, пг = пг„= !е . а* = 1 64л' = 631,04 м,'сек*. Пример 68. Вал начинает вращаться с угловой скоростью а =2л— 1 сек равноускоренно н за 10 сек делает 30 оборотов.
Найти ускоре- ние точки, отстоящей от оси вращения вала на расстоянии, равном 0,5 м, в тот момент, когда скорость этой точки равна 2л м!сек. Решение. Для определения углового ускорения вала вос- пользуемся формулами (71), считая гр, =-О еег Ф о ! 2 Но при 8=10 сек )гол поворота равен 49=-30 2п=60л рад, а потому 2п10+ 50е =- 60п, откуда 40з ! е= — „' = 0,8н —. БО ' ' сек2' Далее по формулам (72) находим: п8=Я)те'к а9'=-0,5)8т0,64п'+8з4 и о=)78з= 0 5з9.
момент, когда о= 2п м(сек, имеем: 4п — и и8=0,5 Г 0,64п'+4'и'=- сек =4 ЛР40,08 8 '=89 / В тот с =0,6 = Теперь по формулам (72) получим: 3282 3 о = тсз = — т со5 — лг, 64 4 — зк2 . 3 п8 = те = т 5(п — пг, 266 4 2 94 23 п9 = тзз = — т со5 — лг. 2 642 4 Угловая скорость з9 достигает наибольшего абсолютного значе- 3 ! 3 ния в момент!„когда ~соз — „п1~=1, отсюда — лг, =ил, т. е. 4 4 8 ~,= — й, где к=-0,1, 2,3, ..., следовательно, 1,=О, —,— 3 '3' 3 сек.
В эти моменты имеем: Зк2 Зп' О,зк2 о . = — т = 0,8 — 4 —— — ' ж 0,37 мlгек, 9022 — 64 — 64 — 8 зп 0,9 !66 Пример 69. Вал вращается в подшипниках вокруг неподвижл . 3 иои горизонтальной оси по закону 98= — з!и — и1, где 49 — угол !6 4 поворота вала в радианах. Определить скорость и ускорение точки М вала, отстоящей от оси вращения на расстоянии т = 0,8 м в тот мом нт, когд2 угловая скорость вала достигает наибольшего абсолютного значения.
Решен не. Найдем сначала угловую скорость и угловое ускорение вала по формулам (68): 8!з и з з 3982 з ш П Спз П9 ь4 СО5 — Пс СЕК Ф 46 4 4 64 4 890 9к9 . 3 е= — = — —. 5(п — п8' сек '. Ж 236 4 в 3. ПЕРЕДАЧА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ОТ ОДНОГО ТЕЛА К ДРУГОМУ Пример 70. Шкив 1 радиусом О,В= г„вращаясь равномер. но, делает п оборотов в минуту; ои соединен бесконечным ремнем со шкивом П радиусом О,С = г,.
Определить скорость и ускорение точки А шкива П! радиусом О,А = К, жестко соединенного со Гй шкивом П (рнс. 97). Р е ш е н и е. Так как все точки ремня имеют одинаковые скорости, то овс ос или ы,г, =- а,г„где ы, и в,— угловые скорости шкивов 1 и П, илн ййй гй — й т. е. угловые скорости шкивов, соеди. ненных бесконечным ремнем, обратно пропорциональны их радиусам.
Отсюда гй ы =ы й й й или, учитывая Формулу (69), а, =" —" . — ' = сопя(. Так как шкив П1, которому при- Рис, 9? надлежит точка А, жестко соединен со шкивом П, то их угловые скорости равны н, следовательно, скорость точки А равна яи г, о =м Й= — ййй, А й Зо' Так как гз, = сопз1, то ускорение ийл точки А равно нормальному (центростремительному) ускорению этой точки, и, следовательно, ийийгй ийх — — й ы*, = — *17, 900 г,' Пример 71. Зубчатое колесо 1 с числом зубьев а, =80 начинает вращаться равноускоренно из состояния покоя с угловым ускорением е, =1 сек ' и приводит в движение находящееся с ним во внутреннем зацеплении колесо П с числом зубьев г,=20.
Определить угловую скорость колеса П и ускорение точки В, лежащей на окружности этого колеса через 1 сек после начала движения, если радиус колеса П равен г, =18 см (рис, 98). 167 Р е ш е и и е. Допустим, что колесо 1 вращается в направлении, противоположном движению часовой стрелки; тогда скорость точки С зацепления колес будет направлена, как указано на рнс. 98, и, следовательно, колесо П будет вращаться в том же направлении, что и колесо 1, т. е. против движения часовой стрел- С ки.
Для скорости точки С, как принадлежащей одновременно и колесу П, имеем о.=а,г, =а,г„ где а, и а,— угловые скорости колес ! и 11, а г, иг,— их радиусы. Рис 98 Следовательно, а, г, ее ге Но 2пг, =г,И и 2пг, =х,И, где И вЂ” шаг зацепления е, отсюда 2нг, е,а 2нге г,а ' ге ег г, е, или А поэтому а, е, а, е, но, согласии формуле (71), а,=е,!=те!, поэтому а,=4п! †. ! При ! = 1 сея имеем: а = 4тс — .
1 сек ' Угловое ускорение колеса П будет равно о'ае ! е =.— — '=4п —, еи сек' ' Си сноску на стр 222. 168 т. е. угловые скорости находящихся в зацеплении зубчатых колес обратно пропорциональны числам их зубцов. Следовательно, г, 80 =ае е' —— — оа,=4а„ Теперь по формуле (72) находим ускорение точки В: ,)),+, -(5)'(4 )')-(( () 60 ) ((.(б При 4=1 сек =60 ) (.)(з 60 ( ( ~ 2,( Направление ускорения п)з определяется углом а между радиусом сГВ и вектором н)з.
тд а=+= — = — =0,079, откуда а=4'30'. в, 4п ! з ~6из Глава РП ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЪНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА Если при движении твердого тела расстояние от любой его точки до данной неподвижной плоскости не изменяется, то такое движение тела называется плоскопараллельпым.
Изучение плоскопараллельного движения тела сводится к изучению движения плоской фигуры, движущейся в своей плоскости (сечения тела плоскостью, параллельной данной неподвижной плоскости). Задачи, относящиеся к плоскопараллельному движению тела, можно разбить на следующие основные типы: 1. Составление уравнений плоскопараллельного движения твердого тела (уравнений движения плоской фигуры). 2. Определение скоростей точек плоской фигуры. 3, Нахождение подвижной и неподвижной центроид.
4. Определение ускорений точек плоской фигуры й П УИДВНВНИЯ ДВИЖ6НИЯ ПЛОСКОЙ фИГИ9Ы (задачи 492 †5) Положение неизменяемой плоской фигуры в ее плоскости вполне определяется положением двух произвольных ее точек А и В. Следовательно, изучение движения плоской фигуры в ее плоскости сводится к изучению движения прямолинейного отрезка АВ, с которым фигура неизменно связана. Но положение от- 169 тн заи. 2624 резка АВ определяется положеяием, т. е. двумя координатами хз и уз, ега точки А, называемой полюсом, и углом ~р, который образует этот отрезок с некоторой осью неизменного направления, лежсйщей в плоскости данной фигуры (рис. 99).
Таким образом, движение плоской фигуры, движущейся в своей плоскости, можно определить следующими тремя уравнениями: (74) Уравнения (74) называются уравнениями движения плоской фигуры, или уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела. Из этих уравнений следует, что движение плоской фигуры можно разложить на два движения: !) поступательное движение, определяемое первыми двумя уравнениями (74), и 2) вращательное движение вокруг полюса, определяемое третьим иэ уравнений (74).
У ! а~ Г Ряс !00 Рнс. 99 Пример 72. Линейка АВ эллипсографа приводится в движение кривошипом ОС, вращающимся равномерно вокруг оси О, с угловой скоростью в=сонэ(. Принимая точку А за полюс, составить уравнения движения линейки эллипсографа если (рис. 100) ОС=ВС= АС=г. Решение. Так как точка А движется по оси Ох, гоуз-— -О. Если угол, образуемый линейкой АВ с осью х, обозначим то из равнобедренного треугольника АОС будем имети: АО=2ОС сов се, или хх —— 2гсозф. При равномерном вращении угол АОС поворота кривошипа за г сек будет равен мг, т. е.
Таким образом, уравнения движения линейки АВ имеют вид: хд — — 2г соз (ы1), уд =О, ф = а1. Пример 13. Шестеренка радиуса г, катящаяся внутри неподвижного колеса радиуса й, приводится в движение кривошиком ОА, вращающимся равномерно вокруг оси О этого колеса, с угловой скоростью сэ =сонэ!. Составить уравнения движения подвижной шестеренки, принимая ее центр А за полюс (рнс. 1О1).
Р е ш е и и е. Найдем координаты х„, уд полюса А. Из треугольника ОАВ имеем: хд.— — ОВ = ОА сова, уд — — АВ = ОА з!п а, но ОА =ОС вЂ” АС=Š— г и а =в!, как х угол поворота кривошипа прн равномерном вращении. Следовательно, хд —— (Й вЂ” г) соз сз1, уд —— (Я вЂ” г) з!и ы1.
Рис. 10! Далее нужно найти угол поворота подвижной шестеренки вокруг полюса А. Для этого рассмотрим радиус АМ подвижной шестеренки, который в начальный момент занимал положение А,М,. Тогда угол поворота равен МЕАМ = ф. При этом отрезок АЕ параллелен оси х и, следовательно, гСАЕ=а. Так как качение подвижной шестеренки по неподвижной происходит беэ скольжения, то СМ, = СМ. Но СЪ,=Ва СМ =г(ф+а), а поэтому г(а+ф) = К а, откуда ф=а( —,— 1) =( — — 1) ый 171 'и Таким образом, искомые уравнения движения запишутся так: хд — — ()ч — г) соз ьз1, Уд=(1С г) з)п ьзг й 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
