Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В кинематике применяются три способа, описывающих движение точки: векторный, координатный и естественный. При векторном способе определения движения радиус-вектор Р движущейся точки л4, проведенный из выбранного неподвижного центра (начала системы отсчета), выражается как векторная функция от времени, т. е.
г=гЯ, (45) Координатный способ определения движения точки состоит в том, что координаты движущейся точки в выбранной системе координат выражаются как функции времени 1. Уравнения движения точки в декартовых координатах имеют вид: два уравнения движения: х=~,(!), у=7,'(1).' В этом случае можно определить движение точки. применяя и полярную систему координат; уравнения движения точки я полярных координатах запишутся так: г= г", (1), т=Р,'(1), (47) где г и ~р — полярные координаты движущейся точки При естественном, или натуральном, способе движение точки определяется ее траекторией и уравнением движения по этой траектории: з = ОМ =1(1), (48) где Π— начало отсчета дуг на траектории, а з — дуговая координата точки М или взятая с соответствующим знаком длина дуги, отсчитываемая вдоль траектории от начала отсчета до точки М (рис.
87). Рис 87 Уравнение (48) называется законом, или уравнением, движения точки М по ее траектории Задачи, относящиеся к «Кинематике точкиэ, можно разделить на следующие основные типы: ! Задачи, относящиеся к прямолинейному движению точки. В задачах этого типа требуется определить скорость о и ускорение гэ из уравнения прямолинейного движения точки, причем это уравнение или задано, или его нужно предварительно составить, исходя из условия задачи. 11 Задачи, относящиеся к криволинейному движению точки, Задачи, относящиеся ко второму типу, можно разделить на четыре группы: 1) задачи, в которых требуется определить траекторию, скорость и ускорение точки по заданным уравнениям движения в декартовых координатах; 2) задачи, в которых требуется составить уравнения движения точки в декартовых координатах и определить траекторию движения точки, а также ее скорость и ускорение; Р43 3) задачи, в которых применяется естественный способ задания движения точки, т.
е. задана траектория движения, а уравнение движения по этой траектории либо задано, либо его можно найти из условия задачи; 4) комбинированные задачи. 5 1. ЗАДАЧИ ТИПА 1 Прямолинейное княжение точки (задачи 322 — 324, 338 — 342, 488-411)е Если точка движется прямолинейно, то в этом случае скорость о и ускорение в направлены по прямолинейной траектории, а модули их равны: ( ~=!й! (-(=!:-"!=! —.""! (49) где з †расстоян движущейся точки, отсчитываемое от некоторой неподвижной точки О траектории. Если выбрать прямую, по которой движется точка, за ось Ох, а расстояние ОЛ( = з обозначить через х„ то проекции векторов скорости о и ускорения в на направление траектории будут равны: ~1х Л»л П= 81 В=81 (60) где о и в — алгебраические значения скорости и ускорения, причем знаки — и „вЂ”, указывают, в какую сторону по оси Ох ол о»х направлены векторы скорости и усков! рени я.
При составлении уравнения прямой линейного движения точки необходимо рассматривать положение движущейся ! точки в произвольный момент времени 1, а пе ее начальное или конечное ! положение и выразить ее расстояние от начала отсчета как функцию времени 1. Пример 53. Линейка эллипсограл 8! Л фа длиной АВ=1=1 л«скользит свою ими концами по осям Ох и Ойь КоРис. 88 нец А линейки движется по оси Ох, причем закон этого прямолинейного движения выражается так: ОА =0,1(м, Составить уравнениедвижения точки В и определить скорости и ускорения точек А и В (рис.
88). * Здесь и дальше номера задач указаны по «Сборнику задач по теоретическпй механике» проф. И. Н. Мещерского, изд. !950 г. и послед. изд. 144 Решение. Точка В движется прямолинейно по оси Оу; расстояние этой точки от неподвижной точки О найдем из прямоугольного треугольника ОАВ: ОВ=1 АВ' — ОА'-) т — О,ЛГ. Таким образом, уравнением прямолинейного движения точки В запишется так: ув — — 'у 1 — 0,011*.
Скорости и ускорения точек А и В, которые направлены соответственно по осям Ох и Оу, найдем по формулам (49): ехх ео,м и = — „= — „', =0,1 м,)сек Еув Е У ~ — О,О0* — О,ОЫ ов -- ' ' и)'сек, и ш )с~ о она Еаа н~ = — „=О, А щ ~ у'1 — о,он* — ! — о.ом о,о1 — м,'сек'. $ (1 — О,ОЫ*) ' Так как — „, (О и — „,, (О, то скорость ползуна В направлена "Ув " Ув к точке О и ползун движется ускоренно. Пример 54. Круглый эксцентрик диаметром 2г вращается вокруг оси О, отстоящей от геометрической осн С эксцентрика на расстоянии равном ОС=а= а ! = —; угол гр изменяется по закол а ну ~р= — у (угол ~р измеряется в радианах, г — в см, а а — в сек), Я)Б Найти уравнение прямолинейного движения точки М стержня МДГ, Т движущегося в вертикальных на- г правляющнх, как указано на рис, 89, а также скорость и уско- с — — с рение этой точки в момент г, =- 3 сек а (рис.
89). о Решен не. Стержень МУ движется в вертикальных направляющих, а потому точка М Ряс. 8э стержня движется прямолинейно по неподвижной прямой, прохбдящей через точку О и направленной вдоль стержня Мл). Выберем эту прямую за ось Оу, а начало отсчета — в точке О н выразим расстояние ОМ =у Ыа Но ОЕ=асозср, ЕС=а з|пср, ЕМ =у'МС' — ЕС'= у'г' — а'з|п'~р, а потому у= ОМ =асов ~р+ у'г* — а' зйп'~р. Подставляя значения угла ~р и в=За в последнее равенство, получим закон движения точки М: у=а|сов — т+ 1 9 — з|п' — ~).
2 Скорость и ускорение точки М найдем по формулам (49): пу и' / и Г ., и '1 и . и и= — = — а~сов —,|+ вь 9 — з|п — || — — аз|о — з х =И=а ~ 2 2 / 2 2 < соз — з 2 пп з|п— 2 )/9 — в|пв — З/ 2 1 9 — в!пз — З х(соз — |+ 1 9 — з|п* —,~Й или и вп1 — З 2 у. 9 — з|п' — Ф 2 Кроме того„ 5|п— 2 пу Ж 9 — в|пз З 2 Л 9п сов — З 2 з!и— 9 — взп'— 2 У 2<9-в|пв" |)* 146 как функцию времени ~; для итого достаточно выразить отрезок ОМ через угол ср. Проведя из точки С высоту СЕ в треугольнике МОС, имеем: ОМ =ОЕ+ ЕМ. 9 сов — ! и 2 в!п " ! у ,+о 2 -в/ и ( 1,и )в 3, 9 — в!и— Таким образом, пв 1/ 9сов — ! — в!п' — 1 1 9-в1п' — 1~ 2 в — — — р 4 а (9 — нп' — 1) В момент (,=3 сек и ив о = — а см/сек, в == а см1сек.
2 ' ' 8т2 Так как о,)0 и в,)0, то скорость и ускорение точки М направлены от точки О, т. е. по вертикали вверх, и точка М движется ускоренно. й 2. ЗАДАЧИ ТИПА и Криволинейное движение точки Первая группа Задачи, в которых требуетси определить траекторию, скорость и ускореинеь точки нв уравнений движении в декартовых координатах (задачи 311, 313 — 316, 326, 322, 326, 328, 346, 352, 354! Если движение точки опреде.яется уравнениями в декартовых координатах, то, для того чтобы найти траекторию точки, достаточно из уравнений движения исключить время (, Вектор скорости и вектор ускорения определяются по их проекциям иа оси декартовых координат, причем очв Е1в пх о =х= —, Х оу о =у=в У Е1 йе о,=з пт (50) (5)) О =Х1+ йт'+за, в=хГ+уу'+ г'Е (52) (531 141 Отсюда получаем формулы разложения векторов скорости о и ускорения в по координатным осям: Модули и направляющие косинусы векторов скорости и ускорения определяются по формулам: й1-~ "ту+Р, (54) соз (о, соз (о, (55) соз(а, й) = =', ~«~' ~ «а( = у х* + у'+ г*, (56) сов(в, 1) ==", 1««! — ««х соз (иу 1) == ~ ««! сов (в, а)==*.
~в! (57) Пример 55. По заданным уравнениям движения точки в декартовых координатах найти траекторию, скорость и ускорение этой точки: 1) х= — "(е«'-1-е «') =ас)«(И); у = — (е" — е «') = Ь з)«(И); 2) х= Кз(п гь(; у =- К (1 — соз 2 «««(); 8 = Д з1п ы(. (Координаты х, у и г заданы в метрах, а г' — в сек.) Решен не. 1) Чтобы найти траекторию точки, исключим из уравнений движения время П из первого уравнения имеем." 2х «« „М .2у и и а — =е" +е "', а из второго: — "=ем — е".
Возведя эти равенства Ь в квадрат и вычитая второе из первого, получим: — — — =(е +е ) — (е — е ) =4, или — — — =1. 4х' 4у' «~ и, ««««, х' у а« Ьв а' Ь' ыв Следовательно, искомая траектория есть гипербола с полуосями а и Ь. Полагая в начальный момент 1Ь=О, находим: ха=а, уа=0, т, е.
в начальный момент точка находится в вершине гиперболы Аа(а, 0). Прн дальнейшем возрастании Г координаты х и у точки возрастают, оставаясь положительными. Следовательно, точка А движется по правой ветви гиперболы в направ- ленин, указанном на рис. 90. Воспользовавшись формулами (50), (5)), найдем проекции скорости и ускорения точки на коор динатные оси: и,= 2 (~ — е ) — ьФу; аа ь, „, а о = — (е +е )= — Фх; ЬЬ и ч 2 аде се„= — (е"'+е и) =а*х„ са — (е — е- )=й у.
ь~ и 2 ! лч Рис 90 Далее по формулам (54) — (56) находим -У*'~-ю'- —,у"* ~ чу, 1/~ ий соз(О, () = —" = — О» аиу )Уа'у' + Ь'хч' а„ Ь'х соз(о, )) = —" а'у' + Ь'х' се=)' х'+ у'=й' ргх'+у'. Но х'+у'=и', а потому и й'и. Кроме того, се=й'х(+й'у7=И'(х(+ у)). Так как хТ+р)'=~', то щ=й'г, т. е. вектор ускорения направлен по радиусу-вектору движущейся точки.
2) = )с 3!и е (, у = )с (1 — соз 2 саг), а=тяп сь1 Чтобы найти уравнение траектории, достаточно нз уравнений движения исключить время 1. Из первого и третьего уравнений имеем: г=х — зто есть уравнение плоскости, проходящей 149 через ось у и биссектрису координатного угла гОх. Далее, находя из первого уравнения ып Ы и подставляя это значение во второе уравнение, имеем: з!и в1= —, Ю ' у=(1 — соз 2в1) = Р (2 ып' в!), или 2 ° у= — х. Это есть уравнение параболического цилиндра с образую- шими, параллельными оси г, причем направляющей этого цилиндра является парабола у= — х, лежащая в плоскости 2 ф !т хОд.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
