Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 18
Текст из файла (страница 18)
и (йз) = — Л,а; гл,(Яз)-У„а; т Яз) =Яв»1 т, (Р~) = — У зЬ'1 т„(К ) = Х с; т, ф ) = — Х с. Составляем шесть уравнений равновесия системы сил: 1) Х.— Р=О, 2) Г„+ У~+ 9=0, 3) Л„+У +Š— 0=0, 114 4) ЯЬ вЂ” ас, +асс+ т, = О, 5) — аЬ, — Ела -(- ЯдЬ -(- т, = О, 6) Рс, + Яаг+Ула — УдЬ вЂ” Х,с+т, О. Из первого и четвертого уравнений имеем: х Р, г = — (ас,— (7Ь— 1 Теперь второе и шестое уравнения можно переписать так: ) л+) д= У„а — Удь = Р(с — с,) — Яа,— гп,. Рещая совместно эти уравнения, находим: У,=,+, (Р( — с,) — Я(а,+Ь) — т,): 1 Уд = — — (Р (с — с,) + Я (а — а,) — т,1. 1 Аналогично решаем совместно третье и пятое уравнения и опре- деляем К„и Яд. Ул = — ~~ —, (а (с — с )+ (',!Ь+т,) — аЬ, + т,~; 1ь Яд — — ~ — (а(с — с,)+!чЬ+т,]+аЬ,— т,) . Таким образом, все шесть неизвестных компонентов опорных реакций определены.
Задачи типа 7У Равновесие системы невомпланарныт сил в общем случае В задачах этого типа, так же как и в задачах типа Ш, имеем шесть уравнений равновесия. Кроме связей, рассмотренных в задачах предыдущего типа, здесь находят применение сферические подшипники (рис.73, г) и опоры в виде стержней, имеющих на концах сферические шарниры (рис. 73, д).
Задачи этого типа в зависимости от характера связей, наложенных на данное тело, можно подразделить на три группы. Первая группа Задачи о равновесна тела, имеющего ненодвимную ось вращении (задачи 270, 271, 273, 274) Пример 42. Груз Я поднимается равномерно при помощи лебедки (рис. 76). Струна каната в точке Е набегания каната на барабан составляет с образующей барабана угол 90' — у; плоскость, проходящая через ось барабана и точку Е, наклонена к горизонту под углом р, причем расстояние от точки Е до плоскости симметрии зубчатого колеса лебедки равно с: радиусы барабана и зубчатого колеса лебедки соответственно равны г н (с, 115 остальные размеры указаны на рисунке.
Определить модуль движущего усилия Р, приложенного в точке Р и образующего с касательной к начальной окружности колеса угол а, а также реакции подшипников А н В, если силы сопротивления движению, возникающие в подшипниках, приводятся к одной паре с моментом т. Вес ворота равен б и центр тяжести его находится посредине между опорами А и В (рис. 76). Ре ше н не. Рассмотрим равновесие барабана лебедки вместе с колесом. которые совместно с валом АВ составляют одно твердое тело.
Показываем на рисунке силы, действующие на это тело: силу Р, приводящую ворот в движение, и силу Р натяжения каната, которая равна весу груза Я, если пренебречь потерями в блоке (на трение в подшипниках н на изгиб каната), т. е. Р= 1~. Так как ворот, если смотреть от А к В, вращается почасовой стрелке, то пара, препятствующая этому движению, направлена против часовой стрелки и, следовательно, момент этой пары изобравится в виде вектора т, направленного по оси ворота, как указано на рисунке.
Вертикальную силу веса 6 ворота на рисунке не показываем, чтобы излишне не загромождать рксунок. Точку А принимаем за начало координат н координатные оси располагаем, как указано на рисунке, принимая ось вала за ось у и направляя ось з по вертикали вверх. Обращаем внимание иа конструкции подшипников А и В.
Так как эти подшипники фиксируют вал лебедки в осевом направлении, то в них, кроме перпендикулярных к оси вала реакций, могут возникать также продольные реакции, направленные вдоль оси вращения. Очевидно, продольная реакция возникает в том подшипнике, который воспринимает давление, направленное вдоль 116 оси вращения и вызываемое действием приложенных к телу заданных сил. В рассматриваемом случае осевое давление вос принимает подшипник А.
Поэтому реакция подшипника А состоит нв трех компонентов: г„=х,+~„+я„. Реакция подшипника В состоит из двух компонентов: )~в Хв+ рв. Разложив силу Р натяжения каната на две составляющие Р, н Р„направленные вдоль образующей барабана и перпендикулярно к ней, имеем: Р,=Рв!пу Ц в1пу; Р, Рсозу Ясову. После этого легко найти проекции силы Р, приложенной вточкеЕ, на выбранные координатные оси: Х =* — Р,сов(90' — ())- — (!совув1п(1; )г — Р, — () в!п у; Яв=Р,сов() =Я совусозр. Находим координаты точки Е: хв = г сов р; у, = а — с; зз г в(п !3. Далее находим проекции силы Р и координаты точки ее приложения: Хр — — Р соз а; Ур — О„Яр — Р в1п а; Обозначая через С центр тяжести ворота, имеем: ! Х =Ус=О, Е~= — б, х а, О, ма= —, где 1=а+6.
Моменты всех действующих сил относительно координатных осей вычислим по формулам (29): т„(Р) =(а — с) Я совр сову+г в1п р Я з1п у= Ц(йсозр сову+ +г в(п рз1п у), где Ь=а — с; т (Р) = — гз(п 1) Ясовув(п р — г совр Ясовусовр= — Ягсову; т,(Р) = — гсов()Яв1пу+ЙЯсовув(п(1 =Я(йв(прсозу — гв1п усовр); т„(Р) = — Р в1п а а; т (Р) = РК сова; т,(Р) = — Р сов а а; т.(а= — а- т,(6)-т.(а)=О т»(йя)- (йя)= =т,(ВА) — О тхЯз) — ~в!, т,Яв) — О. та ®з) = Хз! 1!7 Составляем уравнения равновесия рассматриваемой системы сил: 1) — Я ь!и )1 соь у+ Р соь а+ Х л + Х в = О, 2) — Я 61п у+)'в*= О; 3) Я соь р сов у — Р з(и а — 6+ Хл + Яв = О, 4) Я (Ьсоьр сову+г ь)п 1) ь1п у) — Раз(па — 6 — +2в! =О, б) — Яг соз у + Р К соь а — т = О, 6) Я (Ь сйи Р соь у — г соз )) з)и у) — Ра соь а — Хвг = О.
Из второго н пятого уравнений находим Ул и Р: У~ —— Я ьшу; Ог сов у+ш 77 соз и Подставив найденное значение силы Р в оставшиеся уравнения, определяем из них остальные неизвестные реакции. Из шестого уравнения: ! Г l аг 1 ам 1 = — ~Я 1 Ь 61и р соз у — г соь р з(и у — — соь у ) — — 1 . в — ! и 7' л1 Из четвертого уравнения: 6 ! Г Е = — -1- — ~() ~ — тдасоьу — Йсоьр сову — гь!п р з!ну) -1- в 2 11 (!7 + — тйа1 . После этого из первого и третьего уравнений находим: Х = — (1(Ь+с) 61п(1 — — (1 соьу+»совр ь)п у — — ° — 1; О 11 1 и а 'г1' Ул — — — ! 1ьзГ тка — (ь + с) соь р~ соь у+ г э!и !) 61и у -ь вз Ь 1 О + — ° — тра~ + -- . Я 1 ' 2 ' Вторая группа Задачи о равновесии тела, имеющего одну нз опор в виде сферического шарнира (задачи 266, 267, 276) Пример 43.
Тело, имеющее форму шестигранной призмы (рис. 77), закреплено в точке А при помощи сферического шарнира, а в точке  — при помощи цилиндрического подшипника и, кроме того, шарнирно соединено с прямолинейным невесомым стержнем СЕ, конец Е которого закреплен шарнирно. Через блек с) перекинут канат. Один конец каната закреплен в неподвижной точке Ь, а к свободному его концу прикреплен груз весом Я. В точке К приложена вертикальная сила Р, направ- 116 верх, и в наклонной грани призмы действует пара сил ленная ввер , й ст елкой.
с моментом гп, направление которой указано кругово р Определить реакции связей при следующих данн х анных: Р = 400 и, Я 500и т=1000 и и, а 80см, Ь=40см, с=г1=20си, Решение. Показываем силы, действующие на призму: Р, (7, Т, которая удовлетворяет условию Т= Я. Момент пары изобразим в виде вектора я, приложенного в точке А; зтот вектор Рис 77 е пендикулярно к наклонной грани призмы так, что из направлен пери нд вой ст лки. Реакего конца видим пару направленной против часово ре ция Я стержня СЕ направлена вдоль стержня так, что стержень работает на растяжение.
Принимая центр А сферического шарнира за начало координат, располагаем координатные оси, как указано на рисунке. Реакцию сферического шарнира разлагаем на три компонента вдоль выбранных осей: 7С,= Х„+ У'„+ г,. Реакцию пилиндрпческого шарнира В разлагаем на две составляющие, учитывая, что она перпендикулярна к оси цилиндра: йв = 1'в+ ~в. 119 Реакцию Й стержня, приложенную в точке С и направленную вдоль стержня СЕ, разлагаем предварительно на горизонталь- ную о, и вертикальнуюЗ, составляющие, после чего легко на- ходим ее проекции на координатные оси: Х, Я, з!п () Я соз у з1п () = 0,25 8, Ус — 5, соз р — В соз у соз р = — 0,433 Я, Яс-Я, Я з!п у 0,866 3.
Силы Т и (~ заменяем одной равнодействующей Яо — — Т+Кна- ходим проекции этой силы на оси координат: Хи=О' Уо= Я з1п 5 = 500 0,866=433; Ер- — Я вЂ” Я сов 6 — Я (1+ соз 5) = — 750. Далее имеем; Х«=0' Ух 0; Е, =Р 400. Теперь вычислим координаты точек приложения всех приложенных к призме сил и моменты этих сил относительно координатных осей (см. формулы 29): «в=а+А' рв-Ь! хв=Ь вЂ” с' «с=О ус=6 хс=Ь х„=а; рх 0; «„=Ь; а хо= —; дв — — 6; г =Ь вЂ” с; 2' ' и т„ф„) = т (Я„) =т, Я„) = 0; т (йв)= ЬЛв (Ь вЂ” с) Ув 0,42в 0,60 Ув" тг(Жв) — хаев= (а+сМ)2в —— — Хв, т,(йв) хвУв=(а+а)Ув-Ув, т„(Я)=6 з!п уВ+ЬЯсозусоз!) (Ь з!пу+Ьсозусозр)Я=О 738; т (Я) = х .Х = ЬЯ соз у з(и () 0,22 Я; т, (8) = — у Х = = — 68 соз у з)и 8 = — 0,1 8; т„(Р) т, (Р) = 0; т„(Р) = — Ра = — 320; т„фо) = — ЬЯ (1+ соз 5) — (Ь вЂ” с) (1 з!п б = = — [6 (1 + соз 6) + (Ь вЂ” с) з(п 61 Я = — 600; т (й ) = — х Š— (~(1+соз8) =300; т, (!(о) хоУл — Я з(п 5 = 173,2.
Наконец, находим проекции вектора-момента пары т на координатные оси: т„=*О, т =тсоза =866; т,= — тейп а= — 500. Теперь нетрудно составить шесть уравнений равновесия сил, действующих на призму: Хл+ 0,265 = О, Ул+Ув 04335 1433=0* Ед+ Лв -( 0 866 5 р 400 — 760 = О, 0 4 Яв 0 69 Ув-'- 0 735 — 600 = 0 Яв+О 22 5 320+ 300+866 = 0 Уа 0! 5+173 2 600=0. Эти уравнения можно представить проще в таком виде: Хд + 0,255=0, Ул + Уа — 0,433 5 = — 433 2д + ув + 0 866 5 = 360, 0,4 Яв — 0,69 Уз+0,73 5 = 600, — 2з т 0,22 5 = — 846, Ув 0 15 = 326 8. (а) (б) (в) (г) (д) (е) Из уравнений (д) и (е) имеем: Ятг = 0,22 5+ 846 и Уа 0,1 5+ 326,8. Третья группа Задачи о раеноаесии тела, закрепленного при помощи шести стержней, соединенных с телом и опорами шарнирно (задачи 268, 269) Пример 44. Однородная плита весом б (рис.
78), имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, опирается на шесть прямолинейных стержней, соединенных своими концами с плитой и с неподвижными опорами при помощи сферических шарниров. На плиту действует, как указано на рисунке, горизонтальная сила Р и в точке А подвешен грув б. Найти усилия в стержнях, пренебрегая их весом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
