Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 14
Текст из файла (страница 14)
т,(Р) =т,(Р) сову. Пример ЗЗ. К вершинам Ь, В и Р куба со стороной а приложены равные по модулю силы Р, Б и (г„направленные соот- ветственно по стороне )Е ВЕ и по диагоналям РА и РК. Найти мое менты каждой из этих сил относительао координатных осей х, у и г (рис.
62). 4'- — и г Решен не. Первый с п о с о б (геолетриче- у ский). При вычислении 0~,.- у ЕЕ' д моментов нескольких ! сил относительно коорь' 'и, динатных осей следует Я сначала выделить те л" ее' силы, которые пересев кают одну из коордию натных осей или ей Рис, 62 параллельны, так как в этих случаях момент силы относительно оси равен нулю. Сила Р параллельна оси х, а сила 5 пересекает ось г, а потому т„(Р)=0 и т,(В) =О.
Далее следует выделять те силы, которые располо. жены в плоскости, перпендикулярной к одной из координатных осей; в этом случае момент силы относительно такой оси по абсолютной величине равен моменту силы относительно точки пересечения этой оси с перпенднкулярнои к ней плоскостью, в которой расположена эта сила. Сила О лежит в плоскости КЕОА„ перпендикулярной к оси х, причем А, †точ пересечения оси т с этой плоскостью.
Так как А,Е ) КО, то плечо силы () относительно точки А, 'У2 — д 2 равно А,О, = а. Следовательно, тл,(О) = — аЯ. Для на- 1 2 блюдателя, смотрящего с и о л о ж н т е л ь н о г о конца оси х на плоскость А,ОЕК, сила О стремится вращать куб вокру~ оси х против часовой стрелки, поэтому момент силы О относительно — — д 2 оси х положителен, и, следовательно, т„(О) =тл,(О) = — аЯ. Аналогично вычисляются моменты силы Р относительно осей у и г, так как сила Р расположена в плоскости ЕВСО, перпендикулярной к оси д, и в плоскости АВЕК, перпендикулярной коси г: т, (Р) =то(Р) = Р СВ= Ра, т, ( Р) = — тл (Р) = — Р ° А В = — Ра Теперь переходим л вычислению моментов силы О относительно осей д и г и моментов силы Я относительно осей х и у.
Чтобы вычислить моменг силы ф относительно оси у, следует сначала эту силу спроектировать на координатную плоскость гОх. Для этого следует из начала О и конца О, силы Я провести прямые, параллельные оси у, до пересечения с плоскостью гОх в точках А, и д,. Тогда вектор А,д,=(г„, явля. ется проекцией силы О на плоскость хОг. Плечо этой проекции относительно точки О равно ОА, = а. Для наблюдателя, смотрящего с полож и тел ьно го конца оси д на плоскость гОх, сила Я„, стремится вращать куб вокруг оси д по часовой стрелке, поэтому момент силы О относительно оси д отрицателен, и, следовательно, т, (4) = — О„,а. Но О„, = О ~(п 4б'= — Я, У 2 а потому — Уг т (О) = — — аО. Для вычисления момента силы Я относительно оси г спроектируем эту силу на плоскость хОд; для этого нэ конца О, силы 87 О проведем прямую параллельную оси х, до пересечения с плоскостью хОд в точке й.
Тогда вектор Я=О„у является проекцией силы О на плоскость хОу. Плечо силы О, относительно точки О равно ОА,=а. Так как момент силы гс относительно оси х отрицателен, то т, (4) = — то (4„у) = — Я.,а. Но О„у= О сов 45'= Сс —, у з а потому 2 у' 2 Чтобы вычислвть моменты силы 5=- ЭН относительно осей х и у, находим проекции этой силы 5,=-СЬ и 5„,=А,Ь, на координатные плоскости уОе и хОх. Так как грани куба являются квадратами, то ОВ ) СЬ и ОК ) А,Ь„а потому т (5) — — 5„,— — — — а5„,. — ОК )У2 Лалее 5„, = 5у, — 5 сов б иэ прямоугольного треугольника ОАС находим чг: аг 'ус2 / 2 сов 5 = — = == ~/ Следовательно, т„(5)= 3 5, — Уз — уз т„(5) = — — а5.
Впгорой способ (аналитический). Под аналитическим способом определения моментов силы относительно координатных осей понимается вычисление этих моментов по формуле (29). При этом нужно предварительно найти (если они не заданы) координаты точки приложения силы и ее проекции на оси координат. Принимая во внимание, что сила Р параллельна оси х, сила О перпендикулярна к этой оси и составляет с осями у и х углы 45', получим: Р„=Р, Р Р,=О, ()„=О, О„= — Осоэ45'=- = — — — О, Я,=-(„г сов 45"= Обозначим угол х'РАО через у. Тогда 5,=5 сову. Чтобы вычислить проекции силы 5 на оси х и у, спроектируем эту силу на плоскость хОу, а затем полученную проекцию Я„„направленную по прямои РО, спроектируем на оси х и у. Тогда имеем: Я~у Я Б!п 1 Я о и соэ 45 5 = — З„~ соз452, или 8„=5у= — — ып Ф.
)т 2 Из прямоугольного треугольника ОАР находим: ОА а УЗ сову=а — = уу'3 00 /2 З)П Ужи — = ~/ —,. АР У 3' Значения координат точек приложения заданных сил, кото- рые находим непосредственно из чертежа, и значения моментов этих снл, вычисляемые по формулам (29), указаны в табл. 6 н 7. Таблица 6 Координеты Точка приложения силы Таблица 7 Моыенты сил относительно коорднннтнык асей Силн ж =лУ-ух ! жу=сх- Х т =ул-еУ вЂ” — аР )2 2 Таким образом, момент силы относительно координатной оси можно вычислить двумя способами: 1) аналитическим способом, пользуясь формулами (29), выражающими искомый момент силы через проекции этой силы на координатные оси и через координаты точки ее приложения; — ао У" 2 2 — аз уз 3 Ра уг — — ао 2 Уз — — аз 3 2) геометрическим способом.
Г!рн геометрическом способе определения момента силы относительно координатной оси следует различать три случая: 1) сила лежит в координатной плоскости, перпендикулярной к координатной осн, относительно которой вычисляется момент, то~да момент силы относительно этой оси равен по модулю ее моменту относительно начала координат; 2) через линию действия силы можно провеств плоскость, перпендикулярную к одной из координатных осей, тогда момент силы относительно такой оси равен по модулю моменту силы относительно точки пересечения этой плоскости с данной координатной осью; 3) если сила не лежит в плоскости, перпендикулярной к данной координатной оси, то следует эту силу спроектировать на координатную плоскость, перпендикулярную к данной оси, и вычислить момент полученной проекции относительно начала координат.
$2. ПРИВЕДЕНИЕ ПРОИЗВОЛЪНОЙ СИСТЕМЫ СИЛ К ДАННОМУ ЦЕНТРУ (задачи 232 — 240) Л=ХРб М =Хт (Р). Аналитически модуль и направление векторов )с и Мо определяются по их проекциям на координатные оси х, у н 2 начало которых находится в центре приведения О, причем К„=~", Х;, )( =ху» Р„= ~2п Мр„— ~ п„(7,.), Мою = 2~ ~~~, (~с) Мох = Х ~па А) (30) Если задана система сил Р; (1=1, 2, ..., и), расположенных как угодно в пространстве, то эти силы можно привести к про.
извольно выбранному центру О. В результате такого приведения, как и в случае плоской системы сил, получим одну силу К приложенную в центре приведения О и равную главному вектору данной системы сил, и одну пару с вектором-моментом Мо, равным главному моменту этой системы сил относительно пентра О. Следовательно, будем иметь: Отсюда имеем: И= р„'х,.)'+(~),) +(~~,), — Р„~ Х,. соз (Я, 1) = =' = =Р= Р' — Р соз(й, 1) =-е' Р Р Р, ~Х, с (Я, й)= — '= —; =Р= Р (31) н."Ф~)Ь .)г)г)-)Х,)т)) )-)Х,)т)г.
1 соз(М, 0= — ' )Иск 2> л)х (.и)') ! = Ио И„ )') о ьео с з(М, й)= м '= л' 1 (32) Мо ЕМок+~тМоу+й1Мок (33) Если второй инвариант данной системы сил не равен нулю, то эта система приводится к динаме, т. е. к паре и к силе, перпендикулярной к плоскости этой пары (рис. 63). Прямая, проходящая через точку О„по которой направлены векторы и' я М)ц, иазывается центральной осью двиной системы сил. При этом отрезок 00, перпендикулярен к векторам Й Модуль и паправлеиие главного вектора ие зависят от выбора центра приведения.
Поэтому главный вектор является первым и и в ар и а ятом данной системы сил. Модуль и иаправле- лглни иие главиого момента Мо измеия- % ются с изменением центра приведения. Но скалярное произведение ьг Мо главного вектора и главно- с, У го момента ие зависит от выбора цеитра приведения, т. е. является вторым иивариаитэч данной системы сил. При этом и.. ез Й Мо=)сМосоз ч), где )р — угол между направлениями главного вектора (с и главного момента М . Выражая это скалярное проиэведеиие через проекции векторов Р и Мо, имеем: Мо, а его длина равна; При перемещении центра приведения по центральной оси главный момент данной системы не изменяется, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
