Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 15
Текст из файла (страница 15)
е. остается равным Мо„причем его модуль является наименьшим по сравнению с модулем главного момента данной системы сил относительно всякого другого центра приведения, не лежащего на центральной оси. Величина этого наименьшего момента определяется по формуле г'(о11ссиср Р Мо Ил~и = Мо соз су =- й Р Аналитически положение центральной оси определяется ее двумя уравнениями, которые имеют следующий вид: М ог — (ун,— сгс ) Мои — (гл„— хнг) 'ног — (хк — ун„) (Зо) иг где х, у и а — текущие координаты точки, лежащей на центральной оси, Может оказаться, что скалярное произведение 1( Мо равно нулю, но каждый из сомножителей отличен от нуля, В этом случае главный момент перпендикулярен главному вектору, т. е. сила и пара, получающаяся в результате приведения данной системы сил к центру О, лежат в одной плоскости.
й г Я Рис. ба Рис, бб В этом случае, как уже было указано в Э 1 гл. 11, система приводится к равнодействующей, 1(* =К которая проходит через точку 0„ лежащую на перпендикуляре, к векторам И а(о и Мо на расстоянии 00, = — (рис. 64). Если Мо О и К~О, и то система сил приводится, очевидно, к одной равяодействующей силе 1(, проходящей через центр приведения О. Если же й =О, а МоФО, то заданная система сил приводится к одной паре с моментом Мо; в этом случае главный момент системы не изменяется с изменением центра приведения, т.
е. относительно любого центра приведения главный момент будет равен л4о (рис. 65). Наконец, если главный вектор )х" и главный момент Мо одновременно равны нулю, то данная система находится в равновесии. Эти результаты можно расположить в табл. 8. Таблина 8 н мо~о мо лио ми~о и=о м,ро и~о ми=о л о м,=о Система сил прииодится к динаме Система сил нахо. дится з раз. ноаеснн Пример 34. Даны три силзя РЄЄприложенные в точках А, (О; 2; 1), А, (1; — 1; 3), А, (2; 3; 1)*, и пх проекции на координатные оси (н ньютонах). Проекции 2 — 1 ~ — 7 Привести зту систему сил к началу координат. Решение.
Определим сначала проекции главного вектора и главного момента на координатные оси: Я„= ~и~ Х, = 3 — 2 — 1 =О, Й „=,л', Уа = 5+ 2 — 7 = О, Не=~Я;=4 — 6+2=0. ' Координаты заданы а метрах. Система сил призохится к равнодейстзупюошей Я* = ~Рп не проходящей через центр призедення О Система сил приводится к одной паре, мо. мент которой ранен '~'щ (р ) и не зазиснт от выбора нентра приведения О Система сил приводится к раннодейстзующей Й = про. ходящей через центр призе. дения О Для вычисления моментов сил Р, относительно координатных осей воспользуемся формулами (29). Тогда имеем: Мок=~(ИД вЂ” г;У;) =( — 5.1+ 4 2) + +и — 1) ( — 6) — 3 2] 4 )3 2 — 1( — 7)) =3+0-1-!3= 16, М р, —— '~~ (г,Х; — к,7~) = (1 3 — 0 4) + (3 ( — 2) — 1 ( — 6)) + +( — 2 2+1( — 1))=3+Π— 5= — 2, Мо*=Х(кА рХ)=(0'5 — 2'3)+(1'2 — ( — !)( — 2))+ + [2 ( — 7) — 3 ( — 1)) = — 6 + 0 — 1! = — 17.
Теперь по найденным проекциям определяем величину главного вектора и главного момента: )7= !/!7,*+я',+ Л;=О, Мо=)/ Моо.+ Мог+ Мо. =$' 16'+2*+17*=23 4 н .и. Лля определения направления главного момента находим его направляющие косинусы: соз(Мо ~)= 2 4 0,683 Мо — 44 от — 2 сов(Мо 1)= М = 4 — 0,085, Мо соз (Мо й) МО Так как главный вектор данной системы сил равен нулю, то эта система сил приводится к одной паре с моментом М, причем этот момент не изменяется с изменением центра приведения.
Пример 35. По ребг~ рам призмы действуют, как указано на рис. 66, к у силы Р,=40, Р,= = Р,=10, Р,=15, Р, = 5 н. Кроме того, дано ОА =20К=20 см, лз о = ЗО', Привести эту 47, систему сил к простейшему виду. !44 Р е ше н и е. Выбе- Ф рем систему координатг~ л а ных осей, как указано г~ на рисунке, и найдем проекции главного вектора на координатные рис, 66 94 оси: )г,= '~~Х,= Р,— Р,=О, Р „=- ~~ У, =- Р, сов а = 40 соь 30" == 20 г 3, Р, = ~ Я,.
= Р, + Р, — Р, ейп а = 15+ 5 — 40 — = О. Отсюда следует, что главный вектор направлен по оси у и равен 20)ГЗ н. Приводя данную систему сил к началу координат, найдем проекции Мо„, М„, М, на оси х, д, г главного момента Мр относительно точкй О: М „=-~",~„(Р,). Так как силы ЄЄР, пересекают ось х, а силы Р, параллельна этой оси, то моменты этих сил относительно оси х равны нулю и, следовательно, М „=гп„(Р,). Сила Р, лежит в плоскости гОу, причем наблюдатель, смотрящий с положительного конца этой осн, видит силу Р, направленной относительно точки О по часовой стрелке, поэтому т„(Р,)= — Р,ОЕ= — Р,ОКсоэи= — 3,46 и м.
Далее М =~тх (Р,). Силы ЄЄР, пересекают ось у, поэтому их моменты относительно этой оси равны нулю. Следовательно, М =т (Р,)+гп (Р,). Силы Р, и Р, лежат в плоскости гх, поэтому пгу (Р ) Р~ОК ! и хг гп„(Р,) = — Р„ОА = — 1 н и. Итак М = Р,ОК вЂ” Р,ОА 10 0,1 — 5 0,2=0. Так как силы ЄЄЄР, пересекают ось г, а сила Р, параллельна этой оси, а потому момент каждой нз этих сил относительно оси г равен нулю, следовательно, М., 2.щ.(Р,) О.
Так как М М,=О, то главный момент Мо направлен по оси х н Мв — — ~/ Мох + Мок + Мог = 3,40 л. ж. Таким образом, данная система сил эквивалентна силе й, приложенной в точке О, и паре с моментом Мр. Остается теперь выяснить, к какому простейшему виду можно привести данную систему сил: к одной равнодействующей силе или к динаме.
Так как главный вектор 1х перпендикулярен главному моменту М, то сила Й и пара 1с моментом М ) лежат в одной плоскости гОу, поэтому они приводятся к одной равнодействующей силе й*, равной и параллельной силе Й и приложенной в точке О,. Найдем эту точку О,. Для этого нужно на прямой, проведенной из точки О и перпендикулярной к векторам Х и М , т.
е. в данном случае на оси г, отложить отрезок, равный ОО,= — ===0,1 и, 221 з и гоуз При этом отрезок ОО, следует отложить на оси в таком направлении, чтобы, смотря с конца вектора-момента М, можно было видеть равнодействующую силу 1~", приложенную в точке О„направленной по отношению к точке О против часовой стрелки.
Так как 00,=10, то точка О, совпадает сданной точкой К. Точка К и будет точкой приложения равнодействующей. Итак,данная система сил приводится к равнодействующей силе Р*, приложенной в точке К и У направленной параллельно оси у, причем й' = 20 'г' 3 и. Рис. 67 Пример 36. Дана система сил Ро ЄЄ ЄЄприложенных в вершинах прямоугольного параллелепипеда и направленных, как указано на рис. 67, причем Р,=60, Р,=Р,=!О и, Р,=10)~ 5, Р,=20 и, ОА = ОВ = 20 см, ОС = 1О схг.
Привести зту систему снл к простейшему виду. Решен не. Координатные оси х, р, г направим, как ука- эб вано на чертеже, и введем следующие обозначения: угол ООК обозначим а, угол КО — р и угол АОŠ— у. При вычислении проекций заданных снл на координатные оси заметим, что проекции силы Р, на оси х и у нужно находить так же, как это было указано в примере № 12, т. е. сначала силу Р, следует спроектировать на плоскость хОу и полученную проекцию 1, спроектировать затем на осн х н у. Значения проекций всех заданных сил и координаты их точек приложения расположим в виде табл.
9. таблица ч х, — 1, в|и й= = — Е, в|п о в1п р — 1,совР= = — Р, в|и а совр — Р,сова 1О 20 20 20 ( 20 О )10~ 0! 0 ) 0 Рва|а у | 0 0~ 0 Р,сову 0 ~ 0 0(20 б Звана, 237я Из прямоугольных треугольников ООК, ОСЕ и ОВК на. ходим: ОК 20 2 в!п а = 1/ ! — соз а = —, з ИО 20 2 ОК УН1 1.20 У б' з|п |1 = 1 — со 1 1' 5 АЕ 1 и 2 з!и у= — == и сову= )/! — з|п' у = ОЕ рб- — У ~l=; Теперь вычислим проекции главного вектора на координат- ные оси: й„= — Г, з|п и з|п |1+ Р, + Р, з|п у= = — 60 — =+ 10+ 10 )/6 — = О, 1~ = — Р з1п а соз |3 + Р = — 60 — ° = + 10 = — 30, у'б 1 в З у- 2 - — 2 Я = — Р сов а+ Р, сов 1 1 Р, = — 60 —, + 1О Г 5 —,.
1- 20 = О, в в 'в' 5 Отсюда видим, что главный вектор )г направлен по оси у влево и по величине равен 30 н. Переходим к вычислению главного момента Мо относительно центра приведения О. Сила Р, параллельна оси х, а остальные силы пересекают эту ось, поэтому момент каждой силы относительно оси х равен нулю. Следовательно, М „=-О.
Точно так же момент каждой из сил ЄЄЄР, относительно оси у равен нулю, а потому Мох — т„(Р,) = г,Х,— х,2,=20Р,=200 и см. Моменты снл ЄЄР, относительно оси г равны нулю, так как эти силы пересекают эту ось, следовательно, Мо, = т, (Р,) + т, (Р,) = — 20Р, + 1ОР, = — 100 н с.и. Так как Мр„— — О, то главный момент Мо лежит в плоскости гОу и по величйне равен Мо = )I Мок+ Мох+ Мо.
= 100 3l 5 и. см. Так как главный вектор и главный момент отличны от нуля, то необходимо выяснить, приводится лн данная система сил к динаме или к одной равнодействующей силе. Для этого вычислим скалярное проиаведение главного вектора и главного момента: 1х 'Мо=)1 Мо~+й Мо +.РгМо,— ( — ЗО)200= — 6000н см Так как это произведение не равно нулю, то векторы Й и Мо не перпендикулярны н, следовательно, данная система сил приводится к дннаме. Найдем точку, через которую проходит центральная ось данной системы снл, а также величину главного момента относительно этой точки. Для этого построим главный вектор 1с' и главный момент йто по их проекциям на координатные оси и разложим главный момент по правилу параллелограмма на два составляющих момента М' и М", нз которых М' направлен вдоль главного вектора, т.
е. по осн у, а М" перпендикулярен к нему, т. е. направлен по оси г. Следовательно, М =!Мохам=2 и'и, М"=!Мо ~=! и ° м (Рис. 68), Пара, имеющая момент М", лежит в плоскости хОу, т. е. в одной плоскости с главным вектором К поэтому одну из 98 сил )т' этой пары можно выбрать равной по величине силе )т и направленной прямо противоположно этой силе. Тогда вторая сила этой пары )~Р будет приложена в точке Ог, лежащей на осн х, причем плечо пары будет равно ОО*= — = — — З,Э см.
М' )ОО )) 30 )) я' м' .— У Система, состоящая из силы )т и пары ()Т, Й*), м й )) очевидно, эквивалентна одной силе)т'. Таким образом, заданная система сил х эквивалентна силе Йг и Рис. 53 паре с моментом М', причем М')) й'. Следовательно, заданная система сил приводится к динаме, а точка О* находится на центральной оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
