Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 12
Текст из файла (страница 12)
е (26) (Е»Р) юах )с»А где )„— статический коэффициент трения. Этот коэффициент обычно несколько больше коэффициента трения при движении, Отсюда следует, что величина силы ста. тического трения всегда удовлетворяет условию: Р, ~)„)у. (26') Благодаря наличию силы трения между данным телом и опорной поверхностью полная реакция »г этой поверхности есть равнодействующая двух сил: нормальной реакции М и силы трения Р„(рис. 61), Угол ~р между направлениями нормальной реакции Р и полной реакции )с, соответствующий максимальному значению силы трения, называется углом трения.
Отсюда следует, что (27) Метод решения задач статики при наличии трения остается таким же, как и в случае отсутствия трения, т. е. сводится к составлению и решению уравнений равновесия, по только в эти уравнения, кроме заданных сил, приложенных к данному телу, и тех реакций, которые рассматривались в предыдущей главе, войдут еще и силы трения. При этом следует иметь в виду, что в таких задачах расчет ведется обычно иа максимальную величину сил трения, а потому эти силы определяются по формуле (р„) ..=1„йг Рассматриваемые ниже задачи, относящиеся к равновесию тел при наличии трения, можно разделить, как и в пре- Рис. 51 дыдущей главе, на два основных типа: !. Задачи, относящиеся к равновесию одного твердого тела. ! !.
Задачи, в которых рассматривается равновесие системы тел. Задачи, относящиеся к первому типу, можно еще подразделить на следующие две группы: 1) задачи, решаемые при помощи двух уравнений равновесия (двух уравнений проекций); 2) задачи, решаемые при помощи трех уравнений равновесия. Задачи типа 1 Первая группа Задачи, решаемые ири немощи дауа уравнения равновесия (задачн 73, 74) Пример 28 Дробление руды при помощи щековой дробилки происходит путем раздавливания ее между подвижной щекой ВС и неподвижной щекой АС. Найти максимальную величину угла а между щеками, при котором возможно дробление, для чего руда не должна выдавливаться вверх.
Угол трения между куском руды н щеками дробилки равен ~р (рис. 52). лн Ззз дага 73 Р е ш е н и е. Нормальные реакции щек АС и ВС обозначим М, и М„силы трения — Р, и Р,; при этом Р, -1М, и Р, =.1М„ где 1 — коэффициент трения между куском руды и поверхностями щек АС и ВС, ~=-тсср, р — угол трения. Так как под действием сил М, и М, кусок руды будет выдавливаться вверх, то приложенные к нему силы трения Р, и Р, будут направлены вдоль щек д / АС и ВС вниз. Следовательно, кусок раэдраб- б ливаемой руды находится в равно,,/ весии под действием сил Р„Р, «г М„М, (весом руды пренебрегаем ввиду малых размеров куска ру- лг ды), а потому сумма проекци(й I ' е этих сил на любую ось равна гг нулю.
Если за оси проекций вы/ берем направления СА и СВ, то будем иметь: .! 1) — Р, — Р, сов а + 2 а 2 +М в!па=О, е 2) — Р,— Р, сова+ +М, в)п а=-О, ь. илн 1) Р,+Р, сова =М, в1п а, Рис. 52 2) Р,сова -( Р, =М, в)па. Сложив эти уравнения, получим: (Р,+Р,)(1+сова)=(М,+М,) в!па. Так как то пли отсюда или Но Р,-1- Р, (~(М,+М,), (1-1-сова) (Р, в-Р,)«=~(!+сова)(Л', +М,), (М, + М) в(п а ~ (М, + М) ~ (1+ сов а), в|п а ~) (1+ сов а), в1п а 1 — 'ссв и а а юп а — 2 юп — сов— 2 1 ~- соз а = 2 соз'— 2 поэтому а а 2 Мп — соз— г 2 ,а 2 соз'— 2 или тЯ-2~ЧУ» а — ~(р, 2 а ~2ср, откуда или или (Р,+ р,) соз — =(Л', +М,) з)ив откуда а р,+р, тц — = — '— 2 У,+М, Но с, + Р, ~ )" (Лг, р Л',) = тц ср ()у, + М,), тя — ся ср, а ~гр 2 а а- 2~р.
поэтому откуда или Рассмотрим далее геометрический способ решения этой задачи. Сначала построим линии действия полных реакций )с, и )с, щек АС и ВС, приложенных к куску руды в точках Е и О. 75 Следовательно, максимальная величина угла, при котором руда не будет выдавливаться вверх, равна удвоенному углу трения. Приведенное решение этой задачи можно упростить, если за ось проекций принять биссектрису угла АСВ.
Тогда достаточно составить только одно уравнение проекций на эту ось. В самом деле, проектируя все силы, приложенные к куску рудм, на направление биссектрисы угла АСВ, получим: а а а а — Р соз — — Р соз — + М з1п — + Лг э)п — = О 2 ' 2 ' 2 ' 2 р+у -2~р. а =2~р, а,„= 2~р. Следовательно, т. е. Вторая группа Звлачн, решаемые прн поможи трех уравнений равновесии (зааачи 175 †)в2) Пример 29. Вращающийся кулачок 1 сообщает толкателю 2 поступательное равномерное движение в вертикальных направляющих (рис. 53).
При своем двнже- нин толкатель преодолевает сопротивление Я. Учитывая трение в направляющих, определить давление кулачка на толкатель при указанном на рисунке положении механизма. Размеры Л и Ь, толщина 6 толкателя, а также угол а между осьо толкателя и касательной к профилю кулачка в точке его касания с острием толкателя известны, коэффициент трения в па- правляющих равен ).
Трением между кулачком и толкателем пренебречь. Какому условию должен удовлетворять угол а, чтобы не произошло заклинивание механнзмаз Решение. Давление Л' кулачка на толкатель направлено перпендикулярно к профилю кулачка. Силу Л' ~ можно ))изложить на две составляющие: Лг =Л'э|по — вдоль оси толкателя и Лш = Лгсоз а †перпендикуляр к оси толкателя. Первая из них перемещает толкатель и преодолевает сопротивление его движению, вторая Рис, 53 Узол между полной реакцией и ее нормальной составляющей не превышает угла трения, поэтому, о9означая )пол между силами )с, и Л', через р и угол между силами )т, и Л', через у, будем иметь: р (гр и у=- ~р.
Так как кусок руды находится в равновесии под действием двух сил )с, и Лз„то линии действия этих сил лежат на прямой ЕО. Из треугольника СОЕ имеем: а = 190' — (90'- -)3) — (90' — у) = р + у. изгибает толкатель. Благодаря этим силам толкатель перемеща- ется и прижимается к направляющим в точках В и С, где воз- никают нормальные реакции М, и М, и силы трения Р,=!М, и Р, =)М,. Так как толкатель движется прямолинейно и равномерно, то все приложенные к нему силы уравновеши- ваются. Поэтому, располагая, как указано на рисунке, оси координат, получим: ~Х= — Мсоза+М,— М,=О, ~У =Ма!и а — (М,— )М,— Я =О, ~~т = М,Ь вЂ” ~М,6 — ЯО 56+ Мейн а 0,56 — Мсоза Ь=О.
Эти уравнения можно переписать в следующем виде: М,— М, =Мсоаа, М, + М, =- (М з)п а — Я), ! М, (Ь вЂ” (6) = 0,569 + М (й соз а — 0,56 з)п а). Из первых двух уравнений находим: М = — (М з)па — (1) — — М сова. 1 1 2! 2 Подставляя это выражение М, в третье уравнение, имеем: : (М з)п а — Я) — — М соз а = 0,56Я + М (Ь соз а — 0 56 з!п а), — Ь вЂ” )Ь 2~ 2 или (Ь вЂ” ) 6) ()2 а — !) ) (2Ь вЂ” 6 тд а) . 1', тй а ~ (2Ь+ Ь вЂ” Я) ~~ .
Задачи типа т'! откуда Равновесие системы тел ири наличии тренин (задачи 188 — !88) Пример 30. Два груза А и В, веса которых равны Р и ф лежащие на наклонных плоскостях с углами а и 5, связаны веревкоп, перекинутой через блок О. или (Ь вЂ” 16) (М з!п а — Я) — 1' (Ь вЂ” 16) М соз а = = 1'6Я + М)" (2Ь соз а — 6 з!п а). Отсюда получаем: М ЬО (Ь вЂ” (8) (мн а — ! соа а) — ! (28 соа о — Ь мо о) Для того чтобы не произошло заклинивания механизма, должно соблюдаться условие: (Ь вЂ” !6)(з)па — 1'сова) — 1'(2й сова — 6 з(па) О, Найти отношение весов — при равновесии, если угол тре- Р иия грузов о плоскость равен р (рис. 54).
Р Р еще н не. Найдем наибольшую величину отношения ТО при которой еше возможно равновесие, предполагая, что дадь- нейшее увеличение этого отноше- 0 ния вызовет движение груза А по наклонной плоскости вниз, а, г, следовательно, груз В начнет и двигаться вверх. В этом случае д -х силы трения Г,~ и Р,е, прило- женные к грузам А и В, будут а ~ направлены вдоль соответствую- щих наклонных плоскостей, как Рве.
84 указано на рису и ке. Нормальные реакции наклонных плоскостей, приложенные к грузам, обозначим М, и Л',. Рассмотрим равновесие груза А, к которому приложены силы Р, М„Р;е, а также сила натяжения Т, веревки. Проектируя зти силы на направление АО и направление, перпендикулярное к АО, получим два уравнения равновесия: !) Р>+ Т,— Р айна=О, 2) М,— Р сова=О, Аналогично, рассматривая равновесие груза В, к которому приложены силы ф Р;", Л', и сила Т, натяжения веревки, и проектируя зги силы на направление ОВ и направление, перпендикулярное к ОВ, получим еще два уравнения равновесия: 3) Р,'" — Т, + !~ з )п ~ = О, 4) М, — Я соз ~ = О. Учитывая, что Т, = Т„исключим эти две неизвестные силы, сложив первое уравнение с третьим. Тогда получим: 1) Р + Р~ — Р з!и а+ Я з!и р = О, 2) М,= Р сова, 3) М,=Я созр.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
