Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Но 4) Р;"= тафМ, =тдф Р соза, а поэтому 78 Ре= тяфЛ',=тифЯ совр, Р',"+Р',"=-тдф(Р сова-(- Ясов !)). С другой стороны„из первого равнения имеем: Р, +Р1 = Р в!ив — (с' 51п )). Следовательно, Р в(па — 9 51п()=тиф(Р сова+ Я сов()). Разделив это уравнение на Г), получим: Р ..
/Р— в1п а — 5!и ~ = тд 1р ( — сов а + сов () ). с) Отсюда Р— (в(па — (игр сова) =- в)п р+ тиф совр Р 5!и Р+ !и ф сии Р 5!и ф 005 () +005 ф 510 Р 5!и 6 +ф) я впа — !пфсоиа ими сои ф — соииппф 51п(п — ф) ' Таким образом, мы нашли наибольшее значение отношения Р—, при котором еще возможно равновесие, т. е. ( \ ' + Р '! 5!П (()+ф) (с ти !и (и ф) Р Найдем теперь наименьшее значение отношения —, при котором существует равновесие, но так, что дальнейшее уменьшение этого отношения вызовет опускание груза В и поднятие груза А, В этом случае направления сил трения Р" ,и Р',и будут противоположны направлениям этих сил в предыдущем случае. Р Г!оэтому, чтобы получить наименьшее значение отношения —, Я достаточно в первом и третьем уравнениях равновесия изменить знаки при Р;и и Р;и на обратные, что равносильно изменению знака прн тц ср в четвертом уравнении.
Следовательно, будем иметь: ( — )...= Р ) 5!и (р — !р) Я,/„;,и 5)и (а+ ф) Таким образом, равновесие данной системы возможно при условии: 5!и (() — ф) Р 510 ()) -1- !р) 5)и (а+!р) !) 5!и (а — !р) ' Пример 31. Два клина А и В, коэффициент трения между которыми (=-!нф, могут двигаться без трения в своих направляющих. К клину А приложена сила Р. Какую силу Я нужно приложить к клину В, чтобы клин А двигался равномерно в направлении действия силы Р, если углы а и р известны? Весом клиньев пренебречь (рис. 55). Р еш е н не Обозначим реакцию направляющих, приложенную к клину А, через ь„а реакцию направляющих, приложенную к клину В, через й,.
Так как каждый клин может двигаться в своих направляющих без трения, то реакции Й, и Р, направлены по нормали к поверхности соответствующего клина При равномерном движении клина А в направлении силы Р клин В будет скользить по клину А вверх а потому сила трения Р„ приложенная к клину В, будет направлена по прямой СР вниз, т.
е, в сторону, противоположную перемещению Рис 55 клина В относительно клина А. По закону равенства действия и противодействия сила трения 7, клина В, приложенная к клину А, будет равна по величйне и направлена противоположно силе трения Р„а нормальная реакция Л', клина А, приложенная к клину В, равна по величине и направлена противоположно нормальной реакции Лг, клина В, приложенной к клину А, т. е. Лг,= — Лг, и Р,= — Р,. Так как клин А движется равномерно, то силы Р, )с„ Лг, н Р„ приложенные к этому клину, уравновешиваются. При этом илий В будет также двигаться равномерно, и, следовательно, силы ф, Р„Я„У„приложенные к этому клину, тоже уравновешиваются.
Поэтому сумма проекций всех сил, приложенных к каждому клину, на направление движения этого клина равна нулю, т. е. 1) Р— Р, сова — Ф, 81п а=О, 2) Р, соз р + Лг, юп р — (~ = О. Кроме того, Р,=1Ц и Р— гЛг 80 где 1' — коэффициент динамического трения. Подставив эти зна чения сил трения в первое и второе уравнения, будем иметь: Р=(у, (( соз а+ з(па), Я=И (1 совр ф щи р). Но Ф,=Же поэтому Р (сова+Мпа 1яфсова+мпа в(п!рсова+сов!рв1па в1п(!р+и) (сов р+мп р (Кусов р+вгп р ма фсов ()+сов ф мп () во!(ф+р)' откуда в!и рр+(1) в)п (Ч!+ а) (',)= Р Пример 32, Подъемное приспособление состоит из двух жестких прямоугольных рычагов АСВ и ОКЕ, скрепленных шарнирно с поперечиной СК.
Верхние подушки, соединенные с этими рычагами при помощи шарниров А и В, раздвигаются клином М, а нижние подушки; вращающиеся иа шарнирах В и Е, зажимают поднимаемыи груз весом Р. Определить силу, растягивающук! поперечину СК, и наименьший коэффициент трения !', нижних подушек о стенки груза, при котором, груз может быть удержан, если заданы коэффициент трения 1' между верхними подушками и клином, углы а и р и длины АС= РК =(„ СВ=КЕ=(,. Бесом приспособления пренебречь (рис. 56). Рис. Ьа 81 Решение. Система состоит пз трех тел: двух рычагов АСВ и 0КЕ и поднимаемого груза. Обозначим силы давления рычагов иа груз в точках В и Е, направленные перпендикулярно к стенкам груза, через М, и У„а нормальные реакции груза, приложенные к рычагам С ВСА н ЕКО,— через М, и М,. Р Тогда У, = — У, и У,=- — У,.
Силы трения Р, и Р„приложенные к грузу, направлены по вертикали вверх, а к подушкам рычагов приложены соответственно силы трения Р, и Р„ причем Р, = — Р, и Р, = — Р,. В точках А и 0 к верхним по с Рис. 88 Рис 87 Р,=~М„~ Р,=Р~„~ Из условий равновесия груза под действием веса Р, нормальных реакций У, и М, и сил трения Р, и Р„имеем: Р М,=У„Р,=Р,= —.
г ' Тогда Р, Р М,=М = — ' 2У (с) Теперь рассмотрим равновесие рычага АСВ под действием сил Р„ У„ У„ Р, и реакции Б, поперечины СК, направленной вдоль душкам приложены нормальные реакции М, и М, клина, направленные перпендикулярно к его боковыи поверхностям, и силы трения Р, и Р„направленные перпендикулярно к силам У, и У, вверх. По формулам (25) и (26) имеем: этой поперечины. Приравнивая нулю сумму проекний всех этих сил на оси к и В и сумму их моментов относительно точки С, имеем: Р, соьа — У, ь)п а+ В1 — У,'=О, Р, ь)п а+ У, соз а — Р; = О, — У,'СС,— Р,'СВ, + Р',СА, + М,СС, = О, где СС, ) М„СС, ) М„СВ, ! Р„СА, ! Р,. (рис, 88) Из треугольника САС„в котором ~ СЛА, = а — р), находим: СС, = А А, = АС соз (сс — р!) = (, соз (а — (3), СА, = ЛС з(п (а — р) =-(, ь!п (а — р).
2(алее, из треугольника СВВ, имсем; СВ, = СВ ь)п р = (, ь!п ~, ВВ, = СВ соь р =- (, соь р. Кроме того, из уравнений (а), (!)) и (с): Р Р,=с~~рУ„У'=У, =— 2(1 где ср — угол трения между верхними подушками и клином. Уравнения равновесия принимают вид: Р У, (ся 1р соь а — ь)п а) + Б, —,-(- = О, М,(сйср ь(п а+соьа)= 2 Р М (, (соь (а — Д) + фн ср ь)п (а — )3)! =- —,' ( — + ь)п р ). Р!1 /005 (3 1 Так как тд ср соь а — ь)п а = 530 (1р — а) СО5 Ч1 тй ср ь)п а + соь а = СО5 1Р тясрь(п (и — р)+ соь(а — (3) = то окончательно имеем: мо (1р — а) „Р 005 1р ' ' 2(1 ' со) М соь (1Р 15) С05 12 2 со5(1р — а ! са) РС1 (созя с.
~) соь 1р 2 83 Из уравнения (2) находим: Р сои а и 2 сои (а — а) Подставив найденное значение А), в уравнения 1 и 3, находим из этих уравнений (, и 5,: РР— „(Я (ср — а) + 5, =— 2А ' й сои(~Т вЂ” а+Р) ) +(яс) (, сои Р сои (~т — а) откуда А )1 (, + [й (В(а — Ч) — (.1 (В р * ТЯ рр .)" = — 11 — 1 ТЯй+(( ТЯР+1.)ТЯ(а — р)1. 1 и Глава 1Ч СИСТЕМА СНЛ„РАСПОЛОЖЕННЫХ КАК УГОДНО В ПРОСТРАНСТВЕ ф 1 МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ КАК ВЕКТОР И МОМЕНТ СИЛЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОСИ При изучении системы сил в пространстве момент силы Р относительно точки О изображается вектором, приложенным в точке О, перпендикулярным к плоскости и, в которой лежат сила Р и точка О, и направленным так, чтобы наблюдатель, смотряший с конца этого вектора на плоскость и.
видел силу Р направленной по отношению к точке О против часовой стрелки. фф Рис. 59 Рис бо Модуль этого момента равен произведению силы Р па длину перпендикуляра с(, опущенного из точки О на линию действия этой силы (рис. 59). Аналогично в виде вектора нэображается и момент пары, а именно: вектор-момент пары перпендикулярен к плоскости этой пары и направлен так, что наблюдатель, смотрящий на пару с конца этого вектора, видел направление вращения, вызываемого парой, против часовой стрелки.
Абсолютное значение момента пары равно произведению модуля одной из сил пары на плечо этой пары (рис. 60). Вектор-момент пары равен вектору-моменту одной из сил пары относительно точки при- з ь'е! Я ложения второи силы эгон пары. Кроме момента силы относительно точки, при изучении системы сил в пространстве приходится рассматриватьтакже и момент силы относительно — М той или иной оси. Моментом силы Р относительно данной оси называется алгебраическое значение момента проекции этой силы на плос- Рис. 61 кость, перпендикулярную к этой оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. Следовательно, чтобы найти момент силы Р относительно оси г, нужно спроектировать силу Р на плоскость, перпендикулярную к оси г и проведенную через произвольную точку О, лежащую на этой оси, и затем полученную проекцию ( умножить иа длину й перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия проекции Г'.
При этом произведение16 берется со знаком плюс или минус (рис. 61). Таким образом, т, (Г) = ~то (() = Нй а (28) Знак момента силы относительно данкой оси выбирается следующим образом: если наблюдатель, смотрящий с положительного конца оси, видит проекцию ~ направленной по отношению к точке О против часовой стрелки, то момент силы Р относи.
тельно этой осн считается положительным. В противном случае этот момент считается отрицательным. Поэтому на рис. 61 момент силы Р относительно оси г положителен. Из формулы (28) следует, что момент силы относительно оси г равен нулю, если 1=0, или й=0, т. е. когда сила Р " Здесь и в дальнейшем под тоЦ) понимается модуль момента вектора 3 относительно тонки О.
Вб параллельна оси либо когда линия действия этой силы пересекает данную ось. Моменты силы Р относительно трех координатных осеи х, у и г выражаются следующими формулами: т„(Р) = уЛ вЂ” г)', т, (Р) =- гХ вЂ” х7, т,(Р) =хр — уХ, (29) где К, 'г', 7 — проекции силы Р иа координатные оси, а х.
у, г — координаты точки приложении силы. Между моментом силы Г относительно данной оси и вектором моментом той же силы относительно какой-нибудь точки, лежащей на этой оси, сугцествует следующая зависимость: проекция вектора-момента силы Г относительно произвольной точки 0 па какую-либо ось, проходя цую через эту точку, равна моменту силы Р относительно этой осн, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
