Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Решение. Рассматриваем равновесие ворота. За начало координат принимаем точку А, ось р направим по оси ворота, а ось г — по вертикали вверх, т. е. параллельно силам г, ф и 6,', Рис 72 ось х направим, как указано на рис. 72. Канат мысленно разрежем н заменим его действие иа ворот силой г, равной по модулю весу груза, т. е. г'=б.
Каждую из реакций в точках А и В разлагаем на две составляющие, параллельные осям х и г, т. е. Ял=Ял+~а Рв=Яз+Хв Вычислим моменты действующкх на ворот сил относительно координатных осей. Относительно оси х: т„(Х„) т„(Х„) = 0; т~ (Р) т ф (Ру ) Ру~с Рс (Проекция силы Р на плоскость уг, перпендикулярную к оси х, показана пунктиром; очевидно, Р„= Р.) т„(Р) =т„(Р,) Р,а=Рсоза.а. (Проекция силы Р на плоскость уз показана на рисунке пунктиром; сила Р образует с плоскостью уз угол, равный углу а, а потому Р„, Рсоза.) «1 (б ) тл(6 ) б а т (ХВ) тА (Хв) Х (а+ Ь)1 „(б) = т„ду) бу, (а+ Ь+ б) б (а+ Ь+ а).
Относительно оси у: ту(Хз) =т (Хл)=т (Х ) =т (Х ) =т„(б,) = — О, ту (Р) = т (Р) Рй; ту (Р) — — тв (Р) = — Р», т„(б) тр(б) = 61. Относительно оси х: т,(Р) т,(Х„) т,(Хв) т,(Х ) т,(6,)=т,(б)=01 т,(Р) тз(Р„у) Р„а=Р соз(90' — а) а= Р тпа а; т*(~в) = тз(~в) = Хв (а+Ь) Учитывая, что Р=б, составим пять уравнений равновесия рас. сматриваемой системы снл: 1) Хз — 6 соз(90' — а)+Хв =О, 2) Х„)-Х вЂ” Р— 6,+Я-)-бсоза О, 3) Р. с + 6 сов а . а — б, а + Х (а + Ь) + б (а + Ь + Н) = — О, 4) Ря — 6»+ф=О, 5) 6 з)па а — Хв(а+Ь)-0. Из пятого уравнения имеем: Х = — 6 з1па.
а+Ь Из четвертого уравнения находим: Р = — (Ỡ— Ф) 1 з Из третьего уравнения: Хв=,+ ~б,а — — '(6» — 61) — Сасово — б (а+Ь» д)~. 109 Подставив найденные значения Хз и Яз в первые два уравнения равновесия, находим из этих уравнений Хл и Лл: о х Ь Х = 6 з1п а — Х = 6 з)па!! — — ~ = — 6 з1п а. Е = Р + 6 — Я вЂ” 6 соз а — Яз 6 1с — ~1+ — ) — — 7с А +ь7' +ь к сохо~+Я~ ь а(1+ ь)~+6 о ь' Задачи лтипа П! Рааноаесне снстены неконоланарных снл, каждан нз которых параллельна одной пз координатных осей В задачах этого типа рассматриваются только те случаи, когда три координатные оси можно выбрать так, чтобы каждая из сил, приложенных к телу, была параллельна одной из этих осей. Для системы некомпланарных и не сходящихся в одной точке сил имеем шесть уравнений равновесия (37).
Следовательно, число неизвестных в задаче на равновесие одного тела может быть равно шести. В задачах этого типа, где рассматривается равновесие тела с неподвижной осью вращения (практически наиболее часто встречающийся случай), уже нельзя считать, что цапфа или вал и подшипник при различных конструктивных его оформлениях образуют цилиндрическую пару (такое соединение, при котором возможны и повороты вала в подшипнике, и осевые перемещения), как это показано на рис. 70.
Если на тело действуют силы, не перпендикулярные к оси вала, то в подшипнике, фиксирующем вал в осевом направлении, возникает реакция, состоящая из трех компонентов, два из которых направлены перпендикулярно к оси вала и один— Рнс, 73 110 вдоль оси вала, как это показано для упорного подшипника на рис. 73, а и для подпятника — на рис. 73, 6. Поэтому, для обеспечения равновесия тела, имеющего ось вращения, должны применяться специальные устройства для устранения возможности осевого перемещения тела (упорные подшипники, подпятники, стопорные кольца и т. д.). В ряде случаев возможность поступательного перемещения тела вдоль трех осей исключается соответствующим расположением цилиндрических подшипников, не имеющих фиксирующих устройств в 'осевом направлении (рис.
73, в). В зависимости от характера связей, наложенных на несвободное тело, задачи третьего типа можно подразделить на две группы. Первая группа Задачи о равновесии тела, нмеювтего неподвижную ось вращении (задачн 277, 278) Пример 40. Массивная однородная плита, имеющая форму прямоугольного параллелепипеда, весом О, может вращаться вокруг вертикальной оси АВ. К плите в точке О прикреплен канат, пере- ! брошенный через неподвижный блок и несущий на свободном конце груз весом 9, а в точке Е приложена сила Р, паправ- ленная вдоль ребра Ь.
Система удерживается в Г равновесии при помощи пары с моментом т, приложенной к диску, закрепленному на валу АВ. Определить величину момента и, а также реакции тз подпятника А и подшип- д ника В. Размеры указаны на рис. 74. Р е ш е н н е. Рассматриваем равновесие плиты. Изобразим в виде векторов действующие на пли- Рнс. 74 ту силы Р, б и 1,1 (поСЛЕД- няя направлена вдоль каната). Так как все эти силы взаимно ортогоналы1ы, располагаем оси координат х, у и г так, чтобы каждая сила была параллельна одной из осей. Момент пары 111 изобразим в виде вектора; этот вектор направлен по оси з вниз (глядя из конца этого вектора на плоскость действия пары, мы должны видеть пару направленной против часовой стрелки).
Реакцию подпятннка разложим на составляющие Хв, Ув и Ую направленные по осям х, у и х. Учитывая, что реакция подшипника В направлена перпендикулярно к оси АВ, разлагаем ее на две составлякяцие Хв и г в, направленные вдоль осей х и у. Следовательно, в случае равновесия тела, закрепленного при помощи подпятника и подшипника, имеем пять неизвестных опорных реакций Хв, Ув, Яд, Хв, )'в. Но число уравнений равновесия, в которые входят этн неизвестные реакции, также равно пяти, так как в уравнение моментов относительно оси вращения (оси х) эти реакции не войдут (силы Х„, Ув, Хв, Ув, 24 пересекают ось г и моменты их относительно этой оси равны нулю). Искомый момент пары найдем из уравнения моментов относительно осн г.
Из рис. 74 легко определяются проекции сил Р, О и Я, приложенных в точках Е, С и Е), на выбранные координатные оси, а также координаты указанных точек: Х,=О, У,=Р, г„=О, х = — а, уз= Ь, г„=й+с; Х =О, К~=О, У~= — б, а в с 2' 2' ' 2' Х,= — (7, У,=О, К,=О, ) хо= — а, Уо=Ь, хо=с(.
1 Отсюдз т„(Р)=у 2 — в~У„= — (0+с) Р; ту (Р) О т, (Р) = хаев — увХв= — аР; т (о)=усвс зс" с= 2 б' т.(о)=хсхс хеопс'= — 2 о' т,(6) =О, т„((1) = 0; ,,(О)= х — л = — аВ т ((1) хо) о — увх = Щ т Фв)= — ")в тхйв)=ЬХв т,(Йв) О' т фв) т (Яв) т,(Я„) О. 112 Таким образом, приходим к следующим уравнениям равновесия рассматриваемой системы си.ч: )) Х,+Х,— О=О, 2) )'„+У~+Р=О, З) г„— О=О, 4) — И'в — (с -~- г() Р— — 6 = О, 5) ЬХв — 2 6 — г(О=О, 5) — аР+ ЬΠ— т = О. 1 /а Из пятого уравнения имеем: Ха= — ( — 6+ дЯ).
Л (,2 Из шестого уравнения находим: и ЬΠ— аР. 1Г Л Из четвертого уравнения: Уа — — — — ~(с+с() Р+ — 6~. Л( 2 Теперь нетрудно из первого, второго и третьего уравнений найти остальные три неизвестные величины: Х„- () — — ) Π— — 6; У„= ( — — ) ) Р+ — 6; г„= 6. Л ) 2Л ' д ~ Л ) 2Л Вторая группа Задачи в равновесии тела, нмемгцего трв цилиндрические опоры Задачи этой группы тоже имеют большое практическое значение, так как в технике часто применяется крепление узлов машины на три точки. Пример 41. Тело, имеющее форму прямоугольного параллелепипеда, опирается на три цилиндрические опоры А, В и С. К телу приложены силы Р, Я и 6 и, кроме того, в плоскостях трех граней действуют три пары с моментами т„т, и т, (направлення вращения этих пар указаны круговыми стрелками).
Расстояние ОС с, остальные размеры указаны на рисунке. Определить опорные реакции в точках А, В и С (рнс. 75). Р е ш е н и е. Выберем, как указано на рис. 75, систему координат О худ. Моменты пар, действующих на тело, изобразим в виде векторов т„т, и т„приложенных в точке О. Реакции каждого шарнира разлагаем на две составляющие, перпендикулярные к его оси и направленные параллельно двум другим осям: ~а=уз+~а' )~а=Уз+2в'. ~~ с = Хс+ ос. Таким образом, в данной задаче имеем шесть неизвестных сил: у„, й„, у„2,, х„г,. Так как число уравнений равновесия также равно шести, то задача является статически определенной.
Все силы, приложенные к телу, параллельны одной из координатных осей ыэ и определение проекций этих сил на оси координат не вызывает трудностей. При вычислении моментов этих же сил относительно координатных осей необходимо учесть, что силы Ед, Ул, Яа, Уа пересекают ось х, а силы Яс, Х, Р пересекают осьу, Рис. ?в а потому момент каждой из этих сил относительно соответствуюп1ей оси равен нулю, т.
е. т,ЯА)=т„фз)=т (Я,.)=-т (Р)=0. Кроме того, сила Р параллельна оси х, сила Ц вЂ” оси у„а сила й параллельна оси г и т„(Р) т (1;)=1и,(6)=0. Моменты остальных сил относительно осей х, у и з определяются одним из указанных выше способов (см. пример 33): „(а)= .Я)-а», ш,(6)=..Я.„)=-а., (проекция (~„т силы Я на плоскость ху на рисунке не показана, очевидно, Я„~=Я); т„Я) = — т, Я) — — Ос,; лз, (0) = — т„Я) = — 0Ь„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
