Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 16
Текст из файла (страница 16)
М' есть наименьший главный момент данной системы сил, т. е. М „, =. 200 н.см = 2 и м. Эту же задачу можно решить другим способом. После того как определим проекции на координатные оси главного вектора и главного момента, можно составить уравнения центральной осн данной системы сил: Мог Ь))г гйу) Э)су )г))к «Ю )Исг )г))р 9)гг) )'р и* Подставляя сюда значения М„„, М, М, и )т„, )тр, Я„получим: г ( — 30) 200 — ) 00 — [г ) — 30)1 0 0 — 30 откуда 3=0 и 30х — 100=0, т. е. !О х=- 3 Эти равенства показывают, что центральная ось проходит , р)о через точку О* р; 0; О) и параллельна оси у.
Чтобы найти 5'" Задачи типа 1 Равновесие пространственной системы параллельных сил (задачи 246 †25 Если все силы, приложенные к рассматриваемому твердому телу, параллельны между собой, то, направляя одну из координатных осей, например ось Ог, параллельно этим силам, имеем три уравнения равновесия: 1) ~г,=О, 2) ч~~~т„(7,) =О, 3) ~т,(Р,)=0.
(38) Рис. 69 Пример 37. Однородная прямоугольная плита весом О = 300 и подвешена горизонтально на трех вертикальных тросах. К плите подвешены грузы весом Р=200 н и О=100 н. Определить реакции тросов. Размеры в сантиметрах указаны на рис. 69. Р е ш е н и е. Изобразим в виде векторов заданные силы Р, О и О, учитывая что центр тяжести С прямоугольника нахо- 101 Остальные уравнения обращаются в тождества. Таким образом, число неизвестных в задачах этого типа не должно превышать трех.
Оси Ох и Оу, перпендикулярные к направлениям данных сил, следует выбирать так, чтобы моменты сил относительно этих осей вычнслялнсь возможно проще. днтся в точке пересечения его диагоналей, а также реакции связей Т„Т, и Т„направляя последние вдоль тросов и учитывая, что тросы могут работать только иа растяжение. Располагаем, как указано на рис. 69, координатные оси и составляем уравнения равновесия сил (заданных и реакций связей), действующих на плиту.
Так как силы Р, Я, 6, Т„ Т, и Т, параллельны оси Ог, то следует составить три уравнения равновесия в форме (38). Проекции сил Т„ Т„ Т, на ось г положительны, а проекции сил Р, О и 6 отрицательны. Кроме того, силы Т, и Т, пересекают ось х, а сила ф пересекает ось у, поэтому моменты сил Т, и Т, относительно оси х и момент силы 6 относительно оси у равны нулю. Поэтому уравнения равновесия (38) принимаю~ вид: 1) Т,+ Т,+Т,— Р— О.— 6=0, 2) т„(Р)+ т„(6)+т„(9)+ т„(Т,) =О, 3) т„(Р)+ т„(6)+т„(Т,)+ т„(Т,)=0. Сила Р лежит в плоскости, перпендикулярной к оси х, а потому (см, пример ЗЗ) и (Р) = — тх(Р) = — Р АО.
Аналогично силы 6 и Тз так же как и сила 4, лежат в пло- скости, перпендикулярной к оси х, а потому т„(6) = — и (6) = — О.Е.С, т„(6) =- — то(6) = — 6 ОЕ, т„(Т,) = и, (Т,) = Т, - ЛВ. Таким же образом вычисляем моменты сил Р, 6, Т, и Т, относительно оси у.
Для вычисления моментов силы относительно координатных осей можно также воспользоваться аналитическими формулами (29). В этом случае имеем: и. (6) =усО.— г,б„=усО.. так как 6 =О. Ноу =0,6м,6„= — 6, следовательно, т,(6)= — 0,66, тх(6)=г 6„— х,О,= — х 6 но "с=0,2 м, О,= — 6, Юз а потому лт„(6) = — 0,26.
1) Т1+Те+Тз=-600 2) 1ООТ,=25000, 3) 40Те+20Те=14000. Из второго уравнения находим Т, =250 и. Подставив это значение в первое и третье уравнения получим: Т, +Т,=350 и, 40Т, + 5000 = 14 000, откуда Т, = 225 и и Т, =!25 и. Эадачи тиаа 1! Равновесие свл, образующих систему непараллельных компланарных векторов В рассматриваемом случае одну из трех координатных осей например, ось х) располагают перпендикулярно к данным силам. Зумма проекций этих сил иа выбранную таким образом ось гождественно равна нулю (~Х,=— 0), поэтому из шести уран. нений равновесия пространственной системы сил остается только пять: Уу,.=о, ~2,=0, чР„гл„(Р,) = О, гл у ( Р ) 0 чР~гл,(Р;) =-О.
(39) Следовательно, число неизвестных в задаче на равновесие одного тела не должно превышать пяти. Обычно в задачах данного типа приходится рассматривать равновесие тела, имеющего !ОЗ Аналогично можно вычислить моменты всех остальных снл от. носительно осей х и у. 'Таким образом, уравнения равновесия перепишутся так: Т,+ Т,+ Т,— Р— Я вЂ” 0= Т, + Т,+ Т,— 600=0, — 20.200 — 50.
300 — 60. 100 + Т,100 =- О, — Т,.40+Р 40 )-0 20 — Т, 20=0, или неподвижную ось вращения. Так, например, тело может быть закреплено на валу, который опирается на два цилиндрических подшипника (рнс. 70), причем на тело действуют силы, перпендикулярные к оси вращения. Обычно подшипники конструктивно оформляются так, что препятствуют осевым перемещениям вала (рис. 70, а); применяются также упорные подшипники (рис. 70, б). Однако, если на тело действуют силы, перпендикулярные к оси вала, то вдоль этой оси никаких реакций не возникает и реакции подшипников направлены тоже перпендикулярно к оси вала, т.
е. опоры, показанные на рис. 70, а и 70, б, в рассматриваемом частном случае эквивалентны опорам, изображенным на рис. 70, в, где никаких устройств, фиксирующих вал в осевом направлении, иет. бспо беостбующое но тело соло перпеибоиулирню и оси боло то попри но росуииах а,б и б зибоболеитны Рис 70 Ось вала следует принять за одну из координатных осей например, ось х), тогда две другие оси (у и г) располагаются зерпендикулярпо к оси взла и реакция каждого подшипника разлагается на два компонента вдоль этих двух осей (см.
зис. 70). В некоторых случаях координатные оси можно выбрать гак, чтобы каждая сила, действующая иа тело, была параллельна одной из координатных осей (см. задачи ла 254 — 256, 261). Пример 38. Груз !1 опускается равномерно при помощи каната, навернутого на барабан радиуса и . На общем валу с барабаном заклинено колесо Е и торттозной шкив С радиуса г . К колесу Е приложена пара сил, тормозящая вращение вала, момент которой равен тле (силы, образующие эту пару, на рисунке не показаны, а направление ее указано круговой стрелкой). Ввиду того, что этот момент не обеспечивает равномерного спуска груза, осуществляется еще притормаживание системы при помощи колодочного тормоза, причем колодка тормоза при- * В таких случаях обычно соаорят короче.
чк колесу Я приложен тормозящий момент тж !04 жимается к тормозному шкиву силой Р. Определить эту силу, а также реакции подшипников, если коэффициент трения между колодкой и тормозным шкивом равен 1. Размеры указаны на рисунке 1рис 71). Р е ш е н и е. Рассмотрим равновесна вала с закрепленными на нем теламн. На вал, кроме реакций подшипников, дейст вуют: вертикальная сила Я натяжения каната, равная весу груза Я; вертикальная сила Р давления колодки на тормозной шкив; сила трения Р, направленная по касательной к тормозному шкиву (т. е.
в данном случае горизонтально), и, наконец, тормозящий момент 7п, который можно изобразить в виде вектора, направленного по оси вала. Рассмотрен иые силы образуют систему вертикальных и горизонтальных векторов, перпендикулярных к оси вала (силы, образующие заданную пару, можно направить параллельно оси у, или оси г, так как пару можно расположить как угодно в ее плоскости).
Поэтому, принимая точку А за начало координат, ось г направим по оси вала, а две другие оси располагаем, как указано на рисунке (горизонтально и вертикально). Учи- тывая, что реакции под- ~' шипников направлены перпендикулярно к оси Рис 71 вала, разлагаем каждую из них на два компонента вдоль осей у н г. Таким образом, получаем систему сил, расположенных параллельно плоскости уг, причем каждая из них параллельна одной из координатных осей.
Поэтому в данной задаче можно составить пять уравнений равновесия по формулам (39). При этом вычисления проекции сил на координатные оси не вызывает трудностей, Остановимся на определении моментов сил относительно этих осей. Силы Л„, 1'~, Яд, )'э и Р пересекают ось к, поэтому их моменты относительно этой оси равны нулю. Точно так же силы Уз н 24 пересекают каждую из осей у и г, а потому нх моменты относительно этих осей равны нулю. Силы Р, Я, 2 парал- аВ Зин 237З 105 лельны оси г, а силы Р и Ув параллельны оси у, поэтому тт (Р) гп (Я) тс (Ув) ' О тт (Р) ту (Ув) О Следовательно, уравнения равновесия (39) принимают вид: () гл+) в — Р=о 2) Ел+Хи — Р— Ц О, 3) т„(Р)+т„(В+ О, 4), (Р) + т, (()) + т (г ) = О, б) т,(Р)+т,()т )=О.
При составлении этих уравнений учтено, что сумма моментов сил, образующих пару, относительно какой-либо оси равна проекнин вектора-момента пары на зту ось. Поэтому тормозящий момент т вошел лишь в уравнение (3), так как вектор т проектируется на ось х в свою натуральную величину, а иа остальные две оси его проекции равны нулю. Найдем теперь моменты сил Р и Я относительно оси х; этн силы расположены в плоскостях, перпендикулярных к оси х, поэтому т„(Р) = тпс (Р) Рте и т„(ф = — т (О) = — Ят . Далее вычислим моменты сил Р, Я н Ув относительно оси у; силы Р и 7в расположены в плоскости гАх, перпендикулярной к оси у, поэтому т„(Р) =- тл (Р) =- Ра; тт (7в) = тл (Ув) — — Ев (а+ Ь + с). Чтобы вычислить момент силы сг относительно оси у, достаточно эту силу спроектировать на плоскость гАх, тогда т (4) =та Щит)=Я„,(а+с) =ГЕ(а+ с), гак как (1„,=гг' (проекция силы Я на плоскость гАх показана пунктиром).
Теперь находим моменты сил Р и )тв относительно осн г: т,(Р) = — тл (Р„) = — Р„та= — Ра, ' Силы, составляющие пару, приложенную к вороту, н верное и второе уравнении не входят, нак как сумма проекций снл пары на любую ось равна нулю. дю так как Р Р (проекция силы Р на плоскость ху показана пунктиром), т (1 в) = тл (Ув) 1 в (а+ Ь Р с). Таким образом, получим следующие пять уравнений равнове- сия рассматриваемой системы сил: 1) У'л+Уа — Р=О, 2) г„+2,— Р— Р=О, 3) Рг — с(г, + т = О, 4) Ра+Я(а+с) — 2в(а+Ь+с) =О, 5) — Ра+ )гв (а+ Ь + с) О.
К составленным выше пяти уравнениям равновесия присоеди- няется еще одно уравнение, выражающее закон Кулона: 6) Р='7Р. Из третьего уравнения находим: ! (Ф'о т)- Гс Тогда из шестого уравнения имеем: Р 1 (() ) = 7 =(гс Из четвертого уравнения: 2в — — — (Ра+ Я (а+ с)1 =. 1 ~ — ' (Я го — т) + (7 (а + с)~. где 1 = а + Ь +с. Из пятого уравнения: о 1'в= — %го — т). 1гс После етого из первого и второго уравнений нетрудно найти )гл и 2а: )А Р )В а (Ого т) ~л=~ + Я ~в=(Фо т) — +17— е+с Ь 71гс В ряде случаев координатные оси невозможно выбрать так, чтобы каждая из действующих на тело сил была параллельна одной из осей (см. задачи № 251, 257, 260, 262 †2, 266, 276, 279 †2). Тогда координатные оси следует выбрать так, чтобы наибольшее число сил удовлетворяло этому условию.
107 Пример 39. Ворот, при помощи которого поднимается груз О, удерживается в равновесии вертикальными силами Р и ф, из которых сила ф известна по модулю. Вес ворота равен 0„ радиус колеса равен г, остальные размеры указаны на рисунке. Определить модуль силы Р и реакции подшипников А и В, если угол а известен (рнс. 72).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
