Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Рис 1зз Если направления угловых скоростей и, и м, совпадают (рис. ИЗ, а), то абсолютная угловая скорость м„ направлена в ту же сторону и по модулю равна сумме их модулей: ма ми+юг (102) Если же векторы и1, и м, направлены в противоположные стороны (рис. 133, б), то абсолютная угловая скорость в, направлена в сторону большего из них и по модулю равна разности их модулей, т. е. ~а ыг и~а (103) если м„) в„ и ы, =м,— в„ (104) если в,) е„.
Еслй относительная и переносная угловые скорости образуют пару угловых скоростей, т. е. ы,=- — ы, (рис. 133, в), то распределение абсолютных скоростей а теле такое, как при поступательном движении, причем абсолютная скорость любой точки тела в данный момент равна вектору-моменту указанной пары: и=т(ы„в,); о=в, 0,0,=ы, 0,0,. ПОВ) При решении задач на сложение вращений вокруг параллельных осей часто оперируют не с модулями угловых скоростей, а с их алгебраическими величинами, которые представляют собой проекции угловых скоростей на ось, параллельную осям рассматриваемых вращений. Выбор положительного направления указанной оси произволен.
В этом случае угловые скорости одного Рис. !34 направления являются положительными, а противоположного направления — отрицательными величинами и абсолютная угловая скорость выражается в виде алгебраической суммы составляющих угловых скоростей. Пример 94. В дифференциальном механизме (рис. 134, а и б) ведущими звеньями являются колесо 1 и водило Н, несущее ось двойного сателлита 2 — 2'.
Зная угловые скорости ы, и вн колеса 1 н водила Н, а также числа зубьев всех колес, найти угловую скорость ы, колеса 3. Решение. 1-й способ !'метод Виллиса). Сущность метода заключается в сведении задачи анализа планетарных и дифференциальных механизмов к анализу обыкновенных зубчатых механизмов путем перехода от абсолютного движения звеньев рассматриваемого планетарного механизма к их относительному движению по отношению к водилу. Пусть имеем планетарный механизм, оси колес которого параллельны.
Обозначим через ы, ы„и ан алгебраические зна- чения абсолютных угловых скоростей соответственно звеньев р, т н водила Н. Для перехода к движению относительно водила сообщим мысленно всей системе вращение вокруг оси водила с угловой скоростью — аон (т. е. равной угловой скорости водила, но направленной в прямо противоположную сторону). Тогда водило остановится, и звенья р и т, на основании тео- ремы сложения вращений, получат угловые скорости ао — оон и ао,— ын. Так как при неподвижном водиле получаем обыкно- венный зубчатый механизм, звенья кэторого вращаются вокруг неподвижных осей, то к этому механизму можно применить формулу (97) для передаточных отношений, что приводит нас к так называемой формуле Виллиса: = гйо' (106) ма мн где ой,' — передаточное отношение между звеньями р и т в их движении относительно водила Н (о чем говорит верхний индекс).
Это передаточное отношение, как уже указывалось в 21, можно выразить через конструктивные н геометрические параметры механизма (числа зубьев илн радиусы начальных окружностей, находящихся в зацеплении колес). В нашей задаче применим формулу Виллиса к звеньям 1 н 8: ма — мн ан! (н! чн! =)аа = !аа' (ь, но м,— мн и! аа' г, (передаточное отношение между колесами 3 и 2' положитель- но, так как колеса име!от вн у тр еи нее зацепление); !н! ! н о, (здесь передаточное отношение отрицательно, так как колеса 2 и 1 имеют в н е ш н е е зацепление). Таким образом, оаа оан о' оои оаг откуда (ответ). Пусть, например, г,=60, г,=40, г, =20, г,=120 н, кроме того, колесо 1 и водило Н вращаются в одну сторону с углоаымк скоростями оо,=140 1!сек и оан=60 1/сек.
В этом случае оа,=60 — — (140 — 60) =60 — — 80=40 сея '. Если бы колесо 2060 ! !20 40 4 / и водило Н вращались в противоположные стороны, то угловую скорость одного нз этих звеньев необходимо было бы считать величннои положительной, а другого — отрицательнои. а Зао. 4874 В этом случае при тех же абсолютных значениях угловых скоростей звеньев ) и Н мы бы имели: в,=140 сек ', в = — 60 сек ', в,= — 60 — — (140+60)= 20 60 = — 60 — 50 = — 110 1/сек, т.
е. колесо 3 вращалось бы в ту же сторону, что и водило, тзк как знаки их угловых скоростей совпадают. Если закрепим колесо 1, то получим простой планетарный механизм. Формула Виллиса в этом случае остается в силе, надо только положить в этой формуле в,=0, что дает: ,= „(1+ — ""). 2-й способ (метод мгновенных центров скоростей). Так как звенья планетарного или дифференциального механизма с параллельными осями совершают плоскопараллельиое движение, то при анализе такого механизма можно применить теорию плоскопараллельного движения н„в частности, воспользоваться методом мгновенных центров скоростей.
Решение задачи полезно сопровождать построениями треугольников скоростей, которые обычно выносят за пределы механизма (рис. 134, е). Радиусы колес рассматриваемого механизма обозначим через )с„ Ве, И,. Тогда имеем: пх )1Р' " оз=вн(п +й,) на рис. 134, е скорость точки А касания колес! и 2 изображена в виде вектора Аа, а скорость точки  — в виде вектора ВЬ. Зная скорости точек А и В, через концы а и Ь этих скоростей проводим прямую и в пересечении этой прямой с продолжением прямой АВ в точке Р, получаем мгновенный центр скоростей сдвоенного колеса 2 — 2'.Скорость точки С касания колес 2' и 3 изобразится на рисунке вектором Сс. Зная скорость точки С колеса 8, находим угловую скорость этого колеса: "с е Я Построение треугольников скоростей и является геометрическим решением данной задачи. Для получения аналитического выражения для в, воспользуемся следующими уравнениями, вытекающими из наших построений: ох —— Я,в,=в,(Р,С+)с, +Я,), (а) из — Я, -( Й,) в„— в, (Р,С -1- Я е), (б) (в) где в,— угловая скорость колеса 2 — 2' вокруг мгновенного пентра скоростей Р,.
Вычитая из равенства (а) равенство (б), получим: ах,в, — (й, + ах,) вн = в,ах „ откуда в» = й (йаа«а (й» + йа) '«н1' 1 (г) Поделив эти равенства почленно друг иа друга, находим' й,в, Р,С+й» +й, (й, + й,) вн Р,С+ й, или й,со,— (й»+й») вн й, (й,+й,)вн Р,С+и,, откуда р О й»ой +йа)вн й,со, — (й, + й,) вн Используя равенства (з), (г) и (д), имеем: о = в, Р,О = Ф, г й,) оан — й' (~,й, — Р, + й,) а«и! й,й,.
и а й» = оанй — — (оа — вн). Отсюда ос в,= — =оа — — (в,— оа ). а=й Н йй а Н Заменив отношения радиусов отношениями чисел зубьев, получим ранее найденный ответ. ф 3. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ Если относительное и переносное движения тела яв.чяются вращательными вокруг пересекающихся осей (рис. 135), то рас. пределение абсолютных скоростей в теле в каждый данный момент такое, как при вращательном движении вокруг мгновенной оси, проходящей через точку пересечения осей составляющих вращений и направленной по диагонали параллелограмма, построенного на угловых скоростях этих вращений. Вектор абсолютной угловой скорости тела равен геометрической сумме векторов его переносной и относительной угловых скоростей: оаа ва + вн (107) Пример 95. Зная угловуюскорость <о„ водила Н планетарной конической передачи (рис.
136, а) найти относительную и абсолютную угловые скорости колеса 1, изладя .',егося з зацеплении с неподвижным колесом 2. Даны радиусы !с, и 11, колес*, а также углы 2а, и 2а, растворов их начальных конусов. Решение. Движение колеса 1 складывается из вращательного движения водила Н вокруг оси ОА, с угловой скоростью мн (переносное движение) и вращательиогодвижения вокруг оси ОА, по отношению к водилу Н с некоторой угловой скоростью етьн (относительное движение). При указанном на рис. 136, а круговой стрелкой направлении вращения водила вектор переносной угловой скорости колеса 1 направлен по оси ОА, вниз. Вектор в,и его относительной угловой скорости направлен по оси ОА,.
Мгновенная ось абсолютного движения колеса 1 совпадает с общей о образующей ОР начальных конусов колес 1 и 2, так как при работе механизма этн вта конусы должны катиться один по другому б е з с к о л ь ж е н и я, что обеспечивается соответствующей формой зубьев находящих1 ся в зацеплении конических зубчатых колес. Таким образом, вектора, абсолютной угловой ! ' скорости колеса 1 направлен по линии ОР. «та Применяя формулу (107), имеем: ~(а, твз — юн+ юли , Здесь и в дальнейшем одной чертой внизу подчеркнуты векторы, для которых известны только линии действия, двумя чертами— ~Р векторы, известные и по модулю и по направлению.
Для построения параллелограмма углоРис 135 вых скоростей, соответствующего этому векторному равенству, от центра О пересечения осей рассматриваемых вращений откладываем заданный вектор От =езн (рис. 136, а), из конца пт этого вектора проводим прямую, параллельную оси ОА, до пересечения в точке и с осью ОР абсолютного вращения и дополняем полученный треугольник Оптп до параллелограмма, для чего из точки и проводим прямую, параллельную ОА„до пересечения в точке е с осью ОА,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
