Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Векторы Ол и Оп дают соответственно искомую относительную угловую скорость от,н и абсолютную угловую скорость ю, колеса 1. Вместо построеийя параллелограмма угловых скоростей можно ограничиться построением треугольника угловых скоростей, который лучше вынести за пределы механизма (рис. !36, б). Для этого а Радиусами конических колес называют наибольшие радиусы их начальных конусов. От произвольного центра о откладываем заданный вектор оа, = вн, а из конца а, и начала о этого вектора проводим до взаимного пеРесечений в точке а, пРЯмые а,а,!! ов,н (т. е. паРаллельно оси ОА,) и оа, !!в, (т.е.
параллельно оси ОР). Стороны полученного треугольника оа,а, и выражают собой заданную и искомые угловые скорости, т. е. оа, = вн, 'а,а, = в, н! оа, =- в,. Из параллелограмма или треугольника угловых скоростей имеем: вн ~ь~ и в1 вва, в~пав мпа ' где а=а, +а,— меж осевой угол конической передачи. Отсюда относительная угловая скорость колеса 1 по отношению к водилу Н равна мппв йв в н — — —,'в = — *вн, так как в1пп, н й, ыпа,= — и з(па,= — где и, !Гв !г и ' К =ОР.
Абсолютная угловая в!и и скорость колеса 1 равна в = — и! . Модуль абсолютной угловой в!па, скорости можно определить также по теореме косинусов: ~4-'вв Рпс !За в, = )/ вн + и,'н + 2в,в,н соз а = р~1 вн+ — вн+2вн — сова = в в в в 2 я, Г и, = — н )/ 11', + К+ 2Я,Я, соз а. 1 229 Пример йб.
На ведущем валу 1 планетарной передачи с коническими колесами (рис. 1Э7, а) заклинено колесо 1, находящееся в зацеплении с колесами 2 двойных сателлитов, свободно сидящих на осях водила Н. Колесо 2 находится в зацеплении с неподвижным колесом 4, а колесо 2' — с колесом 8, заклиненным на ведомом валу 11.
Определить передаточное отношение между валами 1 и 11. Решение. 1-й способ (метод Виллиса). Обозначим через Рс„)7„Не, )с, и Рс, радиусы колес 1, 2, 2', 3, 4. Перейдем от абсолютного движейия звеньев рассматриваемого механизма к их относительному движению по отношению к водилу Н. Для етого сообщим мысленно всей системе вращение вокруг осн 1 — 11 с угловой скоростью — син.
Тогда водило, несущее ось сателлитов, остановится и мы йолучим обыкновенную коническую передачу, колеса которой вращаются вокруг неподвижных осей с угловыми скоростями си,— ы„, где р=-1, 2, 3, 4. Пользуясь методом Виллиса, установим связь между угловыми скорсстями колес 1, 8, 4 н водила Н. Так как звенья 1, 3, 4 и аз Рис 137 Н имеют общую ось вращения, то угловые скорости этих звеньев являются параллельными векторами и их можно рассматривать как алгебраические величины. Применяя формулу Виллиса к колесам 1 и 4, имеем: си~ мн 1Н) Й4 14 ии ми 77, где э,— ын и сз,— сиц — относительные угловые скорости колес ! и 4 по отношению к водилу Н.
Передаточное отношение В данном случае счи4аем отрицательным, так как колем ! и 4 прн неподвижном водиле (прн неподвижной оси колеса 2) вращаются в разные стороны (лннейные скорости точек А и В этих колес при неподвижной оси колеса 2 имеют противоположные направления). Колесо 2 здесь играет роль па р аз нтн огоо колеса, его радиус не влияет на величину передаточного отношения между колесами ! и 4. Так как абсолютная угловая скорость четвертого колеса м,=О, то нз последнего уравнения находим: (а) Применяя вторично формулу Виллиса, уже теперь к колесам 3 и 4, имеем: аг — мн (Н1 Ю~ !«а а«а мн й«8« Передаточное отношение в данном случае равно произведению двух передаточных отношений (от колеса 8 к колесу 2 н от колеса 2 к колесу 4), причем это передаточное отношение является величиной пол ож ит ель ной, так как колеса 8 и 4 при неподвижной осн колес 2 и 2' вращаются в одну сторону (линейные скорости точек В и С имеют одинаковое направле.
нне). Таким образом, Н«,Р« аэа аэн (1 э г« (б) 1+— ~«а 1ь н = 1,",' = ~ (ответ), л«'!«а 1 —— йа1«г В этой формуле отношения радиусов находящихся в зацеплении колес могут быть заменены отношениями чисел их зубьев. 2-й способ (геометрический!. Этот способ основан на построении векторных треугольников угловых скоростей. При построении указанных треугольников исходят из векторных уравнений, выражающих зависимость между угловыми скоростями звеньев рассматриваемого механизма.
Принимая движение колеса 2 за переносное движение и применяя формулу (107) к колесу ! имеем: ы«гвг «ге«г' 231 Равенства (а) н (б) выражают абсолютные угловые скорости колес ! и 8 через угловую скорость водила. Разделив равенство (а) на (б), получим передаточное отношение между ведущим н ведомым валами рассматриваемой передачи, т. е.
передаточное отношение между колесами ! и 3 при неподвижном колесе 4: где оа — абсолютная угловая скорость колеса 1, известная по модулю и направлению (что показывают две черты снизу); в,— абсолютная угловая скорость колеса 2, которая по огношеиию к колесу 1 является переносной угловой скоростью и для которой известна линия действия (что показывает одна черта снизу); о1„— относительная угловая скорость колеса 1 по отношению к колесу 2, для которой линия действия тоже известна (что показывает одна черта снизу). Вектор ы, направлен по мгновенной оси вращения колеса 2, которая совпадает с общей образующей ОВ начальных конусов колеса 2 и неподвижного колеса 4, а вектор в„— по общей образующей ОА начальных конусов колес 1 и 2 (рис. 137, а).
Для построения треугольника угловых скоростей, соответствующего последнему векторному уравнению, от произвольного центра о (рис. 137, б) откладываем заданный вектор оа,=э„ а из начала о и конца а, этого вектора проводим до взаимного пересечения в точке а, прямые оа, й ОВ и а,а, и ОА.
Тогда имеем: а,а, =о1„. Определив угловую скорость в, колеса 2, переходим к определению угловой скорости го, колеса 3. Принимая опять движение колеса 2 за переносное, имеем: ма ыз+ ою1 Вектор о1, направлен потойжеоси! — 1!, что и вектор в„а вектор в„— по общей образующей ОС колес 3 и 2'. Для построения треугольника угловых скоростей достаточно из точки а, провести прямую а,а, 11 ОС до пересечения в точке а, с прямой аа„что дает: а1а1= ю~~', Ой~ =о1с Угловую скорость вц водила и угловую скорость двойного сателлита 2 — 2' по отношению к водилу находим на основании уравнения ма= ~ни+ гозн' Вектор озц направлен по оси 1 — 1(, а вектор о1,ц — по оси ОО. Проведя из конца а, вектора а, прямую а,ан!1 ОР до пересечения в точке ац с прямой оа„имеем: оац — вц, аца, = о>,ц.
232 Искомое передаточное отношение определяется так: Оа» ииа 1а, о= — =— и»а Ояе Это передаточное отношение можно выразить также через углы растворов начальных конусов конических колес. Обозначив половины указанных углов через а„а„..., нз треугольнина оа,а, имеем." в!и 2а, ие =ы ' ваи иа 1в) Из треугольника оа,а, следует: в!и [и,— ае') Оа =0» ми а, (г) Поделив эти равенства, получим в!и 2ае в!и а, в!и а, в!и (аа — а,,) В этой формуле отношения радиусов находящихся в зацеплении колес могут быть заменены отношениями чисел их 9В Звк, 2374 233 Выражая функции углов а„а„...
через радиусы кони- ческих колес, этот ответ можно привести к виду, найденному ранее. Пример 97. В дифференциальном механизме (рис. 138) веду- щими звеньями являются колесо 1 и водило Н, несущее ось двойного сателлита 2 — 2'. Зная угловые скорости иа, и иал колеса 1 и водила Н, а также радиусы всех колес, найти угловую скорость колеса 3. Известно, что иа, м . Р е ш е н и е. 1-й способ 1'метод Виллиса). Сообщим мысленно всей системе вращение с угловой скоростью — ын. Тогда водило Н остановится, а к векторам угловых скоростей остальных звеньев механизма прибавится вектор — иа„. Рассматривая угло- вые скорости звеньев 1, Н и 3, имеющих общую ось вращения, как алгебраические величины, получаем следующее соотноше- ние между относительными угловыми скоростями колес 1 и 3 по отношению к водилу Н: ме — мн <н! не' Л» »вн ' ие ие ' Передаточное отношение между колесами 3 и 1 з их отно- сительном движении по отношению к водилу Н здесь отрица- тельно потому, что при неподвижном водиле Н эти колеса вращаются в разные стороны.
Отсюда, учитывая, что м, ~иан, имеем: и»а иа.а»+ й йй а,иап иаа) (Ответ) й» й, а~а зубьев. Если бы колесо ! и водило Н вращалось в противоположные стороны, то угловую скорость одного из этих звеньев следовало бы считать положительной, а другую — отрицательной. Знак в этом случае показывал бы, в сторону какого звена" (1 или Н1 вращается колесо 3. При решении подобных задач необходимо внимательно проследить, какой знак имеет передаточное отношение соосных пг Рис !38 звеньев в их движении по отношению к водилу. Так, например, в механизме, изображенном на рисунке 138 в, колеса 1 и у при неподвижном водиле Н вращаются в одн у сторону, следовательно, здесь, в отличие от предыдущего, 1„) О, т, е.
иго 0ь ми чн) Йа Й~ а~ — + ~.~ откуда, если, по-прежнему, ви- ы„то 2-й способ (геометрический). Решим эту же задачу при помощи векторных треугольников угловых скоростей. В данном случае мгновенная ось абсолютного движения двойного сателлита 2 — 2' заранее неизвестна, поэтому для определения его абсолютной угловой скорости в, воспользуемся двумя векторными уравнениями, приняв сначала за переносное движение вращение колеса 1, а затем — вращение водила: аз=в +в ' "|=с1н+~и Вектор а„относительной угловой скорости сателлита 2 — 2' по отношению к колесу 1 направлен по общей образуюшей ОА начальных конусов этих колес, а вектор в,„относительной угловой скорости сателлита 2 — 2' по отношеййю к водилу Н вЂ” по осн ОВ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
