Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 38
Текст из файла (страница 38)
э Следовательно, общее решение данного дифференциального уравнения выразится так: =С,е "- С,е ". Совершенно аналогично для второго дифференциального уравнения получаем: у=С,е "+С,е ". Отсюда х= — 2С,е *' — ЗС,е *', у= — 2С,е *' — ЗС,е *', данные в найденные для х, у, Подставляя начальные х и у выражения Гд — — 0; х =0; у,=30; х, =-20, у, =-10, имеем: О=С, +С,; 20= — 2С,— ЗС„ 30 = С, + С,; 10 =- — 2С, — ЗС,.
Отсюда С, =20; С,= — 20; С,=100, С, — 70. Таким образом, окончательно получаем следующие кинематические уравнении движения точки: 20 ( ы -м)1 10 (10 — ~ 7 -и) Задачи типа Ш Задачи этого типа, в которых рассматривается движение несвободной материальной точки, можно разделить иа две группы. Первая группа Задачи, в которых рассматривается движение несвободной точки по заданной неподвижной линии. В этом случае, поскольку траектория точки известна. проще воспользоваться дифференциальными уравнениями движения Рис. 147 Рис.
!48 точки в естественной форме (112); при этом необходимо учесть реакции связей, т. е. нормальную реакцию и силу трения (если трение учитывается). Пример 112. Известно, что на прямолинейном участке железнодорожного пути с углом наклона а вагон, получив некоторую начальную скорость вниз по уклону, движется затем равномерно.
Считая сопротивление движению пропорциональным нормальному давлению колес иа рельсы, определить заков движения этого вагона, если он будет двигаться вниз без начальной скорости по прямолинейному участку пути с углом наклона )3)а (рис. 147 и 148). Решение. Вагон движется поступательно под действием веса Р, нормальной реакции М и силы сопротивления Р, которая направлена по наклонной плоскости вверх, противоположно движению вагона. Сначала рассмотрим равномерное движение вагона по пути с углом наклона а. 1О* Согласно уравнениям (!10), имеем: тх= ту в!п а — г, ту = ту сов а — А!. Так как вагон движется прямолинейно и равномерно, то х=О, у=О; поэтому Ф=тусова и г =туз!па.
Согласно условию, Р = !"1т', где 1 — коэффициент сопротивления. Следовательно, тд 5|п а = !А сов а, откуда ! = 19 а. Теперь рассмотрим второй случай, когда вагон движется по участку пути с углом наклона 8. Аналогично предыдущему на основзнии уравнений (110) имеем (см. рис. 148): тх=тдв!п р — Р, ту= — тдсоз р+)у=О. Так как ускорение п1 вагона параллельно оси х (рис.
148), то п1 =у=О, поэтому !У=п1дсов)! и Р=!тдсовй, следовательно, тх= тд з!и () — ~тд сов р, илн, подставляя значение 1 и сокращая на т, получим: х = и (в!п 8 — тд а сов р), или х = — е — 51п (р — а) = соп51. аа а Следовательно„вагон движется с постоянным ускорением п1 = — ° в!п (8 — а). Поэтому по формуле для пройденного пути У при равномерно ускоренном движении без начальной скорости имеем: а!' х= — = 51п (р — а). 2 2сова Это и есть искомый закон движения вагона. Пример 113. Материальная точка весом Р=1,96 и, лежащая на горизонтальной поверхности стола, привязана к неподвижной точке О нитью длиной 1= 38 см.
Точке сообщена начальная скорость п,=4,9 м1сек, перпендикулярная к направлению натянутой нити, вследствие чего точка описывает на столе окружность (рис. 149). Найти скорость точки и силу 2бо натяжения нити через 1 сек после начала движения, если коэффициент трения 1=0,25. Решение. К данной материальной точке приложены силы: вес Р, нормальная реакция стола У, сила трения Р,и=/й! и натяжение Т нити. Составляем уравнения д движения точки в форме Эйлера (в проекциях на касательную, нормаль и бинормаль): Из последнего уравнения Рис 149 й! =- Р = тйч! следовательно, и'и т — = — )тд, откуда до = — )йчй и г = — ~81+ С. Так как и! о=о„при 1=О, то С=о,; поэтому о=о,— )ф. Прн 1=1 и при числовых данных задачи ймеем: 9 =4 9 — 0,25 9,8=2,45 м!!сея.
Иэ второго уравнения Эйлера, учитывая, что 9=1=0,35 л!, находим натяжение нити в момент 1=1 сек: иы' Рс' ! 96.2 45' Т= — = — = ' ' =3,43 н. 9! 9,35 9,8 Вторая группа Ко второй группе относятся задачи, в которых рассматривается криволинейное движение точки по данной неподвижной поверхности. В этих задачах следует составлять дифференциальные уравнения движения точки в координатной форме, учитывая при этом, кроме равнодействующей Р заданных сил, приложенных к движущейся точке, нормальную реакцию У поверхности н силу трения Р, . Поэтому дифференциальные уравнения движения точки имеют вид: (124) Если к этим уравнениям присоединить уравнение Кулона Рси =Р' где 1 — коэффициент трения, и уравнение связи (т.
е. уравнение 261 поверхности ф(х, у, г)=0, по которой перемешаетсл точка„то получим систему пяти уравнений, из которых можно определить все пять искомых величин: х, у, г, У и Р,р. Если трение отсутствует, то последние члены в правых частях уравнений (124) исчезают. Пример 114. Материальная точка М движется по гладкой наклонной плоскости с углом наклона а под действием собственного веса Р; ее начальная горизонтальная скорость о, перпендикулярна к лйнии наибольшего ската этой плоскости.
Определить движение этой точки и Х у ее траекторию, а также р .— —, реакцию наклонной плоскости (рис. 150). Решен не. Начало р координат выберем в Р,х начальном положении х. материальной точки, а оси х и у — лежащими в наклонной плоскости, Ряс. пю причем ось х — горизонтальна, а ось у — параллельна линии наибольшего ската; ось г направим по нормали к наклонной плоскости. Так как на точку М действуют сила тяжести Р, направленная по вертикали вниз, и реакция наклонной плоскости У, перпендикулярная к этой плоскости, то дифференциальные уравнения движения точки запишутся так: тх —.— Х = О, ту=У= — Р з1п а= — таяна, тг=.Л=Ж вЂ” Рсоза.
Так как точка М движется в плоскости хОу, то получим г=О (уравнение связи) и, следовательно, г=г=-0; поэтому Л' — Рсоза=О, откуда У=Рсоза, Остается проинтегрировать первые два уравнения, которые перепишем в виде. — = — тяпа. ну т Интегрируя этн уравнения, получим: х =- сопз1 = х„у — у, = — у1 яп а. Но х=-о =о,у=о =О, р рх р' ° и Оы а поэтому х =- — =- о, у = — = — н1 э1п а.
дх . ду ш " Л Отсюда, интегрируя х, = у, =- О, находим: и принимая во внимание, что у = — — з!п а. яр 2 х=о г', р Эти уравнения определяют движение точки М по наклонной плоскости. Исключая отсюда параметр Г, находим траекторию этой точки: у ма а у= — „х. 2ри Это — парабола, расположенная под осью Ох. Посмотрим теперь, как изменится решение этой задачи, если учесть силу трения между материальной точкой и наклонной плоскостью, равную Ррр 1Л ~ где 1 — коэффициент трения. Третье дифференпнальное уравнение движения точки М (относящееся к оси г) остается, очевидно, беэ изменения; поэтому М= Р сова и, следовательно, Р,„=1Рсоэа=сопэ1, Так как сила трения направлена противоположно скорости о, то Р,„= — ~Рсоза — ", .
Отсюда Р„„= — ~Р соэ а — ' = — гР соэ а— р,, х 0 р рр Д Р,р„= — ~Р соэ а — ' = — ~Р соз а —. 0 и Следовательно, дифференциальные уравнения движения точки М в плоскости хОу после сокрашения на т имеют вид: х = — Гисоэ а —, у = — и з1п а — Гусоэа —. У 263 Интегрирование этих дифференциальных уравнений можно выполнить, пользуясь приближенными методами. Пример 115. Тяжелая материальная частица массы и движется по внутренней поверхности шероховатога круглого цилиндра х* )-д' — )г'=О, Коэффициент трения между частицей и цилиндром равен и.
В начальный момент частица находится на оси Ох и получает скорость о„перпендикулярную к оси Ох и составляющу!о с плоскостью хОу угол а. Составить дифференциальные уравне+-' ния движения частицы и определить ее давление на связь. Проинтегрировать по! лученные уравнения в слу! ! й чае гладкой поверхности л7 ! (А =О) (рис. 151).
! ! Решение, Частица М М (х, у, г) движется под дейстанем трех сил: веса Р, направленного по вертикали гз~ вниз, нормальной реакции ЛТ цилиндра, направленной по внутренней нормали к его поверхности, и силы Г трения г'„, направленной Х противоположно вектору рис, !з! скорости о. Найдем проекции этих сил на каждую из трех координатных осей: Р„=Р,=(); Р,= — глй; лг,=О! л!„= — л!соз р! й),= — й! з!и!р, где <р — угол, образуемый с осью Ох проекцией радиуса-вектора точки М на плоскость хОйс Так как соз~р= й, з!п!р= — ", то А' ' !у = — )у —, м,,= — л! — "- х й ' т Г Далее имеем: где — — единичный вектор скорости.
Отсюда Следовательно, уравнения (124) принимают вид: 1) тх= — У вЂ”" — АУ вЂ”; ) 3) тг= — йУ вЂ” „— тп. (а) Присоединяя к этим уравнениям уравнение связи х' + у' — )г' = О, (б) мы получили систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными х, у, г и У. Продифференцируем дважды уравнение связи: хх+уд = О. (в) х' + хх + у' + уу = О. (г) Умиожим первое из уравнений (а) на х, второе — иа у и сложим их почлеино: т ( хх + уу ) = — У)г — — У ( хх + ду ). Учитывая соотношения (в) и (г), получим: У= — — (хх +дд), у или У= — (х'+ у'). (е) Подставляя найденное значение У в уравнения (а), получим систему нелинейных дифференциальных уравнений, содержаших координаты х, д и г, а также первые и вторые производные от этих координат по времени, Так как решение этой системы дифференциальных уравнений представляет собой сложную математическую задачу, то рассмотрим частный случай, когда поверхность цилиндра гладкая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
