Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 42
Текст из файла (страница 42)
р е ш е н и е. Координатные оси располагаем в плоскости движения тела, причем ось х направляем горизонтально, а ось Рис 164 р — вертикально вверх. Составим уравнение, выражающее изменение проекции количества движения на ось р: ь гпо — тп =5 = — ~( Рй= — тд~~ г(1= — тдГ, ьу оу у — и а 0 но э, =0 (в наивысшей точке скорость тела горизонтальна), и,иии, и о, =и, ып а„а потому г',= Вторая группа В этом случае сила Р, а следовательно, и ее проекции на координатные оси являются известными функциями времени, т.е.
Х = Е, (1); У = Р, (1); 2 = 1, (1). Теорема о количестве движения применяется здесь в конечной форме (147). Выполняя интегрирование, находим из этих уравнений проекции скорости, а затем и скорость и. Пример 126, На материальную точку массой гл = 2 кг действует сила, проекции которой на координатные оси равны: Х = 6 соз 21; К=был 26 Я= — 6 ып21 (сила выражена в и, время 1 — в сек).
287 5„= ~ Х 1й = 6 ~ соз (2() е(( = 3 ~ з!и 2( ( = О, 11 5„=~ УШ=б) з1п(20Ф= — З~соз2(( = — бнсек. Так как Е отличается от у' только знаком, то З,=Он сек. Далее на основании уравнений (!47) получаем: то,„— то,„=Ю =О, — =3 =- — б, 1У 1У У то„— то„=Я =б.
1 Отсюда при т=2 находим проекции искомой скорости: О1У О1У и =о — 3, и11 о11+ 3. Так как =и, ° соз30'=$' 3, = и, соз 60' = 1, =о, соз90'=О, и11 то о,„=')У 3, и, = — 2 о„= 3. Следовательно, о, = У' ов~ + о1е + о~ = У' 1б = 4 м,(сек. Определить скорость о, точки в момент г,=я=3,14 сек, если в момент г = — сек ее скорость о, равна по модулю 1 2 2 м)сек и составляет с координатными осями к, у, а углы, равные соответственно 30', 60' и 90'.
Решение. Так как проекция силы на координатные оси являются функциями времени, то теорему о количестве движения можно применить в конечной форме (147). Для етого вычислим сначала проекции на координатные оси импульса действуюшей силы за промежуток времени от момента 1, до момента 1,: Если углы вектора и, с координатными осями обозначим я, р, у, о соз о =- — '" = — = О, 4330, о,„у 3 и, 1 сов~ = — "'г= — 0,5, ь, соз у = — '* = 0,75. ь, Отсюда о=-54'30', р = 120', у=48'30'.
Третья группа В этом случае проекция силы на каждую из трех координатных осей является линейной функцией проекции скорости на ту же ось, и теорему о количестве движения применяют в форме (146). гга Ка 1акс 1аа Прежде чем интегрировать уравнения (146), надо разделить переменные, для чего достаточно эти уравнения разделить соответственно на Х, У, 2; последующее решение аналогично решению в случае прямолинейного движения точки под действием силы, зависящей от скорости. Пример 127. Решить пример 125, учитывая сопротивление воздуха, величина которого выражается формулой 1т =йР и, где й — постоянный коэффициент, Р— вес тела„и — его скорость (рис.
165). Р е ш е н и е. Координатные оси располагаем так же, как в примере 125 (см. рис. 164). Так как на тело действует сила, которая является функцией скорости, то теорему о проекции количества движения на ось у применяем в дифференциальной форме 4((ти ) = 7'4441 11 зак. 2374 289 но )У = — Р— Р, з1п а = — Р (1 + йо з(п а) = — Р (1 + йо ). Следовательно„ тдоу= — тд(1 + йо ) Л, откуда й= — — д —. а!и д(!+ли ) ' Учитывая, что о изменяется в пределах от о, з!па, до нуля, имеем: а — — л~ — = — ~ 1и (1 + аоу) 1 а, ааи аа "у ! = — 1п (1+ до, з(п а,).
Эадачи типа Ш В задачах этого типа известно количество движения точки в начальный и конечный моменты, а следовательно, и его проекции на координатные оси. Проекции искомого импульса силы определяются по формулам (147), т. е. Я„= то„— то,„, ~у !но то а у ау' 5, =- то, — то„. По этим проекциям находятся модуль и направление импульса Я. Пример 128. Материальная точка М перемещается по шероховатому криволинейному желобу, расположенному и верти. кальной плоскости хОд, под действием собственного веса Р. Угол трения равен ар. Начальная скорость этой точки, когда она занимает положение А, составляет с вертикальной осью ! ' Оу уго,п а и по модулю равна о„ а ее конечная скорость в 1' .
Гу точке В направлена по горизон- тальной оси Ох и по модулю +' — — '--- 3 т 'р, „„равна о. Найти импульс нор- ,в — мальной реакции А' желоба за Рис, !бб промежуток времени Г, в те- чение которого точка М переместилась из А в В (рис. 166). Решение. Применим теорему о количестве движения ма- териальной точки в форме (147): Ф т (о„— о,„) = ~ Х г((, а т(о„— о, ) = ~ 'г'с(!.
о Х=Р +У +Р э=У +Рп Р +У +Рта Р+У т Рч Кроме того, имеем: Ртр = ~У, где ! — коэффициент трения, 1=!о<р. Если угол силы У с осью х обозначим (1, то У„=Усозр, У„=Уз!пр, Р„'э= — Р'э з!п р= — 7Уз1п и= = — ~У~, Р;,э = Р'г. соз () = 7У соз р = 7У„. Следовательно, уравнения (147) принимают вид: ! т(о — о, з(па) = )Г У„й — !'~ У й, о а 1 то, соз а = ~ У Л -т ) ~ У„г(! — Р!. Так как ) У„г(Е =5, 1 У„Л =-5„и о о импульса 5 силы У на оси где 5„, 5 — проекции искомого хну,то: 5,— ~г5„= и (о — о, з)п а), )5„+ 5 =то,сова+ Р(=т(о, сова+у!). Иэ этих уравнений можно найти 5, и 5 и затем по этим проекциям вычислить импульс 5.
Но проще возвести эти урав- нения в квадрат и сложить их. Тогда получим: (1 + (-') (5„'+ 5 ) = ог 1(о — о, з(п а)' + (111+ о, соз а)'). Отсюда, замечая, что 5,'-1- 5„* 5' и 1+1 -1+!К' р=,— „,',, 29! Здесь Х и К вЂ” проекции на оси х и у равнодействуюц!ей всех сил, приложенных к точке М, т. е. сил Р, У и силы трения Р~ э ° П о этом у находим: о=тсозф Р созф Ы ~/(о — и, з1п а)'+ (и(+ и, сои а)* = (в — ря Мп а)'+ (и( + п, соз а)* .
Таблнпз !6 Класснфикапия задач 1птппы Типы 2 я ! я Постоянная сила (задачи 733, 734, 737, 743) Постоянная сила Сила, зависящая от времени $2. ТЕОРЕМА О МОМЕНТЕ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ Момент количества движения материальной точки то относительно некоторого центра О равен векторному произведению радиуса-вектора движущейся точки г на количество движения тп, т. е. лт, (и(о) г х зпо. (153) Очевидно, что модуль момента количества движения равен ~лз,(лто) ~ той, (154) !де А — плечо вектора о относительно центра О (рис. 167). Проектируя векторное равенство (!53) на координатные оси, проходящие через центр О, получаем формулы для моментов количества движения материальной точки относительно зтих Определение времени илн ско.
рости при прямолинейном движении точки Определение времени или скорости при криволинейном движении точки Определение импульса силы по изменению количества движении (задачи 741, 744) Сила, чавнсящая от времени (задача 694, 698) Сила, зависящая от скорости (задачи 687, 691, 696) Движение точки в сопротивлиющейся среде гнч (тгг) = гн (уг — гу)', ту (та) = т (2Х вЂ” Хг); т,(пго) =ху — ух. (155) В векторной форме теорема о моменте количества движения выражается так: производная по времени от момента количества движения мипгериальной пючки относипгельно какого-либо неподвижного центра О равна моменту действу«и<ей силы относительно того же центра, т. е. лг то (т") = то (р) (! 56) Проектируя векторное равенство (156) на какую-либо из координатных осей, проходящих через центр О, получаем уравнение, выражающее ту же теорему в скалярной форме: — т„(ало) = т„(Р), (157) т.
е. производная по времени от момента количеспгва движении материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси ар ст гч тв /т'Уг' х С Рис 1б7 Рис !бь равна моменту действующей силы относительно той же оси. Эта теорема имеет большое значение при решении задач в случае движения точки под действием центральной силы Центральной силой называется такая сила, линия действия которой все время проходит через одну и ту же точку, называемую центром втой силы. Если материальная точка движется под действием центральной силы Р с центром в точке О, то „вЂ”, т, (то) .= т,(Г) = О, и, следовательно, т,(то) =сапа(. Таким образом, момент количества движения в данном случае остается постоянным по модулю н по направлению. Отсюда следует, что материальная точка под действием центра.пьной силы описывает плоскую 292 кривую, расположенную в плоскости, проходящей через центр силы.
Если известна траектория, которую описывает точка под действием центральной силы, то, пользуясь теоремой о моменте количества движения, можно найти эту силу как функцию расстояния г от точки до центра силы. Действительно, так как момент количества движения относительно центра силы остается постоянным, то, обозначая й плечо вектора ти относительно центра силы, имеем: пй = сопз(. (158) Для определения этой постоянной должна быть известна скорость точки в каком-либо месте траектории.
С другой стороны, имеем (рис. 168); тэ' г" =Р з(п ф= —, В с где о — радиус кривизны траектории, гг — угол между радиусом- вектором точки и касательной к траектории в этой точке. Отсюда !" о Итак, имеем два уравнения (158) и (159) с двумя неизвестными п и Р; остзльиые величн- — м ны, входящие в эти уравнения, т. е. Ь, 9 и ~р, являясь элементами заданной траектории, легко могут быть найдены.
Таким образом, можно найти о и г" как функции г. Пример 129. Точка М описывает эллипс под действием центральной силы г" (рнс. 169). Скорость в вершине А равна о,. Найти скорость о в вершине В, если ОАс а и ОВ=Ь. Р е ш е н н е. Так как в данном случае и,(тэ) =сонэ(, то тэЬ =то„а, откуда и= — п,. Пример 130. Точка М массы гл описывает окружность радиуса а, пригягиваясь точкой А этой окружности (рис. 170). В начальный момент точка находится в положении В и имеет скорость о,. Определить скорость о точки н силу притяжения г" как функпнн радиуса-вектора г. Решен ие.
Так как т,(Г) =О, то т„(то) = сопз( = т„(то,), следовательно, 7пой = п7о,2п; откуда Но из рисунка имеем: г = 2а сов(90' — а) =2а з(п а, ы й е г з(п а = — и, следовательно, 2я l откуда з)п а = —, поэтому 2и 4аеча о= — '. Рис ! 70 Силу г" находим, пользуясь уравнением (159): иэ мч )с = г" 41 и о = — = —, п а отсюда тэ' т !6а'э' 2а 32та'э' О о г — —. амза а ы В з.
Рднотл и мощность Работа йА силы на бесконечно малом перемептеиии йз, называемая элементарной работой, выражается формулой ЛА =г сова йз=р, йэ, (160) где йэ= — ММ„а — угол между силой г' н скоростью о точки ее приложения (рис. 171), или в виде скалярного произведения: йА =-Г й', (161) 295 где йг = оп7' — дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
