Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Выражая это скалярное произведение через проекции векторов Р и йг на координатные оси, получаем аналитическое выражение элементарной работы: йА = Хйх+ Уйу+ Жг, где Х, У, Я вЂ” проекции силы иа координатные оси, Нх, йу, йг — бесконечно малые изменения (дифференциалы) координат !' точки приложения силы при элементарном переме! щении этой точки у Если сила Р приложена к твердому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси г, то йА = т, (Р) й р, (163) —.— и где а р — элементарный угол поворота тела вокруг оси. Если к телу, имеющему неподвижную ось вращения Ог приложена пара сил с моментом т, то элементарная работа этой пары выражается следующим образом: йА =т, йр, Рис !71 где т,— проекция вектора — момента пары на ось Ог Особый интерес представляет случай, когда сила является функцией координат точки и, кроме того, дХ дк дУ дЛ д~ дХ дв дх ' Ж дв ' Йх дх (164) В этом случае существует такая функция координат (7= =0(х, у, г), частные производные которой по координатам равны проекциям силы на соответствующие координатные осн, т.
е. (165) Такая функция называется силовой, или потенциальной, функцией. Таким образом, если существует силовая функция, то аА = — йх+ — ау+ — йг = й(/, д17 д17 ду дх ду дг (166) т. е. влехлентарнал работа силы равна полному дифференциалу силовой функции. Ограниченная или неограниченная часть про- А = )Г Рсоа а сЬ= )г Р,йз, (168) где з, и э — значения дуговой координаты, соответствующие положениям М, и М точки приложения силы, Р, — проекция силы на касательнуо к траектории этой точки.
Если постоянная по модулю сила образует с прямой, по которой движется ее точка приложения, постоянный угол а, то А = Ро сова. (169) В частном сл)чае, когда точка М движется по прямой под действием постоянной снлы Р, направленной по той же прям(>й в сторону движения или против движения, то соответственно имеем: А=+ Ро, или А= — Ро, (170) где о — путь пройденный точкой.
Если при вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси момент приложенной к нему силы является функцией угла (р поворота тела, т. е. т, (Р) = 7 (в), то А = ~ т,(Р)с(ч(. Фе Аналогично определяется работа пары сил: А = ~ т,и(р. (171) (172) 297 (1В 31к 2374 странства, где проявляется действие силы, имеющей силовую функцию, называется силовым потен((иальн(ям полем. Геометрическое место точек силового потенциального поля, в которых силовая функция сохраняет постоянное зяачение, называется аквипотеи((иальной поверхностью, или поверхностью уровня.
Работа А силы Р на конечном пути определяется как предел суммы элементарных работ и выражается в виде криволинейного интеграла, взятого вдоль дуги М,М траектории от точки М, до точки М (М! (М( О(5 А = ~ Рсоза((э= ~ Р ((г = ~ (Хйх+Юу+Ъ1е). (167) (м,( (М ~ (М,5 Если произведение Рсоза выражается известной функцией дуговой координаты з точки приложения силы, то переменной интегрирования является эта величина з и формула для вычисления работы принимает вид в Работа силы, имеющей потенциальную функцию, на конечном перемещении выражается разностью значений втой функции в конечной н начальной точках пути: ~м> А= ~ йи-и — и„ (173) (и ! т.
е. в этом случае работа силы не зависит от кривой, по которой перемещается точка М, а зависит лишь от напального и конечного ее положений. При изучении движения материальной точки в силовом потенциальном поле весьма большое значение имеет понятие потенциальной энергии.
Потенциальная энергия материальной точки представляет собой особый вид энергии, которым обладает точка, находящаяся в силовом потенциальном поле. Потенциальная энергия П равна работе, которую совершила бы сила поля при перемещении точки ее приложения из данного положения М (х, у, г) в положение М"'(х">, у"', г"'), принятое за нулевое„т. е. п=и' — и, (174) откуда дп = — йи = — йА. (175) Работа силы иа конечном пути через потенциальную энергию выражается так: А =П,— П (176) Если на точку действует несколько сил, то работа равнодействующей зтих сил на каком-либо пути равна сумме работ составляющих сил на том же пути.
В технической системе единиц работа измеряется в килограмм-метрах (кГм). В Международной системе единиц единицей работы является 1 джоуль=1 н.м. =0,102 кГм. Мощность У характеризует быстроту, с которой совершается работа, и в общем случае определяется как производная от работы по времени' ь'л Ф= — =ссоза о=у о, й т. е. мощность равна скалярному произведению вектора силы иа вектор скорости.
Еспи работа А производится равномерно, то мощность определяется так: У= —, А (! 78) где 1 — время, в течение которого произведена работа. Таким образом, в этом частном случае мощность численно равна работе, производимой в единицу времени. Прн вращательном движении твердого тела вокруг неподвижной оси ги )Ч М,со, (179) где М,=~т,(Р) — главный момент приложенных к телу сил относительно оси вращения, от — угловая скорость тела. В технической системе единиц мощность измеряется а кГм!сек или в лошадиных силах, причем 1 я. с.
75 кГм)сек В Международной системе единиц единицей мощности является 1 вт=1 дж~сек или 1 кот=!000 вт=102 кГм)сек. При решении задач на вычисление работы и мощности часто используют коэффициент полезного действия. Коэффициентом полезного действия т) называется отношенив полезной работы или мощности е к работе или мощности движущих сил: ') =л"-Я'. Ао (180) и л Так как вследствие вредных сопротивлений А„~ А„, то т) ='.1. При вычислении работы нужно различать следующие случаи. !. Прямолинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы, в задачах такого типа применяются формулы (169) и (170) (задачи 756, 762). 2. Прямолинейное движение под действием силы, проекция которой на направление прямолинейной траектории является функцией расстояния точки от некоторого неподвижного центра на этой прямой (задача № 768), в задачах этого типа применяется формула (167), которая, если направить ось х по траектории точки, принимает вид л А = ~ Х йх.
(181) 3. Криволинейное движение под действием постоянной по модулю и направлению силы, в этом случае можно использовать формулу (167). 4. Криволинейное движение под действием силы, которая является функцией координат точки приложеяия силы. Здесь определение работы сводится к вычислению криволинейного интеграла по формуле (167). Еспи в рассматриваемом случае существует силовая функция, то работу определяют по формуле (173) или (176).
' Если мощиость оыяисляется по формуле (178) 11Ве 5. Вращательное движение твердого тела под действием постоянного момента или момента, являющегося функцией угла поворота тела; в этом случае для вычисления работы применяется формула (171). Для вычисления мощности в зависимости от характера движения пользуемся формулой(177) при прямолинейном или криволинейном движеним точки приложения силы (задачи 760, 764), пли формулой (179) — в случае вращательного движения твердого тела (задачи 771, 772, 765). Среднюю мощность можно определять по формуле (178). Пример 131. Вдоль тяги, прн помощи которой тянут вагончик по горизонтальному пути, действует постоянная сила Р =250 и (рис.
172). Тяга образует с горизонтом угол а =32'. Определить работу, совершенную силой Р на пути а=200 м. Решение. Здесь работу определяем по формуле (169): А = Рп соз а = 250 200 0,848 = 4240 дж. Пример 132. Тело весом Р= 20 н передвигают по горизонтальному полу при помощи горизонтальной силы на расстояние и= 6 м. Определить работу, ко- Г торую совершит при этом сила трения, ес.пи коэффициент трения между поверхностью тела и полом ~=0,35. Решение. Согласно закону Кулона, сила трения Р,р — ~У, где У вЂ” нормальное давление тела на поверхность пола, причем в данном случае )Ч = Р = 20 н.
Так как сила трения направлена в сторону, противоположную движению, то работа этой силы отрицательна: А,р —— — 7РО= — 0,35 20 6 = — 42 дат. Пример 133. Найти работу силы тяжести при перемещении материальной точки из положения М,(х„д„г,) в положение М(х, у, г), а также вычислить потенциальную энергию точки в положении М (рис. 173). Решение.
Направляя ось г вертикально вверх, имеем: Х=0; У=о;г= — Р, где Р— вес тела. Следовательно, по формуле (162) ДА = — Рс(г, откуда (182) 300 А = — ) Рг(а = — Р (г — г,) Р (а,— г), «« П=Рг+С, где С вЂ” произвольная постоянная интегрирования е. Пример 134. Определить работу силы упругости растянутогс стержня, к концу которого подвешен груз М, прн перемещении этого груза из положения М, в положение М, если длина недеформйрованного стержня равна вычислить также потенциальную энергию точки в положении М (рис.
174), Решение. Обозначив силу упругости Р и направив ось х по вертикали вниз, имеем: « Рнс. !74 Рис !73 где х — удлинение стержня, с — его жесткость. Следовательно, йА = Х йх = — сх ах, А = — ) сх йх = — — (х — х ), с «« 2 ч «« йП= — йА =схйх, (184) отсюда П= — х'+С.
2 (! 85) " Обычно потенциальная энергия определяется с точностью до произвольной постоянной„т. е. в выражении потенциальной энергии произвольную постоянную отбрасывают, так как при решении задач приходится иметь дело или с дифференциалами и производными от потенциальной энергии, или с разностью значений потенциальной энергии для двух положений точки или системы. 301 т. е.
работа силы тяэкести равна произведению веса материальной точки на разность ее высот в начальном и конечном полозсениях, причем эти высоты отсчитываются от произвольно выбранной горизонтальной плоскости. Потенциальную энергию точки определим на основании формулы (175): йП вЂ” йА = Рйг. (183) Отсюда Пример 136. На материальную точку действует сила, проекции которой иа координатные оси выражаются так: Х = 2х+ у, г' х+ г', Л = 2уг+ 1, Определить работу этой силы при перемещении точки из положения М,(1; 2; 3) в положение М,(2, 3, 4), если сила выражена в н, а координаты — в см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
