Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Решение. Выясним прежде всего, существует ли в данном случае силовая функция: для этого находим частные производные: —, =- 1, д— —— 1; — = 2г, — =- 2г дХ а'я' дк дх — =О; — =О. дх дХ дя ' дя Отсюда получаем, что ах а1 ау аг аг ах ду ая'дя ду' дя дя т. е. условия (164) выполияктся, и силовая функция существует. Полный дифференциал этой функции равен элементарной работе, т. е. оУ=ЛА. Элементарную работу находим по формуле с(А Хс(х+)яду+Ъ(2 или, подставляя значения Х, У, Я: ЙА = (2х+ у) с(х+ (х+ г') 4у+ (2уг+ 1) бг = = 2хс~х+ уйх+ хоу+ ХЧу+ 2угг)г+ бг.
Это выражение действительно является полным дифференциалом ЙА = с((х')+д (ху)+б (уг*)+Й(2) =6(х'+ху+уг'+2). Итак, ЙУ = Д (х + Ху + у2 + 2). Отсюда У = х' + ху+ уг' + г + С. Значения функции У в точках М, и М равны: У,=1+1 2+2 3'+3+С= 24+С, У,=2'-+2 3-1-3 4'+4+С=62+С. Следовательно, искомая работа равна А У,— У, 62 — 24=38 и см.
Пример 136. Определить работу центральной силы, модуль которой является функцией расстояния материальной точки от центра этой силы, т. е. Р=~(г) (рис. 175). аоа Р е ше н и е. В данном случае единичный вектор силы Р равен т -ь-, причем знак (+ нли — ) выбирается в зависимости от того, отталкивается от центра силы или притягивается к нему точка М. Таким образом, вектор силы Р выразится так: Р= й.~(т) —,. тт Отсюда, пользуясь формулой (16!), имеем: бА = Р й = ~Нт) — 'й. Но т т= т*. 0 Следовательно, .г т Ь'=т дт, откуда Л ~ -(-); — = ~= 1(т) "т, т.
е. элементарная работа является полным дифференциалом н, значит, существует силовая функция, причем дУ =дА = 1-1(т) й', Рис !тб отсюда У = ~ ~ 7' (т) Нт. Итак, в данном случае имеем общую формулу, по которой сразу можем определить силовую функцию в зависимости от радиуса- вектора точки приложения силы, а затем вычислить работу силы при перемещении этой точки из положения М,(т,) в поло жение М (т) Г А = У вЂ” У, = У (т) — У (т,) = ) ~- ~(т) й. (186) г Р=с(т — 7,) =1(т). зоэ Пример !37. Один конец пружины закреплен шарнирно в точке О, а к другому концу ее прикреплен шарик Длина нерастянутой пружины — 1,, жесткость ее — с.
Шарик переме. шают из положения М, в положение М„причем пружина растянута и не изгибается. Определить работу силы упругости пружины, если ом,=, и ом,=, (рис. 176) Решение. Модуль снлы упругости пружины в данном случае выражается так Следовательно, можно воспользоваться формулой (186): Знак минус перед интегралом стоит потому, что сила пр итя г и вает шарик к центру О. Пример 138. Колесо радиуса )т катится без скольжения по горизонтальному рельсу. Найти работу трения качения при перемещении центра колеса на расстояние э, если вертикальная нагрузка на ось колеса равна Р и коэффициент трения качения ~э (рис.
177). м ттэ761 Р Ряс. 176 Рис 177 Решение. Трение качения возникает, как известно, вследствие деформаций колеса и рельса. Момент пары трения качения по закону Кулона будет равен Мэ=1Ф=1л' . Так как эта пара стремится повернуть колесо в направлении, противоположном его вращению, то работа трения качения будет отрицательна и равна произведению постоянного момента )И на угол поворота ф колеса (по формуле (172)1: А.= — М ср= — 1„Р~р. При качении колеса без скольжения имеем: э=77~р.
Следовательно, Пример 139, К валу длиною 1, один конец которого закреплен жестко, приложен на свободном конце крутящий момент, который заставляет вал испытывать деформацию кручения. Определить работу возникающих при этом сил упругости, если суммарный момент упругих сил пропорционален углу закручивания, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент 304 жесткости вала на кручение) равен с.
Определить также потенциальную энергию этого вала в зависимости от угла закручивания (рис. 178). Решен ие. Момент сил упругости выражается формулой А4 „= — с~р. 6тсюда, на основании формулы (172), имеем: с(А =бУ = — сэйр. Следовательно А = — ) с<рйр = — — (~р' — р',). 2 Для потенциальной энергии имеем: дП = — Ж = с~р йр, а потому с~р' П= —, +С. 2 Пример 140. Для определения натяжений 5, и 5, ветвей конвейерной ленты привод А конвейера установлен иа катки и включен динамометр В между приводом и неподвижной стойкой С, Определить натяжения 5, и 5„ если показание динамометра равно Р (в ньютонах), диаметр приводного барабана с(, потребляемая электродвигателем привода мощность равна Ш и приводной барабан делает п оборотов в минуту (рис. !79).
с В й уар Рис 178 Р ис 179 Ре шеи и е. Рассматривая равновесие действующих на привод сил и пренебрегая трением между катками и опорной плоскостью, имеем: ч ,'Х= 5, +5,— Р =-О, откуда 5, +5,=Р. (а) Так как привод барабана вращается равномерно, то вращаю- щий момент на валу двигателя„очевидно, определится так: но на основании формулы (179), мощность двигателя яя Мвр~ 80 Мвр' Отсюда 1ОЛ М вр е и, следовательно, 101'в 2 5 — В =— п Решая совместно уравнения (а) и (б), находим: 8,= — ', +10 — „, 3, = — — 10 —. Пример 141. Найти мощность машины, поднимающей 100 раз в минуту молот весом Р =9000 н на высоту «=0,6 м, если коэффициент полезного действия Ч= 0,8.
Решение. Находим полезную работу за 1 мин: А.= Р 6 100=9000 100 0,6=540 000 дж. Теперь по формуле (1?8) находим полезную мощность: А„540 ООО Ф = —" — =9000 от=9 ко«ь в 1 80 Далее, пользуясь формулой (180), определяем искомую мощность двигателя: 1тв 9 Ф= —" = — = 11,25 квт. ч 0,8 Классификация задач данного параграфа приведена в табл. 17.
й 4. тВОРВ84Д О 1(ниитив4ЕСКОй ЗИНРГНИ ааатиниаЛЬ)409 тОЧКН Гмрвз 1) й( — ) =ГсозасЬ=йА, 2 ) (187) т. е, дифференциал кинетической энергии материальной точки равен элементарной работе силы, действуюи4ей на эту «ючку; 2),— (-й-) в1- Ф, (188) т, е. производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна мощности силы, действующей на эту Кинетическая энергия материальной точки выражается половиной произведения массы этой точки на квадрат ее скорости. Теорему о кинетической энергии материальной точки можно выразить в трех видах: точку; <ло мо«<ио 3) — — — ' 1 Рсоэа<(з, 2 <ма (189) т. е. изменение кинетической энергии материальной точки на конечном пути М,М росно работе силы, дейстеуюи(ей на точку на том асе пути.
Табл ипа 17 Классификация задач Типы Группы (прямолинейное двнженив) (криволинейное движение) 1-я Действующая сила постоянна (р сопз<) Действующая сила постоянна (г =сонэ<). Задачи 756 — 764, 766 2-я Если иа точку действует несколько снл, то в правые части уравнений (187) †(189) входит работа или мощность равнодействующей этих сил, которая равна сумме работ или мощностей всех составляющих сил. В случае прямолинейного движения точки, направляя ось х по прямой, по которой движется точка, имеем: й( — ) Х<(х (! 90) à — — — Х <(х, 2 .) (191) где Х= ~ Р, так как в этом случае равнодействующая всех приложенных к точке сил направлена по оси х. 307 Действующая сила зависит от положения точки приложения силы [Р=) («)) Задачи 768, 790(вычисление потенциальной энергии), 769, 784 Действующая сила зависит от координат точки цриложения силы (Р=Р(«у, з)).
Задачи 770, 788(вычисление работы) Ш (вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси) Вращающий момент постоянный. Задачи 755, 765, 767, 771, 772 Вращающий момент зависит от угла поворота тела Применяя теорему о кинетической энергии в случае несвободного движения материальной точки, нужно иметь в виду следующее: если на точку наложена совершенная стационарная связь (точка движется по абсолютно гладкой неподвижной поверхности или линии), то реакция связи в уравнения не входит, лбо эта реакция направлена по нормали к траектории точки и, следовательно, ее работа равна нулю. Если же приходится учитывать трение, то в уравнение кинетической энергии войдет работа или мощность силы трения.
Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на два основных типа. 1. Задачи на применение теоремы о кинетической энергии при прямолинейном движении точки. П. Задачи иа примеивние теоремы о кинетической энергии при криволинейном движении точки. Кроме того, задачи, относящиеся к типу 1, можно разделить на три группы: 1) сила, действующая на точку (или равнодействующая нескольких сил), постоянна, т. е.
Х =сопз1, где Х вЂ проекц силы (или равнодействующей) иа ось х, направленную по прямолинейной траектории точки; 2) сила, действующая на точку (или равнодействующая), является функцией расстояния (абсциссы этой точки), т. е, Х =~(х); 3) сила, действующая на точку (или равнодействующая), есть функция скорости этой точки, т. е. Х =1(о). Задачи, относящиеся к типу И, можно разделить на три группы: 1) сила, действующая на точку (или равнодействующая), постоянна и по модулю и по направлению (например, сила веса); 2) сила, действующая на точку (или равнодействующая), есть функция положения этой точки (функция координат точки); 3) движение точки при наличии сил сопротивления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
