Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Тогда система (а) принимает вид: 1) тх= — У вЂ” '; Р 2) ту= — У вЂ” "; л ' 3) тг= — ту. (а') Чтобы исключить из первых двух уравнений силу У, поделим !ОВ зак. ззы 265 почленно первое уравнение на второе; тогда имеем: У У откуда ху — ух=О. Но ху — ху=ц (ху — ух) =О, Ф а поэтому ху — ух = сопз1. Так как х=Р созвр, у=вс звпф, то ху — ух = — сс' ф = сопвс. Следовательно, ф =сопМ = С,. Постоянную С, находим из начальных условий движения: ~,=О, х,=Я, у,=г,=О, х,=О, у,=о,сова, о,сова г,=о,а|па, С,=ф, =— и Отсюда дф о,сова ф= о'В вс или о,сова л Таким образом, х=вс сов( — "' ' Р); у=вт з!п ( — "' ' т).
Интегрируя третье уравнение системы ~а') и определяя произ- вольную постоянную интегрирования, получим; гвв г= — — + о в зв'па. 2 в подставляя найденные значения х и у в равенство (е), имеем) щ тп, 'спм а Ф = — (х'+у') = пЯ<р' = Таблипа !5 Классификация задач Типы еедеч грт пе и (криполппейпое акиме ппе свободной мече риепьной точки1 и! !пеижепие пеееабоа. пой метериельпоо тОчки) 1 !прпмопииейпое декме- иие метераельпой точки! 1-я Точка движется по заданной линии (задачн 820, 821) Движение точка под действием посто. янной силы (задачи 709 †!о, 729) Движение точки под действием силы, зависящей от времени (задача 731) 2-я точки силы, коор(эада- 4-и точки силы, скоро- 680, 695— Глава 1! КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Задачи, относящиеся к этой главе, можно разделить на следующие основные типы: 1.
Гармонические свободные колебания. 11. Затухающие колебания. 111. Вынужденные колебания: а) при наличии сопротивления (задачи 853, 855, 868, 859, 860); б) при отсутствии сопротивления (задачи 864, 857, 86!). Гют 10В* Движение точки под действием постоянной силы (задачи 674, 675, 678, 679. 682. 686) Движение точки под действием силы, зависящей от времени (задачи 694, 698, 701, 702) ,Движение под действием зависящей от динаты точки чи 699, 700) Движение под действием зависящей от сти (задачи 683 — 685, 693, 697, 706 — 708) Движение точка под действием силы. зависящей от положения точки (задачи 724 — 728) Движение точки в сопротивляющейся среде (задачи 720— 722, 730) Гочка движется по заданной поверхности (задачи 642, 643, 646, 650, 816, 8!9, 822) $ П СВОБОДНЫЕ КОЛЕбАНИЯ (задачи 825 †8) где с — постоянный козффнциент пропорциональности.
Силу 7 назовем восстанавливающей силой. Если выбрать за ось х прямолинейную траекторию точки М, поместив начало Г м х ! с- — -х — Ч Рис. 152 координат в точке О, то (рис. 162) дифференциальное уравнение движения точки М запишется так: ззазх — = — сх, сиз азх с где х — абсцисса точки, или — + — х=О. сиз т Обозначив — через й*, получим: чзх сп' — +й Х=О, (126) вто — линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка, Так как корни характеристического уравнения и*+А*=О являются мнимыми, то общий интеграл этого дифференциального уравнения имеет следующий вид: х = А соз (йг) + В з)п (АГ), (126) где А и  — произвольные постоянные, которые определяются по начальным условиям движения. Если при 1 = О, х = х„ о = о„ то А = х, и  †,', следова- тельно, х= хз соз Й1+-~.
8)п Й1. (127) Общий интеграл уравнения (126) можно представить и так: х= а 81п (яг+а), (126) 268 Пусть материальная точка М массы т движется прямолинейно под действием силы Р, притягивающей ее к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию движущейся точки от центра О. Следовательно, В=с ОМ, где а и а — постоянные, определяемые по начальным условиям движения при помощи следующих формул: а = х', + —,' — амплитуда колебаний, йх, а=агстп — — начальная фаза, ии (129) Уравнение (128) есть уравнение гармонических колебаний с круговой (циклической) частотой а. Период этих колебаний Т определяется по формуле Т= — =2п ~г 2и и и и с ' (130) сХ =Р =Р, си ии 269 Пример 116. Груз весом Р = 20 и подвешен на пружине, которая в естественном состоянии имеет длину 1,=40 см.
Статическое удлинение пружины под действием этого груза равно 4 см. Груз приведен в положение М, и отпущен без начальной скорости. Определить период колебаний груза и наибольшую силу натя- ми жения пружины, если АМ, = 42 см (рис. 153), Д Решение. Ось х направим г и с по вертикали вниз, а начало координат О выберем в положении равновесия груза, т. е. в том по- д ложенин, где вес груза и реакция пружины уравновешиваются. Статическое удлинение пружины, соответствующее положе- Рис. 153 нию равновесия груза, обозначим Х„, а удлинение пружины, соответствующее положению М груза, обозначим Х. Тогда ) = Х„(-х.
Так как реакция пружины пропорциональна ее удлинению, то Р=сХ=с(Х„+х), где с — постоянный коэффициент пропорциональности, называемый жесткостью пружины. В положении равновесия модуль силы Р равен весу груза; поэтому откуда с= — = — =5 н(см. Р зо Лст 4 Дифференциальное уравнение движения груза имеет следую. щнй вид: Рх чэх т — = Р— Р или т —,= Р— с (Л„+х). Ж* й' Ух 1ю Р=сЛ„, поэтому и —,= — сх, или Рх с Ж' —,+й х=О, где й = —. Мы получили дифференциальное уравнение (126) гармонических свободных колебаний. Отсюда следует, что груз, подвешенный на пружине, будет совершать гармонические колебания около начала координат, т. е.
около равновесного положения. Период этих колебаний найдем по формуле (130): Т= — =2п у 2л ~ш У Р Р но и= — и с= —, поэтому Л т Т=2п ~/ — "= 2п )/ Амплитуду колебаний определяем по формуле (129): По условию задачи х,= — 2см и о,=О, поэтому а=2 см. Следовательно, Л,„= Л„+а=6 см Рщад сЛ~пах 5'6=30 л, Пример 117. К свободному концу А упругой горизонтальной балки, другой конец которой закреплен неподвижно, подвешен на пружине груз весом Р. Упругая сила балки пропорциональна стреле прогиба г, а сила натяжения пружины пропорциональна ее удлинению Л, причем жесткость балки равна с„ а жесткость пружины равна с,. Определить период колебаний груза, пренебрегая массами балки и пружины (рис. 164). Решение.
Как и в предыдущей задаче, ось х направим по вертикали вниз, а начало координат О выберем в положении равновесия груза. Если статический прогиб балки, т, е. ее прогиб при равновесии груза, обозначим 1'„, естественную 270 длину пружины обозначим 1„а ее статическое удлинение 1„, то 1рис. 154) А,А =~„и АО=1,+Х„. Прогиб балки в некоторый момент 7, когда груз занимает положение М, обозначим )'. Длина пружины в этот момент, как видно из рис. 154.б, равна 1 = А М = А,М вЂ” А,А = А,О + ОМ вЂ” А,А = 7'„+1, + 7!„+ х — ~, Следовательно, удлинение пружины 7! = 1 — 1, = х — 1 + 1'„+ Х„. К грузу М приложены две силы: вес Р и реакция пружины Р, причем Р=с,)!.
Если пренебречь массой пружины, то силы натяжения пружины на ее концах будут равны; следовательно, — т 7 Рис 154 к концу А балки приложена сила, равная с,Х. С другой стороны, если пренебречь массой балки, то приложенная к ией в точке А реакция пружины будет с,)", а потому с,~=с,). Отсюда 7"= — 'Х, и, следовательно, с, Л = х — ' — * 1+1„+ 7.„, ! или В положении равновесия груза имеем; ПОЭТОМУ вЂ” 'А=х+ Р ~ — + — ~=х -~ — Р, с,+с, / 1 1 ~ с| +сс ~с, с,г' с,с, отсюда А= ' х+ —. с,+с, с Дифференциальное уравнение движения груза по оси х имеет вид: а'с и —, = Р— Р = Р— с )с.
(с с Подставляя значение А, получим: Рх с,с, т —,=— х, д(' (с, + с,) или — -~-е'х=О, где й* = ю' т(с,+с,) ' т. е. получаем дифференциальное уравнение (126) гармонических колебаний с частотой й. Отсюда следует, что искомый период колебаний груза 2я 2 1~т(с,+с,) А Г сс, или Т=2п )/ — ( — + — ) = 2п )I "+ *'.
$2. ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ (задача 843 †8) Если материальная точка М массы т движется по оси Ох под действием восстанавливающей силы Р, притягивающей эту точку к неподвижному центру О в сопротиаллюп(сйся среде, то на эту точку, кроме силы Р, действует еще сила сопротивления и, пропорциональная скорости о точки М, т.
е. 1т = — ро, где р — постоянный коэффициент пропорциональности (рис. 166). ах Тогда Р„ = — ро„ = — р — и дифференциальное уравнение движения точки под действием восстанавливающей силы в сопротивляющейся среде принимает вид: д1с дх т — = — сх- - р —. си2 си ' 272 Введем обозначения: — = й* и — =2а. Тогда имеем р Ус, ех Ж' — + й*х+ 2а — „= О. (131) Если й)а, то движение точки является колебательным и общее решение этого уравнения имеет вид; х=е-"'(А созlгГ + Г з1п й Г) =е-"'а з1п(й (+а), (132) где й,=$'й* — ч'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
