Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 40
Текст из файла (страница 40)
о я г ге Постоянные А и В (либо а н и) определяются по начальной скорости о, и начальной координате х, следующим образом: А=х, В= о 1 либо (133) а= ~, )Гй,* х,*+(и, +ах,)', а = агсгн — '' "о+"хс Уравнение (131) есть уравнение затухающих колебаний. Период затухающих колебаний определяется по формуле 2 У~ — е*' Моменты времени, в которые точка получает максимальные отклонения от начала координат (положеиия равновесия), образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной понупериоду —.
Амплитуды затухающих колебаний образуют убыва- Т 2 ' ющую геометрическую прогрессию, знаменатель которой называется декрементом затухания и обозначается буквой х), причем л'Г О=е ' =е Величина 1и 0 называется логарифмическим декрементом„ Пример !!8 Материальная точка совершает- прямолинейные колебания в сопротивляющейся среде под действием силы, пропорциональной расстоянию от этой точки до неподвижного центра О. Сила сопротивления среды пропорциональна скорости точки. В начальный момент х,=О и о, = 1 м1сек. Зная, что период колебаний Т=2 сек, а декремент затухания 0= —, ! 2 ' найти закон движения точки (рис.
156). Р е ш е и и е. Выберем начало координат в неподвижном центре О; ось х направим по прямолинейной траектории точки, силу притяжения к центру О обозначим Р, а силу сопротивле- ния среды обозначим К Тогда ех Р= — сх, Й= — р —, х е7' где с и р — постоянные коэффициенты; дифференциальное уравнение движения точки имеет вид: — +2п — +й х=О Рх ех е!' е! где 2л= — и /г = —, а т — масса точки. а с И % х — 4 Ряс !56 Решение этого уравнения найдем по формулам (132) и (133): х = е "' (г х, соз ь,г + "'+""' з!и ь,г), ! или, подставив значения х, и з„получим: х=е — з)ой Г. -п1 а, Чтобы найти постоянные й, и л, 'воспользуемся формулами (134) и (135): пт 2я — ! Т= — =2 сек и О=е ьз 2 ' отсюда А,=н и е = —, или л=!п2.
-и 2 ' Закон движения точки принимает вид: е 'ы сэ!пк! х= но е-!!пэ 2-с поэтому 274 5 3. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ (задачи ззз-аа1) Пусть, например, возмущающая сила изменяется по закону Р' = Н з(п (рт+ р). 'Тогда, полагая — = й и сохраняя обозначения, принятые в преды- Н душем параграфе, получим: —,, + 2п —" + й*х = Ь з! п (р(+ ()). (136) При й~ а общее решение этого уравнения имеет вид: х=ае "'з)п(й,г+а)+Ь з)п(рз+р+ у), (137) где тву= —— 2пр Ь=- и (Ы „з)з 1 ааз з' (133) Первый член правой части равенства (137) представляет собой затухающие колебания, а второй — так называемые вынужденные колебания.
Постоянные а и а определяются по начальным условиям движения. Если й') 2п*, то при р = )~Р— 2и' амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума, равного Ь,„= (140) При отсутствии сопротивления )с = О, а следовательно, и а=О; дифференциальное уравнение движения точки принимает вид: а —,+й'х=й з(п(р(+р). (141) 275 Если на материальную точку М, движущуюся по оси х, кроме силы Р, пропорциональной расстоянию х, и силы сопротивления среды, пропорциональной скорости о, действует еще некоторая периодически изменяющаяся сила Р', которую назовем возмущающей силой (рис.
156), то дифференциальное уравнение движения точки запишется так: азх ах т —, + 2п —, + сх = Р'. йз из Полагая в равенствах (137), (138) а=0, имеем его общее решение: к=а з!п(И+а)+Ь з!и (р(+9), где и Ь=,, при й~р. (! 42) х = а з!и (а1+ о) — — соз (771 + р). аг ая (143) В этом случае амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает с возрастанием 1. Пример 119. Тело весом Р= 49 и, погруженное в жидкость, подвешено на пружине, статическое удлинение которой под действием веса этого тела равно 1 слг. Я -ч Свободный конец пружины совершает вертикальные колебания около неподвижной точки А, по закону уа — — А,А = 0,05 з!и 5пт, Г причем уе выражено в метрах, 1 — в секундах.
= = Сила сопротивления жидкости при движении груза пропорциональна его скорости о и при э =1 м(сея равна 15,7 и, Найти амплитуду вынужденных колебаний (рис. 157). Р е ш е н и е. Выберем начало рис. 157 координат 0 в положении равновесия тела, предполагая при этом, что конец А пружины находится в точке А,; тогда А,О = 1, + +Х„, где1,— длина недеформированной пружины, )г„— ее статическое удлинение. Ось у направим по вертикали вниз.
В некоторый момент г, когда тело занимает положение М, длина пружиньг 1 = 1, -1- Х „+ р — А,А, а ее удлинение 1=1 — 1,= Х„+у — А,А = й„+у — 0,05 зш бпг. Первый член последнего равенства представляет собой свободные колебания, второй член — вынужденные. Если частоты свободных и вынужденных колебаний совпадают, т.
е. если р = й, то возникает резон а не, тогда решение уравнения (!41) представляется в виде Если жесткость пружины обозначим с, то реакция пружины у =с), =сХ„+ су — 0,05с з!и Блг, но с),„=Р, поэтому Р= Р+ су — 0,05 с 81п 5лц Сила сопротивления жидкости л= — рс, где р — коэффициент пропорциональности, с — скорость тела. Дифференциальное уравнение движения тела имеет вид: п4 — = Р— à — 14 — = — су+0,05с з(п Бл! — р —, ду йу Ж' Ж= л! нли —, + 2п — + /4*у = й ебп Блт, й где 2л=— и и 7!= — '=0,05 й*. Мы получили дифференциальное уравнение (136), в котором нужно положить р= 5л и !! = О.
Поэтому искомую амплитуду вынужденных колебаний находим по формуле (138): Л ' 0,054' '- фЬ ..ь.~, ~то —,'>.,~— ., ' разделив числитель и знаменатель на й', получим: 0,05 )/ (! — ) -1-4 —, —, Подставим числовые значения входящих сюда величин: тй — = — =5 кг; и=15 7 — п= — 1,57; р 49 ник !1 з 9,8 ' ' ' м Р 49 я с р~ 25яз ! с= — = — =4900 —; й*= — =980; Р=Бл; О,! м' т '' ' Р 980 4' Следовательно, 0,05 277 Пример 120. Колеблющаяся масса вибрацнонного грохота, установленного на наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 158, а), приводится в движение при помощи двух пружин жесткостью с н)м каждая, соединенных с ползуном В кривошипно-шатунного механизма. Длина 1 шатуна АВ значительно больше длины г кривошипа ОА, так что первой и более высо- г кими степенями отношения — можно пренебречь, т.
е. можно считать, что ползун В движется по тому же закону, что и проекция А' пальца А кривошипа нз ось х. Вес грохота равен Он. Определить вынужденные колебания грохота, пренебрегая потерями на трение, если кривошип вращается по закону я~=ы(. При каком числе оборотов в минуту кривошипа наступит резонанс? М Рис 1ээ Р е ш е н и е. Обозначим среднее положение ползуна (при р=- 0) через В„а смешение ползуна из этого положения— через хз тогда имеем: хэ — — В,В ОА'=гэ(п<р = г э)пгэг. Смещение х центра тяжести грохота отсчитываем от того положения Я„в котором он находился бы при среднем положении ползуйа, если бы система оставалась в покое.
Очевидно, ВЯ =Х 6мза о е ст т. е. В,В,— статическая деформация пружин привода грохота под действием составляющей его веса, направленной вдоль наклонной плоскости. Отсюда деформация пружин (см. рнс. 158, б, где смещения ползуна и грохота показаны в увеличен« ном масштабе) выразится следующим образом." хэ х )'ст а потому проекция силы упругости пружины на ось х определяется так: Хупр = 2сп = 2с (хз — х — Х„). Отсюда получаем дифференциальное уравнение движения грохота: и- х = Хупр + Х веса = 2с (хз — х — ) п~) + +О з1п а =2схз — 2сх=2сг з|п ыг — 2сх, или х + — к= — г а|пег. 2са 2 па а о Вводя обозначения — =й и — г=й, имеем: 2са , 2сс и х + й'х = Ь ып мт. Отсюда на основании уравнения (141) получаем: х= —,, з|п ы( = —, з|п ы(.
'-( )' Резонанс наступает при в=в„р=й, откуда и = — „— у — =30 у — =300 ~у — =424 р' Пример 121. й(атернальная точка массой гп=-50 кг движется по горизонтальной прямой, притягиваясь к неподвижному центру О силой г, пропорциональной расстоянию точки от этого центра, причем коэффициент пропорциональности с = =200 н)м. Кроме того, на точку действует возмущающая сила Рис !59 г'=2 з|п 27, выраженная в ньютонах.
Найти закон движения точки если в начальный момент х=х,=О, о=с,=1 см)ссх и возмущающая сила г' в начале движения (при г~ — ~| сов. 2/ падает по направлению с начальной скоростью (рнс. 150). Решение. Выбирая начало координат в центре О и направляя ось Ох по траектории точки в сторону ее начальной ско. рости, составляем дифференциальное уравнение движения точки: 50х = — 200х+2 зйп 27 или х-|-4х=0,04 з(п21, 279 т. е. получаем уравнение (141), в котором й'=4, А=О,04, р=2, Р =О.
Так как частоты свободных и вынужденных колебаний совпадают (й= р= 2), то возникает резонанс и закон движения точки определяется уравнением (!43), х = а з!и (Ф!+а) — — „сов(й!+(3) =а з!и (2!+а) — О 01! сов 2(, а! откуда и = х = 2а соэ (2! + а) + О 02! з1п 2! — 001 соэ 2К Пользуясь начальными условиями (1,=О, к, =0; о,=1 см!сек= =0,01 м1сех), имеем: х,=аз!па=О; о,=2а сова — 0,01 =0 01. Следовательно, а=О, а= — '=0,01. о,оз 2 Таким образом, х = 0,01 (з!п 2! — ! соэ 2!).
Глава 1!1 ОБ!ЦИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ И ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МАТЕРИАЛЪНОЙ ТОЧКИ й 1. ТЕОРЕМА О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ Теорему о количестве движения материальной точки можно выразить в векторной или в скалярной форме. В векторной форме теорему о количестве движения можно выразить двумя способами: а) дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы, действующей на эту точку: б (пю) = РМ = с(о; (144) б) изменение количества движения материальной точки за некоторый конечный промежуток времени ! — 1, равно полному импульсу действующей силы за тот же промежуток времени: ! (145) ч с((ти„) = ХМ !18„; с((ти ) = г'Я=с(Яг; с((ти,) =2!(! =с(5,.
ти„— ти„. = ~ Хс(! = 3„; ти — ти, = ~ УсЫ=З„; ! ти,— ти,, = ~ЪИ 3,. (146) (147> В случае движения материальной точки по прямой линии, котору!о примем за ось х, имеем (рис. 160): д (ти) Хс(г, (148) ти — то, = ~ Хс(с, ! (149) где и — алгебраическое значение скорости, Х = + Р или Х = = — !и в зависимости от направления силы, причем Р— равно- действующая всех сил, приложенных к точке. Задачи етого параграфа можно разделить на три основных типа: -+- — +ь — -+~ — — Х р~ й 1 — хз — 1 Рис 160 1) задачи, относящиеся к прямолинейному движению точки, в которых требуется определить или скорость точки, или время движения, или действующую силу; 2) задачи, относящиеся к криволинейному движению точки, в которых требуется определить ее скорость или время движения; 3) задачи, в которых по заданному изменению количества движения материальной точки требуется определить импульс действующей на нее силы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
