Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 35
Текст из файла (страница 35)
138, а). От произвольного центра о (рис. 138, б) откладываем заданные векторы оа,=в, и оа„=-вн, из концов а, и ан этих векторов проводим до взаимного пересечения в точке а, прямые а,а, ~1 ОА и а„а, й ОВ, тогда получим: а,а,=в„, а а,=аып оа,=в,, Определив вектор ~в„переходим к определению угловой скорости в, колеса 3, исходя из равенства: в,= в, +вес Вектор в, направлен по оси вращения колеса 3, совпадающей с осями врашения звеньев 1 и Н, а вектор в„— по общей образующей ОС начальных конусов колес 2' и 3.
Проведя из начала о и конца а, вектора са,= а, прямые оа,,'~~~, и а,а,Зв„ до их взаимного пересечения в точке а„получаем треуголь<ник Оа,а, угловых скоростей колеса 3, из которого находим: в,=оа, и в„=а,а,. Обозначая половины углов раствора начальных конусов конических колес 1 и 3 соответственно через а, и а„ имеем (рис.
138,а и б): в,н — — (вн — в,) тя а,', в, = вн ч- в,н с1п а„ откуда окончательно; в, = вн+(вн — в,) тра,.сфа, (ответ). И, иг Учитывая, что тра, = — ' н стра,= — (см. рис. !38, а), придем к найденному ранее результату. На рис. 438, г показаны треугольники угловых скоростей для механизма, изображенного на рис. 138, в. РАЗДЕЛ 11! ДИ НАМИК А ДИНАМИКА ТОЧКИ Глава ) ДВЕ ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ТОЧКИ й 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В динамике изучается движение механических систем в связи с действующими на них силами. Простейшим объектом механики является материальная точка — тело, размерами которого при решении данной задачи можно пренебречь.
Если иа положение материальной точки и на ее движение не наложены никакие ограничения, то точка называется свободной, в противном случае имеем движение несвободной точки. Условия, которые накладывают определенные ограничения на положения материальной точки и на ее движение, называются связями, наложенными на эту точку.
Материальное тело, при помощи которого осуществляется связь, наложенная на данную материальную точку, действует на эту точку с некоторой силой, называемой реакцией этой связи. Согласно закону равенства действия и противодействия, сила, с которой материальная точка действует на тело, осуществляющее связь, равна по модулю и прямо противоположна по направлению реакции этой связи. На основании второго и четвертого законов динамики имеем: тщ=т — =Р, щ О08) где т — масса материальной точки; щ — ее ускорение и Р— равно- действующая всех сил, приложенных к этой точке, включая (в случае несвободной точки) и реакции связей.
В Международной системе единиц масса измеряется в кило граммах, а сила — в ньютонах (н). Обычно массу тела находят как отношение его веса Р, выраженного в ньютонах, к ускоре. нию силы тяжести я=9,81 м1сек', т. е. пл = —. Р (!09) з Проектируя векторное равенство (108) на оси той или иной системы координат, получаем дифференциальрые уравнения движения материальной точки в этой системе. В прямоугольной системе декартовых координат имеем: тх =Х; злу=у; плх=Л (110) где х, у, г — координаты точки, а Х, 1', 2 — проекции действующей силы (равнодействующей) иа соответствующие оси.
В случае несвободной точки к этим уравнениям присоединяются у р а в н е и н я с в я з е й. Если точка движется прямолинейно, то, принимая эту прямую за ось х, имеем: тх = Х. (1 1 !) В системе естественных осей иллеелп (112) где о †скорос точки; о †ради кривизны траектории; Р„ г„, Рл †проекц действующей силы соответственно на касательную, главную нормаль и бииормаль траектории.
Уравнения (112) называются эйлеровыми или естественными уравнениями движения материальной точки. Пользуясь уравнениями (108) и (110), можно решать две основные задачи динамики точки. й 2. ПЕРВАЯ ОСНОВНАЯ ЗАДАЧА ДИНАМИКИ ТОЧКИ Эта задача заключается в том, что по заданному движению и известной массе материальной точки требуется определить силу, действующую на эту точку, или, если на материальную точку действует несколько сил, определить одну из них. Решение этой задачи сводится к определению ускорения точки, которое в том случае, когда движение точки задано, нетрудно найти по правилам кинематики.
237 Задачи этого параграфа можно разделить на следующих два основных типа в зависимости от траектории движущейся точки: 1. Задачи, относящиеся к прямолинейному движению точки. И. Задачи, относящиеся к криволинейному движению точки. Задачи елила 1 Задачи этого типа, в которых рассматривается прямолинейное движение точки, решаются лри помощи уравнения (111); нх можно разделить на две группы.
Первая группа Задачи, в которых к движущейся материальной точке приложена одна сила. Необходимо определить эту силу. Пример 98. Материальная точка массой ел=400 е совершает гармонические колебания по горизонтальной оси Ох ло закону х=20з1л — ! (х выражено в см, ! — в сек). Найти силу, дейст- 2 вующую иа точку в функции от х. Решение. Находим проекцию ускорения точки на ось Ох: л см са =х= — Ьл з1п — !— е 2 секс Далее находим проекцию иа ось действующей силы: я! и! Х =та„= — 400 5л з(п — = — 2000л зш —. 2 ' Но зт — ! = —, а потому Х = — 100л'х дин, 2 2О' Так как проекция силы на ось Ох и координата х движущейся точки противоположны по знаку, то искомая сила направлена вдоль оси Ох к началу координат О.
По модулю эта сила равна 986 (х), т. е. пропорциональна расстоянию от движущейся точки до начала О. Вторая группа Ко второй группе относятся задачи, в которых к движущейся материальной точке приложено несколько сил, причем требуется найти одну из них. К этой группе следует отнести такие задачи, в которых требуется определить неизвестную реакцию связи, что характерно для движения несвободной материальной точки. Пример 99.
Клеть весом Р поднимается с помощью каната, навернутого на барабан радиуса !с, вращающийся вокруг нелод- вижной горизонтальной оси по закону: ф (еюФ + е-~~) асп (ы/) 2 Определить натяжение каната как функцию высоты подъема й (рнс. 139). Решение. При повороте барабана иа угол ~ клеть поднимается на высоту й = Яу.
Силу натяжения каната обозначим через Т. На клеть действуют две силы: натяжение каната Г и вес клети Р, причем Т- Р, так как ускорение клети направлено вверх. Равнодействующая этих сил Р= Т вЂ” Р. Применяя формулу (108), получим: ти/= Т вЂ” Р, откуда Т=Р+тю= Р+ — ю=Р11+ — 1. Я ~ Д/ Ускорение га клети найдем по формуле ю= — „, =Й вЂ” Й вЂ” (е +е )= — сЬ(в/), ~Рэ еьр аоР ~ / //а/э' ЕН ЕМ 2 2 или Следовательно, Т = — ы'Ь + Р.= Р ( — + 1) Р, /а'й Ы (, а рзс. !Зз Задача типа П Задачи этого типа, в которых рассматривается криволинейное движение материальной точки, можно также разделить на две группы, как и задачи первого типа.
Первая группа Задачи, в которых к движущейся материальной точке приложена одна сила; требуется определить эту силу. Если движение точки задано уравнениями в декартовых координатах: х = /, (/); у = /, я; = 1, (г), (113) где х, у, г — координаты точки; т — время, то на основании уравнений (110) находим проекции искомой силы на три координатные оси: Х = тх = т/, (1); У = ту = т/', (1); Я = тх = т/, (/). (114) Затем нужно найти модуль действующей силы Р и ее неправляюшие косинусы по формулам: Р=)7 Х*+ У'+2', Х У 2 сова= —: совр= —; сову= —. Р' Р' (115) (116) Пример !ОО. Материальная точка массой т=0,5 ке совершает движение согласно уравнениям: к=27'+1; у= !' — 1; г=Р— 1, причем координаты точки выражены в метрах, время — в секундах. Определить величину и направление силы, действующей на точку, в момент 7=1 сек.
Решен не. 1. Находим проекции скорости данной точки иа оси координат: к=4(; у=27; г=3!'. 4, По формулам (115) и (116) находим модуль силы и направляющие косинусы: Р=)' 2'+ 1'+ 3'= $' !4жЗ 74н; 3 74 0,334; совр 3 74=0,267! 2 ! сов у = — = 0,804, в 3,74 откуда а =-57'41; (1 =74'30', 7=36'42'. Если же движение точки задано естественным способом, т. е. задана траектория точки и закон ее движения по этой траектории в=7(1), то следует, воспользовавшись уравнениями (112), найти проекции искомой силы Р на естественные оси, а затем по этим проекциям вычислить ее модуль.
Пример 101. Материальная точка массой т=2 кг описывает криволинейную траекторию по закону е = 12 в!и — (в выражено в м, 7 — в сек). В данный момент она занимает положение М и имеет скорость о=З м|сек, причем радиус кривизны траектории в точке л4 равен 6 м. Найти в этот момент силу, действующую на эту материальную точку. 240 2. Находим проекции ускорения точки иа оси координат: х = 4; у = 2; г = 67 = 6 (при 1 = 1). 3.
На основании уравнений (114) находим проекции силы на оси координат: Х=тх=2; У=ту=1; е =А=3. Решение. Находим скорость точки и проекции ния на касательную и главную нормаль траектории: <Ь 1 ее . 1 е1 о= — =бсоз —; ю,= — = — Зз)п —,; ю = — = 2 л ее ускоре- =3 мсек; '=з Согласно условию, в данный момент 1 имеем о 1 1 ~ ч поэтому 6 сов — = 3, откуда соз — = — и — = — ' или 2 2 2 2 3 Следовательно, в этот момент зуз в,= — Зз1п — = — —, 3 2 9 3 Ю л б 2 Вторая группа Задачи, в которых к движущейся материальной точке приложено несколько сил и одну из них требуется найти.
В этой группе, так же как и в задачах второй группы типа ~, часто встречаются такие задачи, где требуется определить неизвестную реакцию связи при движении несво- 66 бодиой материальной точки. Пример 102. Центробежный регулятор состоит из двух шаров А и В ~ь М весом Р каждый, муфты С весом Я и четырех одинаковых невесомых стержней АС = ВС = ОА = ВВ =!, 1 д У; закрепленных по концам шарнирно. Регулятор вращается вокруг " == лнеподвижной вертикальной оси г.
Определить усилия в стержнях и У ' ° . -„д — 4 угловую скорость регулятора, предполагая, что угол а, образуемый каждым из стержней с вертикалью, У,' е~ имеет заданное постоянное значение а (рнс. 140). Решение. Рассмотрим движение шара А, принимая его за материальную точку, которая описывает Рис. 140 Теперь на основании уравнений (112) находим проекции искомой силы на касательную и главную нормали: Р = ты, = — 3 )/ 3, Р„= ппв„= 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
