Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 37
Текст из файла (страница 37)
о = — = 23/х* — 24 Л = 2т(1. 3/ х' — 24 Отсюда = 2т', )/ х' — 24 хд т. е. 1п ( х + ~' х' — 24 1"„, = 21, или 21=1п х+ 'и х' — 241 6 Следовательно, х+ 1/ х' — 24 = бе' . Из этого соотношения находим: х* — 24 = (бе*' — х)', откуда зе" +2 х= ен или х = Зе" + 2е *'. при г'=0 согласно условию имеем: х=био=2. о О В начальный момент Следовательно, С,+С =5, 2С,— 2С,=2, откуда таким образом, С,=З, С,=2; х=Зе*'+ 2е ". Четвертая группа Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке, зависит от скорости этой точки, что имеет место при движении точки в сопротивляюшейся среде.
250 Второй способ. Так как в данном случае функция Г'(х) = 4тх является линейной функцией от х, то дифференциальное уравнение (120) является линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Лля решения этого уравнения воспользуемся теорией интегрирования линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и составим соответствующее характеристическое уравнение: и* — 4 = О. Найдем его корни: и, = 2 и и,= — 2. Следовательно, общее решение выразится так: х=С,е" +С,е ". Постоянные С, и С, находим по начальным условиям движения, Для этого сначала найдем скорость точки, продиффереицировав последнее уравнение по времени т: о= — 2С,е" — 2С,е '1.
й В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет внд Фо т — =/ (о), Ы! или, разделяя переменные, омо — = а/. /(о) Отсюда О ! т ) ф = ') й( = г. о„ а (121) х=х,+ ) ф(/) о'/. (122) Это уравнение выражает искомый закон движения точки. Если в задаче требуется найти скорость о как функцию расстояния х, то левую часть уравнения (108) преобразуем: ~Ы А~ т= Ж' Тогда уравнение (109) принимает вид то — =/(о), ао нх нли, разделяя переменные, то оо — =Их, /(о) откуда (123) Пример !07.
Материальная точка массы т=0,1 кгдвнжется прямолинейно под действпеч постоянной силы Р=О,З и. Движение происходит в среде, сила сопротивления которой выра- 25! Выполняя здесь интегрирование и разрешая затем получен. ное уравнение относительно о, находим скорость точки как функцию времени, т. е. о=у =Ф(~). ах Следовательно, Йх=ф(фй н жается линейной функцией скорости й = 0,2п+ 0,1 о', где о †скорос точки. Найти закон движения точки, если начальная скорость равна нулю (рис. 143). Р е ш е н и е.
Изобразим действующие силы на рисунке. Сила г направлена в сторону движения, а сила )г — противоположно скорости. По формуле (111) дифференциальное уравнение движения точки имеет вид 0,1х = 0,3 — 0,2о — 0,1а*. Так как в данном случае равнодействующая всех приложенных снл есть линейная функция от скорости, т. е. ((о) = 0,3 — 0,1о' — 0,2о, Рис 143 то по формуле (121) имеем: и е Ле (' е1е 3 — 2е — е*,) 4 — (1-1- е)е ' откуда 1 3+о 4 3(1 — е) Из этого уравнения находим о: е" — 1 О= ее + ! 3 Воспользуемся далее уравнением (122) и найдем искомый закон движения точки: г е" — 1 — — е(1. о е е4 -1-— 3 Чтобы вычислить этот интеграл, сделаем замену переменных е"=г; тогда е(г=4гШ н е е 1 3 ! 4г 41 4 ) е' +— ее~ — 1 Г г — 1 ег 1! аел,! г(1 = ~ — — = — г — 121+ 4! и — ) 3 3 1 г+-.
252 Следовательно, зев+ 1 х — х = — 3! +!и— е 4 Задачи типа П Задачи этого типа, в которых рассматривается криволинейное движение свободной материальной точки, можно также разделить на четыре группы. Первая группа Задачи, в которых движение материальной точки происходит под действием постоянной силы. Пример 108. Начальная скорость снаряда о, = 490 м(сек. Под каким углом а к горизонту следует бросить этот снаряд из начала координат, чтобы он попал в точку с координатами у=700 м, г =680 м? Сопротивлением воздуха пренебрегаем.
Решение. Ось г направим по вертикали вверх, а осьу— по горизонтали так, чтобы начальная скорость снаряда лежала в плоскости Огу. Тогда, как известно (см., например, курс теоретической механики И. М. Воронкова, 2 100), снаряд будет двигаться в вертикальной плоскости гОу, причем уравнения его движения имеют вид (р у= о~! сова, г= о~( з1п а — 2 Исключая отсюда т, получаем уравнение траектории (параболы): г — утаи†КУ' 2о, 'ьоз' а или, заменяя —,, на 1+18 а, получаем! 1 й г = у ф а — я —, (1 4-18'а). 2о,' Подставляя сюда значения у=700; г=680; я=9,8; о,=490, получаем: тя ' а — 70 18 а +.
69 = О. Решая это квадратное уравнение относительно тяа, находим: тйа, =1; тяа,=69, откуда о, =45', а,=89'. Рис ьм Дифференциальные уравнения движения частицы, согласно уравнениям (110), имеют вид: тх=еЕ, ту = — тя; или нх ее ~В т' Отсюда ох — Л; йу= — дЛ. ен Интегрируя эти уравнения в соответствующих пределах, получаем: геЬ еЕ х — х 1 — Й вЂ” 1; у — у =- — ~йч(1= — Ег. ,) т ее е Но х,=о„=О н у = о „.= о поэтому ае еь „ее х= — = — ! у= — =и — кт, ен о Пример 109. Частица М массы т, несущая заряд отрицательного электричества е, вступает в однородное электрическое поле постоянного напряжения Е, имеющего горизонтальное направление, с вертикальной скоростью о,.
Определить дальнейшее движение частицы, зная, что в электрипеском поле на нее действует сила г Р = еЕ, направленная в сторону, противоположную напряжению по- д ля. При решении задачи учесть дейва ствие силы тяжести Р (рис. 144). Р е ш е н и е. За начало координат 0 возьмем начальное положение частицы, ось х направим по горизонтали в сторону, противоположную напряжению поля, а ось у — по вертикали вверх (рис, 144). Тогда проекции равнодействующей сил Р и Р на оси х и у будут равны: Х = Р = еЕ = сопз1, )е = — Р = — тд = сопз1. или Отсюда, интегрируя, находим: х — х = — ~ геИ= — 1', еЕГ гЕ т,) 2и е У вЂ” У,= о, 1 Ш вЂ” д) Ые =о,1 — —.
~м Так как в начальный момент частица находится в начале координат, то х, = у, = О и, следовательно, х= — 1, еЕ 2/л аее у=о,г — —, 2 Эти уравнения определяют движение частицы М. Предлагается читателю доказать, что проекция скорости частицы на прямую, перпендикулярну о к равнодействующей сип г и Р, остается неизменной. Вторая группа Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке, а следовательно, и ее проекции на координатные оси, являются функциями времени.
В этом случае причем функции 1, И)' 1, (е), ~, (е) известны. Тогда дифференциальные уравнения движения точки имеют вид тх=1, И), ту=(,(г); елх-(,(г). Каждое из этих уравнений можно проинтегрировать в отдельности таким же способом, как н в задачах второй группы типа 1. Третья группа Задачи, в которых равнодействующая всех сил, приложенных к данной материальной точке, зависит от положения этой точки, т. е. является функцией ее кооргпщат. Такой случай возможен, например, когда материальная точка притягивается туо-су, или, полагая — =Ф, с о х — й*х=О, оио — х — -1 Рис 145 Каждое нз этих линейных уравнений можно проинтегрировать отдельно, для этого составим характеристическое уравнение и* — й'=0 и найдем его корни: и,=й, и,= — й. Следовательно, общее решение дифференциальных уравнений движения точки запишется так: х=С е"'+С,е оо, о у=с,е" +С,е Отсюда х = А (С,е"' — С,е "'), у=й (С,е"' — С е и). Остается найти постоянные фффС,.
Прн у=О имеем: х=а, у=О, о =О,о =о. о ° о ок оу о Подставляя эти значения в предыдущие уравнения, получаем: х,=С, +С,=а; х,=й(С,— С,) =0; у, = С, + Со = 0; у, =- /г (С вЂ” С,) = о,. к данному неподвижному центру или отталкивается от него силой, зависящей от расстояния точки до этого центра. Пример 110. Материальная точка М массой т отталкивается от неподвижного центра О силой г" =сг, где г †расстоян точки М от центра О, а с †постоянн коэффициент. В начальный момент расстояние г, =ОМ, = а, а скорость точки о, †перпендикулярна к направлению ОМ,.
Найти движение точки М н ее траекторию (рис. 145). Решен и е. Прийимая центр О за начало координат, ось х направим по ОМ„как указано на рис. 145. Так как г=сг, то, проектируя обе части этого векторного равенства на оси Ох и Оу и учитывая, что г„=х, г =у, где х и у — координаты движущейу~ ся точки, получаем: г„= ох, г = су. Дифференциальные уравнения движения точки М согласно уравнениям (1! 0) имеют вид: тх=сх, Отсюда находим: Следовательно, С=С=а; С= — С= — ' 2' ' ' 2й х= — (ем+ е «'), "а (еее е-ее) 2й Этн уравнения определяют движение точки М. Чтобы найти уравнение траектории в обычном виде, достаточно из них исключить параметр е. Для этого, полагая — '=Ь, перепишем предыду- й = щие уравнения в виде: еж+ -е~ — =с'и (И), а 2 а ее' — е ь= Возведя теперь эти уравнения в квадрат и вычитая второе уравнение из первого, получаем: хе а' — — — =!.
ае Ь' = ' Траектория точки М есть гипербола. Четвертая группа Задачи, в которых рассматривается движение материальной точки под действием некоторой заданной силы (постоянной или переменной) в сопротивляющейся среде, причем сила со- в противления среды зависит от скорости материальной точки. Пример 111. Точка М мас- ее — Р' сой т= 0,1 кг движется под ее ! действием силы, которая при- Г~ тягивает ее к неподвижному 1 ! центру О и пропорциональна еее 'р ~ ее ' расстоянию точки от этого центра, причем коэффициент пропорциональности с=0,6 и,'см. "е Движение происходит в среде, сопротивление которой пропор- х Р "й . е рости, причем коэффициент п ропорциоиальиости р =.0,5 — . е кеее Рес.
14б л Начальные условия: х,=О, д,=ЗО м, п,„=х,=20 м/сек, ве = у,= 10м(сек. Найти кинематические уравнения движения точки (рис, 146). 10 зак. хз74 Решение. Обозначим Р силу, притягивающую точку М к центру О, и Р' силу сопротивления среды, направленную противоположно скорости о точки М.
Тогда Р= — сг и Р'=- — ро. Обозначая а и 5 углы, соответственно образуемые радиусом- вектором г точки М и вектором о скорости этой точки с осью х, составляем дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах: тх = Х = — Р сов а — Р' соз 5 = — сг соз а — р о соз 5; ту = г' = — Р зш а в Р' з!и 5 = — сг з1п а — ро з!п р.
Или после подстановки числовых значений х+ 5х + бх = 0; у + 5у + бу =- О. Дальнейшее решение задачи зависит от характера полученных дифференциальных уравнений. В данном случае получены независимые друг от друга линейные дифференциальные уравнения второго порядка, и для решения их можем воспользоваться теорией интегрирования таких уравнений, известной из курса математики. Составляем характеристическое уравнение, соответствующее первому уравнению: и' -'- 5и + 6 = О, отсюда и = — 2; и = — 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
