Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Скалярное выражение теоремы о количестве движенкя в дифференциальной или конечной форме получаем, проектируя векторное равенство (144) или векторное равенство (145) на каждую из трех неподвижных координатных осей: Задачи лила 1 Задачи этого типа можно разделить на три группы: 1) задачи, в которых сила, приложенная к материальной точке (или равнодействующая всех приложенных сил), постоянна; 2) задачи, в которых сила, приложенная к материальной точке (или равнодействующая всех приложенных сил), есть функция времени, 3) задачи, в которых сила, приложенная к материальной точке (или равнодействующая всех приложенных сил), есть функция скорости этой точки.
Первая группа Движение точки происходит под действием постоянной силы, т. е. Х = ~ Р=сопз1. В этом случае можно применить теорему о количестве движения в конечной или интегральной форме (149), причем отсчет времени здесь можно вести от нуля: ! то — ти, = ) Хдг = Х!.
а=а Отсюда нетрудно определить одну из трех величин о. Р или 1, если две другие заданы. Применяя теорему о количестве движения к прямолинейному движению точки, ось х удобнее всегда направлять в сторону начальной скорости точки, а если начальная скорость равна нулю, то в сторону силы, действующей на точку. Пример 122. Вагонетка, вес которой вместе с полеаной нагрузкой Р = 8500 н, при движении по горизонтальному пути испытывает сопротивление, величина которого составляет 0,01 от всех вертикальных нагрузок. Рабочий толкает вагонетку с силой Р=170 н (рис.
1б!). Через сколько времени рабочий сообщит вагонетке скорость о=0,6 м)сесС2 Решение. На вагонетку действуют: 1) вертикальная сила тяжести Р = 8500 н, 2) нормальная реакция й! рельсов, 3) горизонтальная сила Р= 170 м, с которой рабочий толкает вагонетку, 4) горизонтальная сила сопротивления: Р' = 0,01 Р. В данной задаче имеется нз материальная точка, а система Ряс !81 тел (кузов вагонетки, полезная нагрузка, колесные скаты), которые связаны друг с другом. Пренебрегая вращательным дви- 282 Обозначая проекцию силы Й на направление движения ваго. ветки через Х, имеем: Х=Р— Р' =Р— 0,01Р= 170 — 85=85 н=сопз1. Теперь применяем теорему о количестве движения: то — то, = ХС, Р откуда, учитывая, что о =0 и что т= —, находим. о У т.
~ч %00 0,6 " = Х = Х Э Е Ее = 5'1 свк' Вторая группа Движение точки происходит под действием силы, которая является функцией времени, т. е. Х=1(1). В этом случае теорему о количестве движения тоже применяют в конечной форме, но отсчет времени здесь не всегда моэсно вести от нуля. В общем случае имеем: то — то, = ~ ) (1) и( = гс (с), отсюда находим скорость: о = о.
+ ~ ч Ф. (1 51) (152) Если в задаче требуется определить время, то это уравнение нужно разрешить относительно Е Если же нужно найти закон движения точки, то это уравнение нужно проинтегрийх ровать, заменив скорость о па — . й' Пример 123. На тело весом Р =20 и, находящееся в покое на горизонтальной плоскости, действует вертикальная сила Р, возрастающая от нуля пропорционально времени, причем коэффициент пропорциональности равен 2 н;свк (рис. 152). Через гез жением скатов, можно считать, что все части рассматриваемой системы движутся поступательно вместе с кузовом вагонетки.
При этом можно считать, что масса вагонетки сосредоточена а центре ее тяжести и в центре тяжести приложена равнодействую. щая всех сил, действующих па вагонетку (справедливость этих допущений доказывается в динамике системы). Таким образом, данная задача о движении системы сводится к задаче о движении материальной точки (центра тяжести вагонетки), на которую действует сила й=Р+Р+У+Р'. сколько времени после начала действия силы Р тело начинает двигаться? Найти закон этого движения. Решение. На тело, пока оно находится в покое, действуют три силы: сила тяжести Р=-20 и, сила Р=2С и нормальная реакция СУ п,чоскости АВ.
В момент начала движения сила Ж, очевидно, обращается в нуль, и с этого момента на тело действуют только две силы: Р и Р. Проекция равнодействующей сил, приложенных к телу с момента начала движения, на ось х, по которой будет двигаться центр тяжести тела, выразится так: Х = Р— Р = 2С вЂ” 20 = 2 (С вЂ” 10).
Это выражение для Х справедливо только с момента С=10 сея, когда движущая сила Р ста- М нет равна силе тяжести Р, ибо до этого момента на тело действует„как мы уже отмечали, еще третья сила дг. Так как в данном случае Х=С(С), то для решения задачи можно применить теорему о ко- Р личестве движения в конечной форме. Учитывая, Рис. 1Г2 ЧтО !и= — =.— -= — И О,=-О, ИМЕЕМ: Р 20 10 д 9 8 4,9 — о = ~ Хс(С =- ~ 2 (С вЂ” 10) !СС = ~ (С вЂ” 10) = (С вЂ” 10) ! ! !! !! !! откуда и = 0,49 (С вЂ” 10)', но следовательно, с(х = 0,49 (С вЂ” 10)' <СС.
Выбирая начало координат в начальном положении центра тяжести тела, т. е. полагая х,=О, получаем: ! (с — ш)' ' х= ) 0,49 (С вЂ” 10)' с(С=0,49.(~ ~ 0,163(С вЂ” 10)'. !! Итак, движение начинается через 1О сея после начала действия силы Р, причем х=0,163(С вЂ” 10)'. Заметим, что полученное уравнение справедливо только с момента 1=10 сек. Третья группа Движение точки происходит под действием силы, зависяшей от скорости, т. е, Х =!(о). В этом случае теорему о количестве движения следует применять в дифференциальной форме (148): г((то) =Хг(!=Цо)И, илн т — =й, зо !() отсюда находим время: о ! =т ) — =тф (о). Г оо 3!(о)= Если в задаче требуется определить скорость, то это уравнение нужно разрешить относительно о. !у ! р о~ ! 1 — — х 1 Рис 163 Пример !24, В тот момент, когда скорость моторного судна равна о,, выключается мотор, и судно движется, испытывая сопротивление воды, величина которого пропорциональна скорости, причем коэффициент пропорциональности равен рп масса судна равна т.
Через какой промежуток времени скорость судна уменьшится вдвое (рнс. !63)? Р е ш е н и е. Вес судна Р уравновешивается архимедовой силой А. В горизонтальном направлении действует одна только сила сопротивления воды Й, направленная в сторону, противоположную скорости судна. Направляя ось к в сторону движения, имеем: Х= — ро, т.
е. Х является функцией от о. Поэтому применяем теорему о количестве движения в дифференциальной форме (148): й (то) = Хг) ! = — р иИ. Разделяя переменные, получим: до и — = — — се!. и т Теперь интегрируем в соответствующих пределах: откуда ~!п о1 )и о — 1ио = — — 1. !" ~п или 1и — = — !. о оо Отсюда находим: 1 = — — !п — = — 1и — ' = — 1п — = — 1п 2. ~~а т ~'ю о, н о н 05оо Задачи типа П Задачи этого типа, в которых рассматривается криволинейное движение точки и требуется найти скорость точки или время движения, можно разделить на такие же три группы, как н задачи первого типа: 1) движение происходит под действием постоянной силы; 2) движение происходит под действием силы, зависящей от времени; 3) движение происходит под действием постоянной силы в среде, сопротивление которой пропорционально первой степени скорости.
В этих трех случаях теорема о количестве движения дает первые интегралы дифференциальных уравнений движения. В первом и во втором случаях, т. е. когда сила постоянна нли является функцией времени, теорема применяется в к он ечн ой форме, выражаемой уравнениями (147). Из уравнений (!47) ио заданным проекциям силы находят проекции скорости на координатные оси. В третьем случае теорема применяется в дифференциальной форме, Первая группа Так как в этом случае сила Р=сопз1, то и ее проекции на координатные оси х, у, г постоянны. Поэтому теорему о количестве движения можно применять в конечной форме (147). Следовательно, имеем: то„— то,„= Х1, то — то, = У1; лт,— то„= Я!.
Из этих уравнений определяются проекции скорости, а затем и скорость о. Наоборот, зная проекцию скорости на какую- либо ось, можно найти время. Пример 125. Определить, пользуясь теоремой о количестве движения, время, в течение которого тело, брошенное под углом а, к горизонту с начальной скоростью п„достигает максимальной высоты (рис. 164).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
