Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Задачи осипа т' Первая группа Точка движется прямолииейио под действием востояииой силн В этом случае Р = сопз1, и уравнение кинетической энергии принимает вид: то' то, в — — — = ч- Ра, э где а — путь, пройденный точкой. Из этого уравнения определяется скорость э, если пройденный путь известен, или, наоборот, по заданной скорости э определяется пройденный путь о. Пример 142.
Вагонетка движется самокатом вниз по наклонной плоскости, образующей с ~оризонтом угол а (рис. 180). Определить скорость вагонетки в конце пути, длина которого равна 1; начальная скорость вагонетки п,=О, коэффициент общего сопротивления движению 1. Решение. На вагонетку действуют сила тяжести Р=тд, нормальная реакция Ф наклонной плоскости н сила сопротивления движению Р = 1)У. Применяя теорему о кинетической энергии на пути длиной 1, имееэп — — — = Ар+ Ар 2 2 Но и,=О, Ар — — л86 = та! з!и а, А„= — Р( =- — !ЛЧ. Рис. 180 Для определения нормального давления вагонетки на наклонную плоскость вес вагонетки Р разлагаем иа две составляющие, направленные вдоль наклонной плоскости и перпендикулярно к ней. Последняя составляющая и определяет нормальное давление на плоскость, равное нормальной реакции этой плоскости.
Следовательно, !У = тй соз а и Ар= — 1тй соз а1. Таким образом, уравнение кинетической энергии принимает внд: ти' 2 — = тй! з!и а — 1т81 соз а = тя! (з!п а — 1 сов а), откуда о=~/ 291(з!па — 1соза). Следует заметить, что при решении некоторых задач можно одновременно применять теорему о кинетической энергии и теорему о количестве движения.
Это относится к задачам, в которых рассматривается движение под действием постоянной силы (задачи 678, 775, 776, 779) или силы, зависящей от скорости (задачи 687, 689, 693, 696), причем требуется определить и время, и путь движения точки. Для определения времени движения следует применить теорему о количестве движения, а при определении пути — теорему кинетической энергии. Пример 143. Телу весом Р, лежащему на горизонтальной плоскости, сообщают начальную горизонтальную скорость э,. Во сколько времени и на каком расстоянии остановится тело, если коэффициент трения тела о плоскость равен !с Решен ие. Так как в задаче требуется определить время движения и расстояние, пройденное телом до остановки, то при решении этой задачи проще всего воспользоваться и теоремой о количестве движения, н теоремой о кинетической энергии.
Так как скорость тела в момент остановки равна нулю, то, применяя теорему о количестве движения, имеем: — лто — Р р тр откуда ~~~от Ров Рср йлтр По закону Кулона сила трения Р„=1Ф, причем в данном случае М=Р. Следовательно, 1=-'. И' Далее, применяя теорему о кинетической энергии, имеем: Ро,* — — = — г о, 2й где а — путь, пройденный телом до остановки. Отсюда находим: Ро~ о' о= — '= — '. 2йР,р 2!й ' Вторая группа Точка дважетса прямолииейио под действием силы, котораа является фуикцией абсциссы атой точки В этом случае Х=~(х), следовательно, по формуле (!9!) имеем: по' ыоо — — — '= ) Р(х)с(х; 2 2 ь это уравнение, устанавливающее зависимость между о и х, позволяет найти величину х, если скорость п известна, нли, наоборот, зная х, определить о.
Пример 144. Клеть весом Р опускается на канате равномерно со скоростью о,. Внезапно верхний конец каната ващем- ляется. Определить наибольшее удлинение каната после защемления, если его статическое удлинение под действием веса клети равно )с„ (рис. 181). Решен не. На клеть действуют две силы: сила веса Р н сила упругости каната )о=со, где с — жесткость каната, )с— его удлинение. Пока клеть опускается равномерно, удлинение каната равно статическому удлинению (Х=Х„) и сила Р урав- 3!О иовашивается силой упругости каната, т. е. Р =с), =Р, ст ст откуда Р с= —, = л„ и, следовательно, Р = — )о. Р 'ост Положение центра тяжести клети в момент защемления каната выбираем за начало координат и ось х направляем по вертикали вниз. После защемления каната, благодаря его способности деформироваться, клеть продолжает опускаться. В момент, когда удлинение каната достигает максимальной величины, скорость клети обращается в нуль.
Обозначая через Х проекцию на ось х равнодействующей сил, приложенных к клети, и учитывая, что )о=к„+х, имеем: Х = Р— Р = Р— — ) = Р— — 1х + Х„) — — — х. оос г вост пс с Применяя теорему о кинетической энергии, имеем: к Ясов щпо 1 — — — ~Хдх=— 2 2 щ к Рà Р— ) хдх= — — х . 'ост 2аост Но при х=х,„скорость клети о равна нулю; поэтому щоо Р в Хпави 2псс откуда в в в лм™о оо /д„ х = — Х = — Х их =о у — ". опви р ст К ст пааи о 1 ! Рис. 1З! Следовательно, - ГЯ и Третья группа Точка движется врямолииейио иод действием силн, являющейся фуикиией скорости втой точки В этом случае Х=Т(о) и теорему о кинетической энергии применяют в дифференциальной форме: д ( — ) = Х дх = ) (о) с1х.
311 Прежде чем интегрировать, здесь нужно разделить переменные, что даст: о с)о Г о оо и — =с(х. Отсюда: и~ — =х — х, 1(о) ) 1(о) е' Выполнив интегрирование и решив полученное после этого уравнение относительно и, находим скорость как некоторую функцию от х, т. е. э=Ф(х).
Если в задаче требуется найти ох закон прямолинейного движения точки, то, заменяя о на —, Ж' получим: с)х —,„= Ф (х), или, разделяя переменные, — =Ф, ох цг (х) отсюда Это уравнение устанавливает зависимость между х и 1, т. е. дает искомый закон движения материальной точки. В некоторых случаях, когда действующая на материальную точку сила зависит от скорости этой точки, закон движения точки можно найти несколько проще, применял совместно и теорему о количестве движения и теорему о кинетической энергии, Если Х =1(о), то, применяя теорему о количестве движения в дифференциальной форме, нмееме: щ оо — = с(1.
1(и) Отсюда, интегрируя, получаем уравнение вида: р(о) =1 — 1,. (а) Применяя затем теорему о кинетической энергии, в дифференциальной форме, получим: гло оо — = с(х. 1(о) Отсюда, интегрируя, имеем. тр(о) =х — х,. (б) Исключая теперь из уравнений (а) и (б) переменную о, нахо- См. $1 настоящей главы. 312 дим зависимость между координатой х и временем г, т. е.
находим искомый закон движения. Пример 145. В момент, когда скорость моторного судна равна о„выключается мотор, Сила сопротивления воды определяется по эмпирической формуле: )т = ао + () о', где а и р — постоянные.' Масса судна равна гп. Найти расстояние, которое пройдет судно с момента выключения мотора до остановки. Решение. Направляем ось х в сторону движения судна и выбираем начало координат в той точке, где находился центр тяжести судна в момент выключения мотора.
Проекция на ось х вилы сопротивления, приложенной к судну, равна Х = — (ао+ бо'). Так как эта сила является функцией скорости, то применяем теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме: б~ — ) =Л бх= — (а+ро) о1(х. 2 Разделяя переменные, получим: та'о —.+ Вс =ах. Обозначая о путь, пройденный судном, и учитывая, что в начале этого пути скорость судна равна о„а в конце обращается в нуль, имеем; а У а а бх = — т ) = л1 ~ — = — ~ (п (а + () о) = — )п — ', о аи г Их т ! т а+ра О!а+ро ~а+р р ~ р а откуда о= — )п( !+ — о,). Пример 146. Материальная точка массы т, получив начальную скорость о„движется по горизонтальной, абсолютно гладкой плоскости, испытывая сопротивление среды, определяемое формулой Я = Ьи ~Го, где о — скорость точки.
Найти закон движения точки. Р е ш е н и е. Рассмотрим решение этой задачи при помощи совместного применения теоремы о количестве движения и теоремы о кинетической энергии. 313 Принимая начальное положение точки за начало координат и направляя ось х в сторону движения точки, находим; Х = — Я = — лл1 )~ о. Применяя теорему о количестве движения и теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме, имеем: б(то) = ХМ = — лт)/ о Ж (( — 2"*)=ха = — й р'опх, или, разделяя переменные и сокращая их на т: — = — И1и РоДо= — Мх, й~ интегрируя эти уравнения, находим: Отсюда 2 (а') з а — зах ой о| й 2 (б') Чтобы найти зависимость между х и /, достаточно из уравнений (а') и (б') исключить скорость о.
Из уравнения (а') имеем: 1 г/ )" т о 2 Подставляя это значение в уравнение (б'), получаем: зй ( о ) 3ь [Па ) о (~ о 2 ) 2 2 — 2 Т= — г'и, о= — о'= — о Ро. Л о' 3Х о 3Ь о е 314 Это уравнение, выражающее х как функцию времени и есть искомый закон движения точки. Из уравнений (а') и (б') можно также найти время Т, в течение которого двигалась точка до остановки, и пройденный ею за это время путь а. Полагая в равенствах (а) и (б) о=О, имеем: Задачи типа !1 Первая группа Точка движется криволииейно под действием постоянной силы Такой постоянной силой является обычно сила тяжести, т, е. вес Р материальной точки. Поэтому работа силы определяется по формуле А = — Р(г — г,) при условии, что ось г направлена по вертикали вверх.
Следовательно, применяя в этом случае теорему о кинетической энергии, получаем уравнение: моо — -- —,' = — Р (г — г,). 2 2 Пример 147. Определить для данного момента высоту Ь подь- !, ема тела М, брошенного под углом а к горизонту с начальной Рнс. ~В2 скоронтью о„если в этот момент известен угол О, образуемый скоростью о с горизонтальной осью абсцисс. Сопротивлением воздуха пренебречь (рис. !82). Решение.
Так как действующая на тело сила тяжести Р вертикальна, то проекция скорости на горизонтальную ось х остается постоянной и равной своему начальному значению, т. е. о„=сопв1 = п,сока, С другой стороны, е„= е сок О, поэтому и, соз а= о сок О. о, сока и и=- Применяя теорему о кинетической энергии, в конечной форме на участке пути ОМ имеем: спс' пко,', — — — "= Ар-— — — Р и=- — тджх. 2 2 Отсюда Вторая группа Точка движется криволинейно под действием силы, завнсяпкей от положения втой точки В задачах этой группы теорема о кинетической энергии применяется обычно в случае, когда для сил, действую|цих на материальную точку, существует силовая функция. Тогда работа вычисляется по формуле (173).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
