Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 49
Текст из файла (страница 49)
1) если Мои =О, то 1.о=сонэ(, (215) 2) если л4'," =О, то ~,=сопз1„ (216) Главный момент количеств движения всех материальных точек системы относительно данного центра или данной оси называется кинетическим люментом системы относительно этого центра или этой оси. Следовательно, обозначая кинетический момент системы относительно точки 0 (начала координат) Еы а кинетические моменты системы относительно координатных осей й„, (.„, (.„ имеем: Х, = Хт, (то), (2! 1) й„= Хт„(то) = Х (уто, — гто ) =-Хт (уг — гу), й = Хт„(то) = Е (гто„— хпш,) =- Хт (гх — хг), (212) (., = йт, (то) = Х (хто,— уто„) = мт (ху — ух).
Теорема о кинетическом моменте системы состоит в следующем: производная по времени от кинетического момента системы относительно данного неподвижного центра или данной неподвижной оси равна главному моменту всех внешних сил, приложенных к эьпой системе относительно того же центра или той же оси, т. е. При п ос ту п а те л ь н о м движении твердого тела его инне.
тнческий момент относительно любой оси г равен моменту относительно той же оси количества движения центра масс этого тела в предположении, что в этом центре сосредоточена вся масса М тела, т. е. (217) 7 Ф щг (Мое)' Если твердое тело вращается вокруг оси г с угловой скоростью ы, то его кинетический момент относительно этой оси равен произведению момента инерции этого тела относительно оси вращения на угловую ск)эрость, т. е.
7., =.I,м. (218) При этом моментом инерции тела относительно данной оси г называется сумма произведений массы каждой элементарной частицы тела на квадрат ее расстояния до этой оси, т. е. 1,= Хщг', (219) где щ — масса элементарной частицы, а г — ее расстояние до оси г. Если твердое тело движется параллельно данной неподвижной плоскости, то его кинетический момент относительно любой оси г, перпендикулярной к этой плоскости, равен моменту относительно осн г количества движения центра масс С этого тела в предположении, что в этом центре сосредоточена вся масса М тела плюс кинетический момент тела относительно оси Сг' з его вращательном движении, вокруг этой оси, причем ось Сг' проходит через центр масс тела и параллельна оси г, т..е.
п~г (Мое) + '7ог "~ (220) гед .)с; †моме инерции тела относительно оси Сг', в †алгебраическ значение угловой скорости тела (положительное, если тело вращается вокруг оси Са' против часовой стрелки, и отрицательное в противном случае). Из равенств (214) и (218) получаем дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси г: (221) вэ где —,= а — угловое ускорение тела. Й Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить на следующие пять основных типов: !. Задачи на вычисление кинетического момента системы, !1. Задачи, в которых осуществляется сохранение кинетического момента системы относительно неподвижного центра или неподвижной оси, т.
е. используются равенства (215) или (216). 1Н. Задачи, относящиеся к вращению твердого тела вокруг неподвижной оси. 1Ч Задачи, относящиеся к крутнльным колебаниям. Ч. Задачи на определение гироскопических реакций в случае гироскопа с двумя степенями свободы. Задачи типа 1 Задачи етого типа можно решать при помощи общих формул (211) или (212). Кинетический момент твердого тела следует вычислять в зависимости от вида движения тела по формулам (2!7), (218) или (220). Пример 159.
Ме х а н и 3 м эллипсографа состоит из ползунов А и В весом Р каждый, кривошипа ОС весом Р и линейки АВ весом 2Р. Кривошип ОС вращается вокруг неподвиж- ной оси Ог, перпендикулярной к плоскости чертежа, с угловой скоростью а. Найти кинетический момент этой системы относительно оси Ог, рассматривая линейку АВ и кривошип ОС как однородньш тонкие стержни, а ползуны А и  †к материальные гочки если ОС= АС = СВ =1(рис. 196). Решение. )7ераый способ. Данный механизм состои| из четырех тел: кривошипа ОС, линейки АВ и ползуиов А и В, а потому искомый кинетический момент равен ( ( гп + ~ (а) + ( и1 + ( а) где Еа1, Е,'", Я', 7.'," — соответственно кинетические моменты кривошипа, линейки и ползунов А и В относительно оси г.
Кинетичесиий момент кривошипа ОС находим по формуле (216): Е(!> /о) где 1'," — момент инерции кривошипа относительно оси г, рав- м~р о н ный — ' 3 в 3 следовательно зл Так как скорости ползуноп А н В направлены соответствениЬ вдоль осей Ох и Ор и, следовательно, пересекают ось Ог, то Чтобы вычислить кинетический момент !.',*> линейки, приме- ним последн>ою из формул (2!2). Разобьем стержень АВ на бесконечно малые элементы (мате- риальные частицы); массу такого элемента обозначим т, а его координаты обозначим х и д.
Тогда х=(2! — В) соз>р; р =эз!пар, где з — расстояние рассматриваемого элемента от точки В. От- сюда х — (2! — з) 8 1 п ар ар = — (2! — з) з 1и ар в; у = з соз ар в. Следовательно, момент количества движения элемента относи- тельно оси г будет л>, (п>в) = т (х>) — дх) = т((2! — з) зв сов' >8+ (2! — з) зв з)п' а81 = =т(2! — з) зе>; а поэтому !,'," = Хт (ху — ух) = Хт (2! — з) зв> = га> (2!Х>пз — Етз'), но Х>пз = М з = — 1, а Хтз — момент инерции стержня АВ отно- 2Р а с АВ' ВР сительно гочки В, равный М,— = — Р.
Следовательно, 3 За ,а г4Р а ВР ааа 4Р Ц =,( — г — — !)~= 1, ~ а 38 ) зл Таким образом, искомый кинетический момент механизма будет (, = — ! о>+ — ! о>= — ! в. Р а 4Р а БР а зд зг Вг Второй способ. Так как движение стержня АВ является плоскопараллельным, то его кинетический момент относительно оси г можно найти проще, применяя формулу (220), 4;" = юа(М,ос) +!сн з>м где lс>" †моме инерции стержня АВ относительно оси, проходящей через его центр тяжести С и перпендикулярной к плоскости хОВ (относительно точкиа С), в,— угловая скорость вращения стержня вокруг агой оси (вокруг точки С). Следовательно, в> АВ' М,Р !с =М 12 3 Так как стержень АВ вращается вокруг ~очки С по часовой стрелке, го е»= — — = — в.
Так как точка С принадлежит и се >4! кривошипу ОС, то ее скорость о перпендикулярна к ОС и о = 1ал, поэтому т,(М,ос) = М,1'ол. Следовательно, и Задачи типа П К задачам типа П, как было указано выше, относятся такие задачи, в которых сумма моментов всех внешних сил, действующих на систему относительно данной неподвижной оси, например осн г, равна нулю. В это ~ случае (см, равенство 2!6) имеем У., =.
~о ~т, (т о) =. со па(. Следовательно, если обозначим ь''," кинетический момент системы относительно оси г в начальный момент при 1=0, то в рас» сматриваемом случае имеем 1., = 1.,", или ~чг~ т, (т о) = ~ч~ т, (то,). (222) Если в начальный момент система неподвижна, то начальные скорости всех ее точек равны нулю, следовательно, л„о=О, и гн в этом случае С, = ~ т, (то) = О.
(222') При решении задач второго типа нужно- составить уравнение (222) или уравнение (222') и определить из него ту величину, которую требуется найти в данной за )2 даче. Пример 160. На поверхности круглого однородного цилиндра радиусом г и массы М, "ЛГ который может вращаться без трения вокруг неподвижной вертикальной оси г, имеется ка о нал в форме винтовой линии; в этом канале 1 находится шарик (материальная точка) массон т. В некоторый момент, когда система не р подвижна, шарик начинает двигаться по винто г вой линии под действием силы тяжести, а цн линдр начинает при этом вращаться вокруг +г ' оси г в противоположном направлении.
На какой угол повернется цилиндр за то время, в течение которого шарик опустится на расстояние, равное шагу и винтовой линии (рпс. 197). Решение. Внешними силамн для данной системы, состоящей нз цилиндра и шарика, являются ях веса н реакции закрепленных го- ,4 чек, через которые проходит ось вращения Ряс, шт о,з1пу — пв, а момент количества движения шарика относительно оси г равен т(о, з!ну — ггэ)г, следовательно Мгга (, = — — +тг (о з!ну — гег), так как Е,=О, то Мггв — — +т(о, з1п у — гм) г=О 2 или ( М вЂ” +т) гм=то з1пу.
(а) Если угол поворота цилиндра обозначим р, то йчг 03= —. ш проекция о, абсолютной скорости шарика на ось г, очевидно, равна — о,сову, а потому лг ш= *= — =о = — о сову ог з!ну= ог сов ут~ у= — тйу. г!г Следовательно уравнение (а) принимает вид си ! сЬр 4г — +т) г — =- — ттйу— 2 ~ Й я'г ' цилиндра г.
Так как моменты этих сил относительно оси г равны нулю и в начальный момент система неподвижна, то применяется уравнение (222'), т. е, 1.,=0, где г.,— кинетический момент данной системы относительно оси г. Этим уравнением и воспользуемся для решения задачи. Кинетический момент вращающегося цилиндра относительно Мгг оси вращения г равен /,сэ= — — г», где в — угловая скорость цилиндра (знак минус берем потому, что цилиндр вращается по часовой стрелке, если смотреть с положительного конца оси г). Если относительную скорость шарика, направленную по касательной к винтовой линии, обозначим о,. а постоянный угол скорости с осью г — через у, то горизонтальная составляющая относительной скорости, направленная по касательной к цилиндру, по модулю будет равна о,з!ну.
Переносная скорость о, шарика (скорость во вращательном движении вокруг оси г) йаправлена противоположно горизонтальной составляющей относительной скорости и по модулю равна га. Поэтому горизонтальная составляющая абсолютной скорости шарика равна или ( ) л! — -г гл! ) гг1ф = — гп !й у аз. г Интегрируя это уравнение и принимая во внимание, что в начальный момент ф,=0 и г,=О, получим (' М вЂ” + гп) гф = — !и тя у 3. 2 Полагая по условию задачи г= — й, находим искомый угол поворота цилиндра ю !к 7 з ф= М ( — +п) Так как между углом наклона у винтовой линии и ее шагом 2пг 2н!и й имеется зависимость !ну= —, то ф= И ' М вЂ” +аз 2 Если, например, М =6т, то цилиндр повернется на 90'. Задачи типа 111 В зависимости от внешних сил, приложенных к вращающемуся твердому телу, задачи типа 111 можно разделить на три группы.
1. Главный момент приложенных к телу сил относительно осн вращения есть величина постоянная, 2. Главный момент приложенных к телу снл относительно оси вращения зависит от угловой скорости тела. Этот случай возможен при вращении тела в сопротивляющейся среде. 3. Главный момент приложенных к телу сил относительно оси вращения есть функция угла ф поворота тела, как, например, это бывает в случае движения физического маятника. Первая группа Для решения этих задач нужно составить и затем проинтегрировать дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела [уравнение (221)1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
