Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Пример 161. Сплошной цилиндр радиусом г, положенный, как указано на рис. 198, на цилиндрические ролики А н В, вращается с угловой скоростью ы, вокруг своей горизонтальной оси О. В некоторый момент ролики затормаживаются. Через сколько времени после этого цилиндр остановится, если коэф фициент трения между цилиндром и роликами равен 1, з .'. 408 = 2п.
Р еш е и и е. Внешними силами, приложенными к вращающемуся цилиндру, являются его вес Р, нормальные реакции Л(, и Л|, роликов и силы трения Г, и Г, между цилиндром и роликами, яр вчем Г, = /Л(, и Г, = |>Л>,. Так как моменты сил Р, >7, и Л(, относительно оси вращения О цилиндра равны нулю, то главный момент внешних сил относительно этой оси М, = — Г,г — Г,г =- х =- — (г (Л(, + Л',), поэтому дифференциальное уравйение вращательного движения цилиндра имеет внд Найдем теперь силы Л>, и Л1„; для этого, применяя теорсму о движении центра масс системы, составим дифференциальные уравнения двиРис жения центра тяжести О цилиндра: Мус = ~ У оо = — Р + (Л', т Л',) сов а — Г, э | и а -ф- Г, э|и а, Мхе=,'~'Ха>=Л', а|па — Л>, а|па — Г,сова — Г, сова, Так как точка Р неподвижна, то хс=д =О, а потому (Л(, — Л1,) ейп а — ) (Л>, -|- Л>,) сов а = О, (Л>, +Л>,) сова —,'- |(Л1,— И,) э|и а=Р.
/ Исключая из этих уравнений разность Л>,— >>|„получим Л' -) Л> = (! + Г) сои а и, следовательно, у >(с> ГР о,(> (1 а) оса а . Р Р Но для цилиндра l =- — —,, а потому о ам 2а>> — — = сопз|. си (1+В) >сосо Интегрируя это уравнение, находим 2к( со — о> (1+ Г] с сои о Так как в момент остановки цилиндра о>=-О, то нск,мое время равно (1+ Г) с сои ао> 2Д 342 Вторая группа При интегрировании дифференциального уравнения вращательного движения твердого тела в этих задачах нужно применить способ разделения переменных. Пример !62. Для быстрого торможения больших маховиков прнмепяетси электрический тормоз, состоящий из двух полюсов, расположенных диаметрально противоположно и несущих на себе обмотку, питаему1о постоянным током.
Токи Фуко, индуцируемые в массе маховика, при его движении около полюсов создают тормозящий момент М„пропорциональный скорости о на ободе маховика: М,=йо, где й — коэффициент, зависящий от магнитного потока и размеров маховика. Момент М, от трения в подшипниках можно считать постоянным: радиус маховика г; момент инерции его относительно оси вращения 1. Е(айти, через какой промежуток времени остановится маховик, вращающийся с угловой скоростью ы,. Рс шеи ие. Главный момент внешних сил, приложенных к маховику относительно его оси вращения, равен М =- — (М, + М,) = — (йо + М,), поэтому, составляя для маховика уравнение (22!), имеем ан У вЂ”,= — (йо+ М,) щ или, заменяя о на гы, у — = — (йгы+ М,). й Разделяя здесь переменные, получим Ию = — й.
л1,+а м Отсюда, интегрируя, находим 0 аг( — ~ (п(М,+ /ггы) ~ = — ~ или Мз+ а'ыа г= — )п ' '= — )п ~! + — со) л!г ~~ л!а Третья группа В этих задачах главный момент внешних сил, приложенных к вращающемуся твердому телу, является функцией угла поворота р этого тела, т. е, М=-!(гр) Если в уравнении (22!) углолч вую скорость ы заменить производной — =ч, то зто уравнение я! принимает внд: .I,ф + аР1Р = О 'р+Нр=о, или где й =— е го Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний; его общее решение имеет вид: 1р=С, з(п (И) -)- + С, сов (Й) Отсюда <,' = йС, соя (й!) — йС, з!и И.
Так как в начальный момент по, условию задачи 1р =1р„ 12=0, то из этих уравнений, полагая в них !=О, находим С, = 1р„С, = О, Следовательно, 1р=1р, созй!. Это уравнение выражает искомый закон движения маятника при малых колебаниях. Период этих колебаний равен ~е Т, 2 1, е 344 ЛР = Л! = ! (1Р). При решении задач третьей группы нужно проинтегрировать это уравнение. Пример (63. Однородный круглый диск радиуса г совершает колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через точку О, причем расстояние от точки О до центра тяжести С диска /' 0 Г l а ', равно —. с 1 2 ' /' С 1 (!айти закон движения диска при ма- лых колебаниях, а также период этих Р ~ колебаний.
В начальный момент угол гр / отклонения диска ог равновесного положения равен 1р„ а его начальная угла. вая скорость равна нулю 1рис. )99). ! Р е ш е н и е. В данной задаче диск является физическим маятником. Если вес Рис 199 маятника обозначим Р, а расстояние ОС обозначим и, то т, (Р) = — аР з(пф; а поэтому дифференциальное уравнение вращательного движения маятника имеет вид /,гр = — аР з)п ср. При мальи колебаниях можно положить з(игр ж1р. Тогда получим дифференциальное уравнение малых колебаний маят- ника В данной задаче а= — „; момент инерции лиска находим по теореме о моментах инерции относительно параллельных осей: л!г' г' 3 ~ ЗР ч' = l +М ОС'= — +.М вЂ” = — Мг = — г .
а 2 4 4 4я Поэтому Сравнивая последнюю из этих формул с периодом колебаний ГТ математического маятника Т =2я )г —, где 1 — длина нити ма- Ы ятника, вилим, что приведенная длина рассматриваемого физического маятника равна 1 =- — г. 3 2 Задачи типа Лг Задачи этого типа, относящиеся к крутильным колебаниям, можно разделить на три группы: 1) свободные крутильные колебания; 2) затухающие крутильные колебания; 3) вынужденные крутильные колебания, При решении всех этих задач следует составить дифферен- циальное уравнение вращательного движения твердого тела (уравнение (221)1 и затем это уравнение проинтегрировать. Первая группа В задачах этой группы приложенный к телу момент пропорционален углу ф, определяющему положение вращающегося тела, и имеет противоположный знак, т.
е. М= — сф, где с — коэффициент пропорциональности. Следовательно, уравнение (221) принимает вид у — + ~=о, д1 ии или гр+ й'ф=О, где й'= —; это есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний, решение которого рассмотрено в главе П. По формулам (127) и (130) находим ф =ф, соз(йГ) + ~' з(п (йГ) 34Б или ср=ср,сов~ )/ — г) + —,' з!и ( ~/ 7 !) . Период этих гармонических колеоаний равен 2л ./Х а Вторая группа В задачах этой группы к вращающемуся телу, кроме мо. мента М = — с~р, приложен еще момент сопротивления, пропорциональный угловой скорости тела, т.
е. момент М, = — рф, где р — коэффициент пропорциональности. Поэтому уравнение (221) принимает вид: Уф = — С~Р— )4~Р или р+ — 'р+ —,=О, Р ,г у или <р+2ьр 4 Ир=О, где 2п= ~ и А*= —. Мы получили диф- Х ференциальное уравнение затухающих колебаний (при А) и), решение которого находим по формулам (132) и (133): ср=-ае "' з!и ()Г й' — а* !+а), нли ф = ае " з!и ~ ~/ — — —, / + а У 4Р ~ зу =де '~ з!и ! — р'4/с — )з*е+а). Период этих затухающих колебаний (см. формулу (134)1: Т= Г' Ф~ — л' $~4/е — И' Постоянные а и а определяются пз начальным условиям движения тела (по начальному углу Ч, и начальной угловой скорости Ч~,).
Третья группа В этих задачах, кроме моментов М= — с~р и М,= — )зр, к вращающемуся телу приложен момент М„выражающийся периодической функцией времени, т. е. изменяющейся со временем, например по гармоническому закону (по закону синуса или косинуса). Если М,=Н з)п(р~), где Н и р — постоянные величины, то уравнение (221) имеет вид Лр т рр+ар=Н з(п(р1), и.пи (р -( 2пф ",. Ир =- Ь з! и (р1), где 2п= —, Ь = — и Ь= —. Р г х х Здесь мы имеем дифференциальное уравнение 2-го порядка с правой частью, отличной от нуля.
Интегрирование такого уравнения рассмотрено в Э 3 главы П; его общее решение имеет вид ф = аз "' з!и ( ' Р— и'1-'. а) +Ь з1п (Рг + р), илн <р — пе сс з1п ( — ~/4(с — ~Р' 1+а) + Ьгйп (р1+ р). ~ 2х Второй член в правой части этого равенства выражает вынуж- денные крутильные колебания, Амплитуда Ь и начальнаи фаза () этих вынужденных колебаний, согласно сказанному в 2 3 главы П, определяются по формулам: а и Ь н р (с — хр'1'+р'р' 2ср рр Нр ы — р' Г с,~ с — 3р'' у( — — р') Постоянные а и а определяются по начальным условиям вращательного движения тела.
/ с При р=й= ), —, т. е. прн равенстве частот свободных гармонических и вынужденных колебаний, имеем явление резо- нанса. Амплитуда вынужденных колебаний в этом случае будет н н н./ г Ь см яр ра и У с При отсутствии момента сопротивления нужно в уравнениях н формулах третьей группы задач положить р=п=О. Тогда дифференциальное уравнение крутильных колебаний имеет вид: сср+Ор=Н з1п(рГ), а его общее решение ср = а зйп (й г + а) + Ь з)п (р(), ф=аебп ( )// — ' 1+и)+Ь з)п (рГ).
Амплитуда вынужденных крутильных колебаний будет опре- Н деляться по формуле Ь= —,, -/с Прн р= ь —, т. е, в случае резонанси при отсутствии У сопротивлений общее решение предыдущего дифференциального уравнения (закон вращательного движения тела) имеет вид ф = а з)п (йг' + а) — — г сов (И), Н 2И или ф = а з! и ( )/ — 1+ а) — — ")// — Г соз ( )/ у 1) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
