Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 47
Текст из файла (страница 47)
при которой несомая лентой частица руды отделяется от поверхности ленты в месте набегания ленты на барабан, если радиус барабана равен )т (рис. 189). Р е ш е н и е. На частицу, находящуюся в данный момент в точке набегания ленты на барабан, действуют: вес Р, нор- мальная реакция барабана 0\ )т' и сила трения Р„. При-Ф/ кладываем к частице нор- мальную силу инерции Р~", Ф гид ' и составляем уравнение рав- И новесия полученной после этого системы снл, проектируя эти силы на ось д, направленную по нормали к порто верхпости ленты: ~~'., )' = Г',"' + Н вЂ” Р сов а = О, во мо* но Р"„= —, поэтому Л'= Рое =Р сова — .
Частица от- ий ' Рис !89 деляется от поверхности лепты в месте я абегани я ленты на барабан, если И= О. Поэтому минимальная скорость, при которой происходит отделение частицы от ленты, определяется из уравнения: Ро' Рсоза — — =О, ий откуда р = $' ай соз а. Задачи типа /П Неравномерное криволинейное движение несвободной материальной точки (валави 802, 808, 810 — 820, 822) В этом случае при решении задач по принципу Даламбера к движущейся материальной точке необходимо прикладывать две силы инерции: тангенциальную Р1",' и нормальную Р'"„'.
Уравнения равновесия лучше составлять так, чтобы в каждое уравнение входила только одна из этих сил инерции, для чего координатные осн следует направлять по касательной и главной нормали к траектории движущейся точки. В выражение нормальной силы инерции входит величинв р', если скорость о в данной задаче неизвестна, то в большинстве случаев для ее нахождения проще всего применить теорему кинетической энергии материальной точки. Пример 153. Математический маятник длиной 1 и весом Р отвели на угол ~р, от положения равновесия и сообщили ему начальную скорость о„направленную перпендикулярно к нити вверх.
Найти натяжение нити маятника в зависимости от угла у нити с вертикалью (рис. 190). Решение. Четыре силы — вес маятника Р, реакция нити У, касательная и нормальная силы инерции Р',"~ и Р'"„', согласно принципу Даламбера, уравновешиваются. Поэтому, проектируя эти силы на нормаль траектории маятника (на направ- и ление радиуса МО), получим И вЂ” Р соз ~р — Р',",' = О. Так как .с») т~г' то' 1»= — =— 1 то из этого уравнения находим ж»' Ь(= Р соз~р+ —. д нис ~зо Чтобы найти скорость о маятника, применим на участке пути И,М теорему о кинетической энергии: та~ т»', — — — '= Ар — — — РЬ.
»» Отсюда то* гло*,— 2РЬ Р 1 — ' — 2Ь) и, следовательно, ~Я Р /»,' », 2а~ й( Рсоа~у ~- — ~ — ' — 2Ь)=Р~соыр-) Л вЂ” - ~. 1а ) Ы Но Ь 1 соз <р, — (соз <р =1(сов ~р, — соз ~р), а поэтому и»~ И = Р ~З соз <р — 2 соз ~р + — ') . 1а) ' Пример! 54. Материальная частица находится внутри неподвижного цилиндра радиусом 1(. В начальный момент частица находится в положении М, и получает вертикальную скорость о,. Коэффициент трения частицы о поверхность цилиндра равен 1.
Пренебрегая действием силы тяжести, найти зависимость между скоростью о частицы и углом а, определяющим ее положение внутри цилиндра (рис. 191). 12» Р е ш е н и е. На частицу действуют: нормальная реакция цилиндра М и сила трения Л;„. Применяя принцип Даламбера, прикладываем к частице тангенциальную Лч",~ н нормальную г' ~ силы инерции. Приравнивая нулю сумму проекций этих сил на нормаль, получим: М вЂ” Л,"„,=О, или ел мэ Ф=Р„=-— и Согласно закону Кулона, р,„~л1 Рис !91 Далее применяем теорему о кинетической энергии в дифференциальной форме: 1( —,," ) = — Л„Н.. Отсюда, учитывая, что гЬ =гсов, имеем: тода= — — „Яда или тэ' Фэ — = — 1йа. Интегрируем э э и1 г о — = — Г ') Ыа нли 1п — = — 1а, 0 О, откуда о о е-7а 9 ДИНАМИКА СИСТЕМЫ Глава ЪЧ ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ В 1.
ТЕОРЕМЫ О КОЛИЧЕСТВЕ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ и о дВиЖении центРА мАсс Количеством движения системы называется геометрическая сумма количеств движения всех материальных точек этой системы, т. е. К =-,'У, то, (199) где К вЂ” количество движения системы; отсюда получаем проек- ции количества движения на координатные оси: (200) Теорема о количестве движения системы формулируется так. Векторная производная по времени от ком>чества движения системы равна главному ветпору всех внешних сил, прилохсенных к этой систел>е, т. е.
уе> ~ч,~~ р<е> ~й (201) огпсюда следует, что производная по времени от проекции коли чество денжения системь> на данную неподвижную ось равна про екции главного вектора внешних сил на ту же ось, т. е. ф= я>о = ~ч„'„х">, Ку )>>е) Ъ>~~ у»> >и й..и> С-,„, (202) Центром масс системы называется геометрическая точка С, координаты которой определяются по формулам: (203) где М вЂ” масса данной системы, причем М =ч~~т; х, у, г — координаты материальных точек этой системы. Из формул 203) следует, что положения центра масс и центра тяжести твердого тела совпадают.
Если данная система состоит из нескольких, например, из трех тел, то, обозначая массы этих тел М„ М„ М„ а их центры масс (центры тяжести) фффимеем; М,хс,+М,хс,+М,х., хе= ' М' М>Ус, + М >Уса + М>Ус ус= М Л>~го, +М гс~+М>гс. ге= М (204) ззь К„= ~~'„ток = ~~', т К = ) „то„=~„,т К,=~Ч'„то,=~ т вх — =~ч~тх, >>7 ш — =г тг. Если предположить, что в центре масс сосредоточена вся массо системы, то количество движения системы будет равно количеапву дв жения ее центра масс (центра тяжести).
Следовательно, обозначая через о скорость центра масс системы, имеем К=Мое (205) отсюда: К,. = М ос. = Мхе, К =М „=М~ К, = Мое, = Мге. (205') равно ш = — , из — ььс с=,и Учитывая, что ускорение центра масс С равенс1в (201) и (205) имеем М~с="х Х~ (206) отсюда Мус = )гч =.с»~ 1 Мг = Яи~ = '~" Л"'. (206') 1) если )г"' = ~ Ри» = О, то К=",» то=Мое=сопз1; (207) 2) если Й„"=~Ха»= О, то К „= ~ то„= Мое„= сопз1, (207') Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить нз следуюгцие три основных типа: 1.
Задачи на вычисление количества движения системы (задачи 966 — 969). П. Задачи, в которых осуществляется сохранение количества движения системы или его проекции на данную иеподвиж- Уравнения (206') представляют собой дифференциальные уравнения движения центра масс системы и выражают следующую теорему о движении этого центра: центр масс сиспымы движется так ясе, как материальная точка, в которой сосредоточена масса всей системы и к которой приложены все внпиние силы, действующие на вту систему. С л с дс та и е.
Если главный вектор внешних сил или его проекция на данную неподвижную ось равны нулю, то количество движения системы или его проекция на эту ось ос»поются неизменными, т. е. ную ось, т, е, применяются равенства (207) илн (207') (Задачи 951 — 957, 970 — 974) !11. Задачи на применение теоремы о количестве движения системы или о движении центра масс к определению реакций связей (задачи 958 †9, 975 †9). Задачи типа ! Задачи этого типа можно решать двумя способами: либо при помощи формул (199) и (200), либо при помощи формул (205) и (206).
Пример 155. В механизме, изо- браженном на рис. 192, кривошип 00,=г весом Р, вращается в вертикальной плоскости вокруг неподвижной оси 0 с постоянной угловой скоростью ы и приводит в движение колесо ! радиусом г и весом Р, которое катится беэ скольжения по неподвижному колесу 7! радиусом 2г. Центр та кести колеса ! находится в точке О,. Прямолинейный стержень АВ весом Р„соединенный шарниром А с колесом 1, движется поступательно в вертикальных направляющих. Найти проекции количества движения этой системы на коор- динатные осн х и у (рис, 192), Р е ш е н н е. Первый способ.
Данная система состоит из трех тел: кривошипа 00„подвижного Ряс 192 колеса ! и стержня АВ. Поэта. му К= К, + К, + К„где К„К, К,— количества движения кривошипа, колеса ! и стержня г)В. На основании формулы (205), применяемой к каждому нз этих тел в отдельности имеем — р,— р,— Р— К= — 'о,+ — 'о + — о, с, л с,, о, где о, о, о — соответственно скорости точек О„С, (центра тяжести кривошипа) и С, (центра тяжести стержня) Так как точки О, и С, принадлежат кривошипу вращающе- муся вокруг оси О, то векторы о и о перпендикулярны к 00, и по модулю равны: Г оо Так как стержень АВ движется поступательно, то о, =от причем вектор ох направлен по АВ. Чтобы найти скорость точки А, принадлежащей колесу Р, заметим, что мгновенный центр вращения этого колеса нахо- дится в точке С касания колес 1 и П. Следовательно, ох АС 2гнпв — = — = — =2з)п ~р, о,с где <р= в( — угол поворота кривошипа; отсюда о„=2оо ып гр=2гв з1п(в().
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
