Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 46
Текст из файла (страница 46)
вй Следовательно, в этом случае имеем: Пример 148. Материальная частица массы !и=90 г, находягцаяся в поле силы тяжести, отталкивается от неподвижного центра О силой, сбратно пропорциональной квадрату расстояния частицы от этого центра (рис. 183). В начальный момент частица находится в положении М,(х,= 1 см; у,=2 см; г,-2 см) н имеет скорость о,=28)/5 ср!/сел, направленную так, что при дальнейшем движении частица проходит через точку М,(х,=2 см; у, = 4 см; г, = 4 см) . -+, рс — — —.ГГ х/ ур / гх Рис !Яи Определить скорость частицы в точке М„если известно, что величина отталкивающей силы в момент, когда частица находится в положении М„равна 0,03 н, Решение.
На частицу действуют две силы: сила тяжести х Р = тд и отталкивающая сила Р= — —,, где г — расстояние ОМ. Определим коэффициент й. В начальный момент по условию задачи Р =- Р, =0,03 и и г' = г,' = х,' +у,' +г,' 9 10 ' м'. Следовательно, Й = Р,г, '= О 03.9 !О '= 27.!О-', Применяем теорему о кинетичесхой энергии на участке пути ММ,: то~ ти' 1 и 2 — — — — А +А, 2 но на основании формул (182) и (184) имеем: Ар = — Р (х~ — х~) = — гпк (х,— х ); о следовательно, лупу Ф~(у, — ур — ' — — '= — лед(г — г ) + — ' — -" 2 2 ° у,у кроме того , =у'ч.уу'.~- ,'-у'у э;,=у ,'-уу,'у,' 6 Отсюда оу=о' — 2д(г,— г,)ч- «(~1 у"1=(28)Г5)'.!О ' — 2 9,8.0,02+ 1 у у + 002006006 001"" ) 001 2,27.10-У(0 06 0 03) Третья группа Движение точин при величии снл сопротивлении Пример 149.
Автомобиль весом О, обладаю1ций в положении М, скоростью о, (рис. 184), начинает с этого положения движение самокатом и в положении М, приобретает скорость о„ после чего включается двигатель. Определить суммаряую работу сопротивлений движению автомобиля на участке М,М„а также среднюю величину приведенной к центру тяжести автомобиля силы сопротивления движению. Высоты Н, и Н, даны. УУ(у Рис. 16ч Ре ш е иве. Применяя теорему кинетической энергии в конечной форме на участке пути М,М„имеем: — (и*,— о,') = а (Н, — Н,) — Ас, 6 где А — абсолютная величина суммарной работы сопротивлений движению автомобиля. Отсюда Ас= б(Н,— Н,) — —. (в,' — о,').
317 р, О О (оа оа) лс ОГ с з з( ° ' л а где з — длина участка М,М,. Таблица 18 Классификация задач Группы ааааа Типы 2-я 3-я 1 я Сила, зависящая от скорости задачи 687, 689, 93, 695, 695, 782) Сила, зависящая от положении точки (задачи 699, 785 †7, 793— 796) Сила, зависящая от положения точки (задача 788) Постоянная сиПрямолинейное ла (задачи 773, движение точки 774, 777 — 781, 805) Движение точки при наличии сил сопротивления !! Криволинеиное движение точки Постоянная сила (задача 783) й 5. ПРИНЦИП ДАЛАМБЕРА ДЛЯ МАТЕРИАЛЪНОЙ ТОЧКИ Векторное дифференциальное уравнение движения несвободной точки имеет вид тиу= с -,'-Аг, где Р— действуюшая на точку заданная (активная) сила, Ж вЂ” реакция связей (рис.
188). Это уравнение можно переписать так: Р+ У + ( — тиу) = О. (192) Последний член уравнения (192) представляет собой некоторую силу, по модулю равную произведению массы т точки на ее ускорение и и направленную противоположно этому ускорению. Эта сила назьюается си- 5' лой инерции и обозначается Р'"', т. е. Рш' =- — тзо. (193) дт с — ир 47 р/ю с Рис 186 Рис 185 318 Среднее значение суммарной силы сопротивления движению на участке М,М, определится так: Пользуясь этим обозначением, уравнение (192) можно представить в следующем виде: Р + И + Р)" > = О, (194) т.
е. заданная сила, действующая на материальную точку, реакция связей и сила инерц >и для каждого момента движения драв- нове>ииваюогся (принцип Даламбера). Таким образом, силу инерции можно определить так же, как такую силу, которая, будучи приложена к материальной точке, уравновешивает все заданные силы, приложенные к этой точке, и реакции связей. Проекции силы инерции на координатные оси на основании равенства (194) выражаются следующим образом: (195) При криволинейном движении материальной точки сила инерции слагается из двух составляющих, из которых одна направлена по касательной к траектории, а другая — по главной нор. мали (рис.
186). Первая составляющая называется касательной, или тангенциальной, силой инерции и обозначается Р'",'„вторая составляющая называется нормальной силой инерции, или цент. робежной силой, н обозначается Р'„"', причем Р> > т>о>>) Р>и>. т „> и (196) Для модулей тангенциальной и нормальной сил инерции имеем следующие выражения: )Р>и)( т~"" ! ~Р>и>! (197) )Р>и) ), т)с ~ ь( )р>и) ! тР>>в> (198) Тангенциальная и нормальная силы инерции направлены соответственно противоположно тангенциальному и нормальному ускорениям точки.
Задачи, относящиеся к этому параграфу, можно разделить иа следующих три типа; 1, Материальная точка движется прямолинейно. И. Материальная точка совершает криволинейное равномерное движение. 1!1. Материальная точка совершает неравномерное криволинейное движение. зщ Если точка совершает вращательное движение по окружности радиуса )г с угловой скоростью ь> и угловым ускорением г, то модули тангенциальной и нормальной сил инерции выразятся следующим образом: Задачи типа ! Примолииейное даименне несвободной материальной точки (задачи 637-640, 647, 646, 649) В этом случае радиус кривизны траектории Е = сю и, следовательно, Р'"„' = ~ — =О, поэтому сила инерции состоит из одной е тангенциальной составляющей, т. е.
рм'- Р<в1. Пример 150. Тело весом Р движется прямолинейно с данным ускорением в по горизонтальной плоскости под действием неко- торой силы Р, образующей с Д горизонтом угол а. Определить модуль этой силы, если коэфлу Г фипиент трения между передвигаемым телом и плоскостью равен 1 (рис. 187).
Г' а Р е ш е н и е. На рис, ! 87 по- казаны дейстзуюШие иа тело Г~ силы: вес Р, сила Р, нормаль- ная реакция пола У и сила тре- Р ния Р, . Если приложить к те- лу силу инерции рм', направРис ГЛ7 ленную противоположно уско- рению ти, то располагая координатные оси, как указано иа рисунке, будем иметь два уравнения равновесия: ~ Х = Р соз а — 7тт' — Рм' = О, ~ т' = р з(п а — Р + йт = О, причем ром = тат= — та. И Решая совместно этн уравнения, находим: ( й) 7й+и Р соз о+(зм а д (соз а+ 7 з(и о) Задачи типа П равномерное криволинейное двнменне несвободной матернальиой точки (задачи 646, 6?О) Если материальная точка движется по некоторой кривой с постоянной по модулю скоростью (о =сопз1), то тангеициальоо ное ускорение точки равно ш,= — „=О, поэтому сила инерции состоит из одной только нормальной составляюшей, т, роо р(и) Пример 151. Полый полушар радиусом й =2 и) равномерно вращается вокруг своей вертикально расположенной оси симметрии, делая 30 об(мин.
Внутри полушара находится шарик весом Р= 2 и. Найти высоту й, соответствующую поло- )9 жению равновесия шарика относительно полушара и реак. цию полушара )7 в этом положении (рис. 188). Решение. Три силы— вес шарика Р, нормальная реакция полушара о) и сила инерции г)"' — уравновешиваются. Располагая координатные оси, как указано на рисунке, и обозначая а угол, образуемый реакцией )Ч с горизонтом, составляем уравнения равновесия: ~Х= Р" — )х'сова= 0; Рис )88 ~~ У =- )У з!и а — Р = О.
Из первого уравнения находим: ))! = тйи)' = — йе)', 8 но ии «)= — =г) ! '!сея. зо Следовательно, М= — йп = — ° 2 9,86-4 н. Р ~ 2 я 9,8! Из второго уравнения находим: Р Ря д 9 81 ! 8 !У Рйи' йи~ 2 9,86 2 ' откуда а=30'. Далее нз треугольника СМА имеем: СА= — йз)па=1 м, и, следовательно, 8 =ОА =ОС вЂ” СА = 2 — 1 =1 и. Пример 152. Лента ленточного конвейера наклонена к горизонту под углом а, Определить минимальную скорость ленты, )2 зии. ззы 82) учитывая, что при равномерном вращении полушара йм) =г)")-т АМе)'.=тй созаи)', эти уравнения можно переписать так: )))сов а = тй сов аз)', Л' 81па =Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
