Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Постоянные а и а определяются, как и в предыдущем случае (при наличии сопротивления), по начальным условиям движе- ния тела. Пример 164. Для определения коэффициента вязкости жидко- сти наблюдают колебания диска, подвешенного на упругой вер- тикальной проволоке в жидкости. К диску приложен перемен- ный момент, равный М' з)п (рГ) (М' =сопз1), при котором наблюдается явление резонанса.
Момент сопротивления движению диска в жидкости равен р'5м, где р' — коэффициент вязкости жидкости, 5 — сумма плошадей верхнего и нижнего оснований диска, м †е угловая скорость. Определить коэффициент вязкости жидкости р', если ампли. туда вынужденных колебаний диска при резонансе равна ф'. Р е ш е н и е. К диску, вращающемуся вокруг вертикальной оси, приложен момент М упругих сил, возникающий при закру- чивании проволоки на угол ф и пропорциональный этому углу, момент сопротивления жидкости М, =р'5гв и переменный момент М, = М' з(п (р1). Поэтому в данном случае имеем: р=р'5, Н = М'. Так как по условию задачи прн данной частоте р наблю- дается резонанс, причем амплитуда вынужденных крутильных колебаний диска равна ф', то по вышеуказанной формуле Н ф лр М' Ь, = — находим р = —,, откуда р'= —, реч 1р и'эр * ф'Фр Задачи типа (/ Представим себе движущееся твердое тело, одна точка О которого закреплена неподвижно, например при помощи сфсри.
ческого шарнира (рис. 200). Как известно из кинематики, в каж- аз дый данный момент такое тело вращается вокруг некоторой определенной мгновенной оси, проходящей через неподвижную точку О. Вектор мгнов ннон угловой скорости тела, направленный по мгновенной оси г вращения, обозначим в, а а) его проекции на координатные оси, начало которых находится в точке О, обозначим в„, в, в,. 11ай- 6-р дем кинетический момент гс этого тела относительно оси х, Разбивая тело на Рис 201 Рис 200 элементарные частицы и применяя формулы (212), имеем (.„=-~т„(то) = ~т (уо,— гик), где т — масса элементарной частицы, у и г — ее координаты, а о, о,— проекции скорости частицы на оси у и г. Проекции на координатные оси скорости о точки вращающегося твердого тела определяются по кинематическим формулам Эйлера *: ох — — ваг — вху, оу — — аэхг вхг ох = вху в г х г Следовательно, йх = ~и~" „т (в,у' — в,гу — вххг + вхг') = = в„~~ т (У'+ г') — ва,'~ тгУ вЂ” в, ~чр ~тгг, или 1.х = Х„в„- — lх в —,/ххВ„ где и' = — ~;т(у'+г') — момент инерции тела относительно оси г, l =- ,'~~ тгу и У„, = ~ ткг — центробежные моменты инерции тела.
* Вывод этих формул можно найти, иаиример, а курсе теоретической ь1екаиики проф, И М. Вороикоаа. 349 Если координатные оси х, у, з направим по главным осям инерции данного тела в точке О„то Х„у .7„,=0, а потому в этом случае 1,„ = /„гз„. диалогично найдем, что при атом условии кинетические моменты тела относительно осей у и х будут равны ~ у '[угз у 1'» '1»'э» Предположим теперь, что твердое тело, имеющее форму тела врашения вокруг оси АВ, например колесо или тор, равно- мерно вращается вокруг этой оси АВ с угловой скоростью гз,; в то же время эта горизонтальная ось АВ врашается равно- мерно вокруг неподвижной вертикальной оси с угловой ско- ростью эу,.
Требуется определить реакции в подшипниках А и В, перпендикулярные к оси АВ, если вес тела равен Р и АС=1„ СВ=1„АВ=1, + 1, =1, причем С вЂ” центр тяжести данного тела (рис. 201, а и б). Такое тело представляет собой гироскоп с двумя степейями свободы.
Вращение вокруг оси АВ с угловой скоростью ге, называется собственным вращением гироскопа, а вращение с угловой ско- ростью гэ, вокруг оси г называется прецессионным вращением, или прецессией гироскопа. Неподвижную точку пересечения осей эра~пения примем за начало координат О и направим координатные оси, как указано на рис. 201, а.
Горизонтальные реакции подшипников А и В. параллельные оси х, обозначим Хл и Хв. 'вертикальные статические реакции подшипников, обусловленные только весом Р гироскопа, обозначим Уд н Ув, Р[, Р причемочевндноЯл= — * и Хз= — 1, а динамические вертикаль- 1 ные реакции обозначим 2л и Ев. Найдем кинетический момент 1., гироскопа относительно неподвижной точки О. Сложив векторы а, и в, получим абсо- лютную мгновенную угловую скорость гироскопа Р [см.
равен- ство (107)). Так как гироскоп есть тело вращения вокруг оси у, то зта ось и две перпендикулярные к ней оси х и г являются главными осями инерции гироскопа в точке О, а потому, как было указано выше, кинетические моменты гироскопа относи- тельно этих осей равны ~»= 1»11», 1-у= [у11у. 1.»= 1»11»г или, так как 1)„=0, 11 =в„(),=гз„то 1.„=0, Е„=.,l,гз„(., = 1,гэ,. Учитывая, что 1.„, (.у, 1., являются проекциями вектора Х, на координатные оси, йо найденным проекциям строим вектор ОК= 1,, (рис. 201, б).
Применяя теперь теорему о кинетическом моменте системы относительно неподвижной точки О (см. уравнение 2!3), имеем '~ о ~,ф~ вьо Так как производная †„ есть скорость о точки К, то ок= Мо ° (223) Это равенства выражает теорему Резаля, т. е. скороглпь, с которой перемещается колеи веклшра, изображающего кинети- ческий момент системы относительно неподвижной точки О, равна главному моменту внешних сил, действующих на вту систему, относительно той же точки.
Так как Е„=сопз1 и с.,=сопз1, то вектор ОК описывает круглый конус, врашаясь вокруг оси г с угловой скоростью в,. Отсюда следует, что врашательная скорость ое точки К направлена параллельно оси х, как показано на рис. 201 б и по модулю равна ок=м К К=ш ('ъ=''~ м мм Применяя затем теорему о движении центра тяжести системы (см. уравнение 206), имеем йл ш Кон где К<о — главный вектор внешних сил, которыми в данной задаче являются вес Р и искомые реакции подшипников А и В.
Проектируя это векторное равенство и равенство (223) на оси х и е и учитывая, что силы Р, 7д и Ув взаимно уравновешива- ются, получим четыре уравнения: 3) о,.=м'о!= — К АΠ— 3;ОВ, Так как скорость ох параллельна оси х, а центростреми- тельное ускорение точки С направлено по оси у (от С к 0), то о„„= — У м,в„о,=О, ш = шс,=О. Поэтому предыдушие уравнения принимают вид Х„+ Х =О, Л,в — Яв=О, УлАО+ЯвОВ=,/ гь,ьз„ ХлАΠ— ХвО — О. Из этих уравнений находим: Х„=Х,=О г„=го= — '"'. ~у~>еьв Ф 361 Так как динамические реакции 7„и Ув равны по модулю и направлены противоположно, то они образуют пару с моментом, равным Х ы,а„называемым гироскопическим моментом.
Следовательно, обозначая этот момент М„имеем г = ')умам (224) Эта пара лежит в плоскости, в которой расположены векторы е, и а,. Учитывая направления векторов с„, ы, н о„получаем векторное равенство: ик= М„=,/,а, х ы,. 1224') Возникновение реакций 2л и Хв, а также гироскопического момента, обусловленное изменением направления оси АВ собственного вращения гироскопа, называется г и р ос к о п и ч еским эффектом. Пример 165. Турбина, вал которой параллелен продольной оси судна, делает 300 оборотов в минуту: вес вращающихся частей равен 200 кн, а их радиус инерции относительно оси вращения турбины равен 1,5 м. Определить гироскопические давления на подшипники, расстояние между которыми 1=6 м, если судно поворачивается вокруг вертикальной оси на 15' в сек. Р е ше н и е.
Обозначая угловую скорость вращения судна вокруг вертикальной оси е через в„ а угловую скорость вращения турбины вокруг горизонтальной осн у через мп имеем: и 3ОО | 2кцэ к ы, = — = 10 и 1'сек, ы, = — ' = — ! 'сек. 360 12 По формуле 1224) находим гироскопический момент М, = l,в,го„ но Р а гин е где Р— вес вращающихся частей турбины и г,„— их радиус инер- Р а 200 000 - 10 цин; поэтому Л4, = — г'„„ы,ы,= 0 6 ° 2,25 ° — и'=375000 к м. Искомые гироскопические давления образуют пару сил, лежащую в вертикальной плоскости, причем момент этой пары равен М„а ее плечо равно 1, следовательно, вертикальное гироскопическое давление на каждый подшипник равно М 376 000 — '= — =62500 н.
1 6 Пример 166. С концом вертикального вала 00, шарнирно соединен горизонтальный стержень ОС, на который свободно насажен массивный цилиндрический каток (бегун). Прн враще- 362 нии вала 00, вокруг вертикальной оси г бегун катится без скольжения по горизонтальной плоскости, на которую закладывается пзмельчаемый материал '(рис. 202, а и б). Определигь гироскопические реакции в точках О и А, а также усилие в стержне ОС, если заданы вес бегуна Р, длина ОС=(, радиус бегуна )т и угловая скорость вала ы=сопз1. Р е ш е н и е, Обозначим угловую скорость собственного вра1цения бегуна вокруг оси ОС через е,. Так как качение бегуна по горизонтальной плоскости происходит без скольжения, то скорость точки А равна нулю; поэтому мгновенная ось вра1цения бегуна проходит через точки 0 и А, а его абсолютная угловая скорость (й направлена по прямой ОА, причем Р= =О +~.
Построив параллелограмм угловых скоростей, из подобных треугольников ОАС и Оас имеем: и1 АС Я а) — — — — откуда а, = а — . в, ОС 1' ) Теперь по формуле (224) нахо- у а ..С у дим гироскопический момент М,= /„э,ьь Я 2 Рассматривая бегун как однород в хи ный цилиндр, имеем Е РН' 2д и, следовательно РЙ' и 1 РйсзЧ М,= — ы' — = — . Рис, 202 Гироскопические реакции Яо и Яи в точках 0 и А образуют пару сил, момент которой равен М, и направлен, согласно формуле (224'), по оги х, как указано на рис.
202, и. Отсюда следует, что, во-первых, силы Уи и Ур имеют направления, укаэанные на рис. 202, а, и, во-вторых, 1И Рй 2з=2о = ы 2д Таким образом, полное давление бегуна на горизонтальную плоскость в точке А равно сумме двух сил: веса Р и гироскопического давления, равного Яи, т. е. Центростремительное ускорение центра тяжести С бегуна направлено вдоль оси у от С к О и по модулю равно ю,=йо'. Поэтому, применяя теорему о движении центра тяжести свстемы, 13 иии.
237Я и" д д с"« а а с к'с' аоо о у з оа у „о с и » х с » а «. сс 254 йаа ° како »1с с« хо оу о хо ха ухххс аа Фх у а ух ахх а Ф х» Ф Сс Ф Ф с оо у Ф а х х Ы~ хах [а хс М а х хок хо а'4 х 2 аа о сох С а ню Ы". »ххФ х»у а ФЬаоа ых»а х х кх а о» х» соу са»а »ф~ хх М"- х с„ уха у у а»а ххах ах Фо н с-- 3~ д,1 .4 04 д д су с н -"- А Д ФС4 О дао «4 дсс ОФ- 03 44 Нс кдсаф ааааа« дна а о од нодкд »кон анках 4 н 4' а а д с н н онх дад Ддс Фа к СС д 0 д Д дк да а о ха Ин до« н х с" д а' 4' са х с а Ф сс 5 3Щ а с О а 4«со" СО КС'4 оо 0 'с а'уса к са дадо~~ а н д с.'со д н а о О'0' с» а ОЦд » О Фх К х а~ Фаа уда- Л оад ахд"х ааахн адодо с да"о О Ф хну анан ока кхс Ка' Д ~ ~44 ~, к с', а Оадха ая а д у а 0 » к да,к » 4 О а а.х. н с а дхдс сакка 8 иИ получим: Р— а> У с> е> где У,— реакция в >очке 0 по направлению оси у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
