Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 55
Текст из файла (страница 55)
"1) касательную силу инерции, равную по модулю произведению массы частицы на ее касательное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, и 2) нормальную силу инерции (центробежную силу), равную по модулю произведению массы частицы на ее нормальное ускорение и направленную противоположно этому ускорению, В остальном метод решения задач этой группы остается таким же, как и в задачах первой группы. Если тело вращается равномерно, то касательные ускорения, а следовательно, и касательные силы инерции всех его материальных частиц равны нулю. Пример 175. Два однородных стержня ОА и ОВ весом Р каждый прикреплены концами при помощи шарнира О к вертикальному стержню ОР, а нх концы А и В привязаны нерастяжимыми горизонтальными нитями к точке 0 этого стержня.
Треугольник АОВ начинают вращать вокруг'оси ОЛ с постоянной угловой скоростью со. Найти натяжения Т нитей и реакцию шарнира О, приложенную к стержню ОВ, если 04 =ОВ=и и ШООВ = ~У (рис, 212). Решен не. К стержню ОВ, вращающемуся равномерно вокруг оси 00, приложены заданная сила Р, реакции Хр, 'г'и шарнира О и реакция Т нити. Применяя принцип Даламбера, У~~ разобьем стержень ОВ на бесконечно малые элементы и приложим к каждому такому эле- Л У )) менту силу инерции )'з) направ- Р) ленную противоположно его ускорению ши и равную по мо- и (и) — (и) дулю ), =т,ю„где т,— мас- ги, са элемента.
)т Если рассматриваемый элемент находится па расстоянии 0 - — — й зи от точки О, то т,=г,и~'= =з, з!и ~р ги*, и, следовательно, 4 На| = тзийз, в)п ~Р. Согласно принципу Далам- Рис 212 бера, сила Р, р акции Х„, г'и, Т и силы инерции ф1, приложенные к каждому элементу стержня ОВ, взаимно уравновешиваются. Поэтому будем иметь три уравнения равновесия: уравнение проекций на ось лх Х,— т+21,'"1=0, уравнение проекций на ось у: Ъ',— Р=О и уравнение моментов относительно точки О: и — Р— гйп гр+Тасов~р — Щ)з,сов<р=О. 2 Вычислим суммы, входящие в эти уравнения: й)~„"'= Етиа*з, в1п ф =а' ейп гр2т з, Ц5„сов ~р = В т„ги'з*, в! и ~р сов гр = иР в)п гр сов гр Вт,з,'. Но по формуле (203) для координаты центра тяжести С имеем: Р и Етз=Мз = —— и 2' Ми' Ра' ий — ив Вт з' =/ где йо — момент инерции стержня ОВ относительно точки О.
Поэтому уравнения равновесия принимают вид Хо — Т + — га ейп гр = О, Ра 2а Уа — Р=О, а Ра'а* — Р— гбп гр + Та сов гр — — з! и гр соз гр = О. 2 зд Решая этн уравнения, получаем 1 о=' Р I 2ага' Т= — 1'тд в+ — 61пд), 2 ~, За Ра а ° Р / агь1 Х =Т вЂ” —,гь' 61пгр= — ~тйгр — — зги ф)„ 2д 2 ~ 36 Третья группа К этой группе относятся такие задачи, в которых некоторые из гел, входящих в систему, имеют вращательное движение, а другие движутся поступательно.
вг мг Метод решения задач этой группы на га основании принципа Даламбера по существу ничем не отличается от метода решения за- $ ' в вв дач первых двух групп. Только здесь име/ 'г ются и тела, поступательно движущиеся, и гела, вращающиеся. Пример 176. К шкиву подъемника радиусом 1г приложен вращающий момент л1; веса грузов равны Р, и Р,. Определить угловое ускорение шкива н натяжения ча/ стей каната АС и ВО, считая шкив однородным круглым цилиндром весом Р, и пренебрегая сопротивлениями и весом каната 67 г а (рис.
213, а и б). ьй~ Решение. Решая задачу по принципу Ра ДаламбеРа, пРиложим к гРУзам силы инеРрве ции, равные 1гг"1 = †'в, Р'ю = †'го и направ- и аа ленные противополоною ускорениям иг, и Рис. 213 гв, этих грузов, причем ш,=ш,=-го. Кроме того, нужно приложить силу ийерцин к «аждой иалгериальной частице шкива. Так как ускорение такой частицы слагается из касательного ускорения в, и нормального ускорения в„, то и сила инерции этой материальной частицы является равнодействующей двух сил: касательной силы инерции ~~,"', направленной противоположно ускорению иг„н нормальной 376 силы инерции (центробежной силы)7„"', направленной противоположно ускорению вгг Если массу материальной частицы обозначить т, а ее расстояние от оси врашення г, то = тв, = тге, )и = тв„= тгв, м (и) и где е и в †углов ускорение и угловая скорость шкива.
После того как мы приложим все эти силы инерции, можно, согласно принципу Даламбера, рассматривать данную систему, как находящуюся в равновесии. Следовательно, сумма моментов всех внешних снл, приложенных к этой системе, н сил инерции относительно точки О будет равна нулю. Поэтому, учитывая, что моменты относительно точки О силы Р„центробежных сил и реакции з точке О равны нулю, получаем следуюшее уравнение: М + КР, — К Р, — КГ',"' — КР',"' — Х~1~,"' = О, или М вЂ” )т (Р, — Р,) — Рс ( Р, + Р,) — — Хтг'е = О. Силы натяжения канатов АС и ВР в это уравнение ие входят, так как для данной системы эти силы являются внутренними.
Но Хтг'е = еХтг' = ур е, где У вЂ” момент инерции шкива относительно оси О, причем для однородного круглого цилиндра )о= — 'К'. А потому предыду- шее уравнение принимает вид Й(Р, + Р,) — + — ' й'~ = М вЂ” Я (Р,— Р,). Так как в=Ю, то нз этого уравнения находим: М вЂ” Р (Ри — Рй Р(Ри + Ри+О 5Ри) в М вЂ” Р(Р,— Р ) е —— Д Р Ри(Ри+ Ри-(-0 5Ри) Для определения натяжения каната ВР расчленим систему н рассмотрим в отдельности правый груз, к которому приложены сила Р„сила инерции г)" и реакция каната Т, (рис. 213, б). Так как эти силы уравновешиваются, то Т вЂ” Р,— Я'=О, откуда Т,=Р,+Р~ = Р,+ — 'в =Р,(1+ — ) р ) М вЂ” Р(Ри — Рб 1 Ри [М+Р (2Рф+0,5Ри)1 й (Р, + Ри+ 0,5Ри)1 Я (Р,+ Р,+ О 5Р,) Рассматривая затем равновесие левого груза в отдельности, найдем натяжение каната АС Т Р1(й (2Р»+О ВР»)»»1 И (Р, + Р»+0,5Р») Задачи типа !! К этому типу относятся задачи, в которых заданные силы, реакции связей и силы инерции образуют пространственную систему сил.
Эти задачи можно разделить на две группы. Первая группа К эюй группе относятся задачи, в которых требуется определить реакции двух закрепленных точек оси при вращении точечных масс вокруг этой осн. Решение задач этой группы аналогично решению задач второй группы типа 1, только здесь приходится составлять в общем случае шесть уравнений равновесия пространственной статики. Вторая группа К этой группе относятся задачи, в которых требуется определить реакции двух закрепленных точек твердого тела (двух подшипников нли подшипника и подпятника), возникающие при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, проходящей через эти закрепленные точки.
При решении этих задач по принципу Даламбера нужно разбить вращающееся твердое тело на элементарные материальные частицы и к каждой такой частице приложигь касательную и нормальную силы инерции этой частицы. Так как, согласно принципу Даламбера, все эти силы инерции уравновешиваются заданными силами, приложенными к телу, и реакциями закрепленных точек, то в общем случае имеем шесть известных из статики уравнений равновесия (три уравнения проекций н три уравнения моментов).
В эти уравнения войдут, во-первых, сумма проекций всех сил инерции на каждую из трех выбранных координатных осей, или, что то же, проекции главного вектора сил инерции на каждую из этих осей, и, во-вторых, суммы моментов всех сил инерции относительно каждой координатной оси, или, что то же, главные моменты сил инерции относительно каждой из этих осей. Если ось вращения тела причем за координатную ось г, то проекции главного вектора сил инерции на координатные оси будут равны (см., например, «Курс теоретической механики» И. М.
Воронкова, 5 139) )1~"'= М (х,ы'+Рсз), )(~,"'= М (Р ы* — х е), !(он=О, (23$) 37В а главные моменты сил инерции относительно координатных осей выразятся так: В этих формулах М вЂ” масса тела, в и е — соответственно угловая скорость и угловое ускорение тела, х и ус — коорди- наты центра тяжести С тела, л'„и У „— центробежные моменты инерции тела и 1„— момент инерции тела относительно оси вращения, Отметим некоторые частные случаи: Е Тело вращается равномерно. Тогда о=сонэ( и в=О. 2. Центр тяжести тела лежит на оси вращения. Тогда хо=у =О и, следовательно, й(ю =Л(") =Л<") =О. (236) В этом случае все силы инерции приводятся к о д н о й па ре, проекции вектора-момента которой на координатные осн определяются по формулам (235).
3. Координатная плоскость хОу является п л ос ко стью симметрии тела. Тогда центр тяжести тела лежит в этой плоскости, и ось вращения г как ось, перпендикулярная к плоскости симметрии, является главной осью инерции тела в точке О, поэтому /„,=./,„=О. Если прн этом е=О, то Км' = Мксы*, И'„и' = Мусго', й'*"' = О, (237) В этом случае все силы инерции приводятся к о д н о й р а в н о де й с т в у ю щ е й, равной 7'"' = Ма'гс, где г — радиус- вектор точки С, т. е. приводятся к одной силе, равной центробежной силе центра тяжести, если предположить, что в етом центре сосредоточена вся масса тела; при этом линия действия этой равнодействующей Т~'ы прокодит через центр тяжести тела.
4. Если ось вращения г является главной центральной осью инерции тела и если при этом тело вращается равномерно, то е=О, хе=ус=О и У~,=/,„=0, а потому инерции является в этом случае уравновешенной системой. Следовательно, в уравнения равновесия, составленные на основании принципа Даламбера, силы инерции не войдут; эти уравнения будут совпадать с уравнениями статики, которые используются при равновесии тела под действием приложенных к нему заданных сил.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
