Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Коэффициенты при вариациях б~р и 6»р обобщенных координат в выражении виртуальных работ и являются обобщенными си- лами системы Я = М вЂ” Ргсоз»р; Яф = — Р (1, — гср + г»р) з1и»р, (д) Учитывая равенства (в), (г) и (д), уравнения (а) можно пред- ставить в следующем виде: (/„+тг')»р+»»»г (1,— гч»-)- г»р) ф* = М вЂ” Рг соз»р; (1,— лр ) гф»р+ г (»р — 2<р)»р= — а вш»р. аи Задачи типа 11 Первая группа (вахачн !179, 1130, !!89 — 1169) Пример 166. Водило АВ, представляющее собой однородный тонкий стержень длиной 21 и массой т, вращается вокруг оси О неподвижной шестерни 1 под действием приложенного к нему момента М и приводит в движение две одинаковые свободно на- Р, саженные нз водило шестеренки 2 и 2' радиусом г и массой т, =и! каждая, которые катятся по сцепленной с ними неподвижной шестерне 1 и приводят в движение зубчатое колесо 8, обладающее Н 5 Р массой т,= — т.
К окружности з 7 колеса 8 приложена сила сопроч Ф тивления Р, Определить угловое 2' ~ ускорение з водила, если шесте- г ренки 2 и 2' представляют собой сплошные однородные диски, а масса колеса 8 равномерно распределена по его окружности (рис. 224). Решение. Положение данного механизма вполне определяется одним параметром — углом !р поворота водила, который и принимаем за гбобщенную координату. В соответствии с этим в данной задаче имеем одно уравнение Лагранжа: Вычисляем кинетическую энергию Т системь1, которая сла- гается из кинетической энергии Т„, водила, энергии 2Т, двух бега1ощих шестеренок и энергии Т, колеса 8: где 2 и 2,— моменты инерции водила и колеса 8 относительно оси О, а l,— момент инерции шестеренки 2 относительно оси вращения А.
Угловые скорости !э, шестеренки 2 и !э, колеса 8, а гакже линейную скорость точки А выражаем через углову1о скорость водила и = <р, которая в данном случае является обобщенной скоростью: и„= е!ОА = м1 СА г 401 (мгновениый центр вра)цения шестеренки 2 находится в точке С зацепления этой шестеренки с неподвижной шестерней !), для определения в, находим скорость точки 0 зацепления шестеренки 2 с колесом 8: оп= 2оа — 2в1; следовательно, сов 2в) Од 1' Теперь вычисляем моменты инерции: га)г)В)' т4Р тР т,г' тг' )2 )2 З ' 3 2 2 l, = т,01:)' = — т (1 + г)*. Таким образом, для кинетической энергии системы получаем следующее выражение: тР тг* вч' 5 4вгр Т = — в*+ твеР + — — + — т (1+ г)*— 6 2 г' 6 () +г)' — "' + тв'1'+ — + — в'1'гл = 5в'1'т 51 "ф'т.
6 2 3 Отсюда находим — = 101 тф; — ~ — ) = 10тдг~р = 10т1 в, дТ, ' и lдТт дф т ~дфоп где в †углов ускорение водила; дт дф — =О, так как Т ие зависит от ф, Определим теперь обобщенную силу. При поворо)е водила на элементарный угол Ьр сумма работ, действующих на данную систему сил, равна ~ч; бА = Мбгр — Р (1+ г) Ьр„ где бф,— угол поворота колеса 8.;1о зависимость между углами ф и ф„очевидно, )акова же, как и между угловыми скоростями водила и колеса 8. Следовательно, 2) бр = — бф, В ) ) г поэтому ~~ ',бА = МЬр — Р(1+г) — Ьр=(М вЂ” 2Р1)Ьр; отвода я =Х')г) = М вЂ” 2Р1, дф Подставляя найденные значения обобщенной силы и производных — ( — ~ и — в уравнение Лагранжа, пол)чаем д гдТХ дГ д~ ( д(р у д'Р 10глРв = )(4 — 2Р1, откуда М вЂ” 2Р! 3= 10дз)з Вторая группа (задача 943 — 947, Ы!4, 020) Пример !87.
Невесомая н нерастяжимая нить, намотанная на однородный цилиндрический барабан Т! радиуса Тхз=!О сн и весов 6 =20 н, охватывает подвижный блок С, неподвижный блок и и идет параллельно наклонной плоскости тп, образующей с горизонтом угол а=30' (рис. 225) К свободному концу нити прикреплен груз А весом Р -40 и, который может без трения Рис 229 перемещаться по плоскости взп, а к подвижному блоку подвешен груз весом Я=-20 и Определить ускорения грузов, если к барабану приложена пара сил с моментом л4= 1н м, направленным, как указано на рисунке.
Массами блоков В и С пренебречь. Решение. Система имеет две степени свободы. В качестве обобщенных координат системы принимаем расстояния з, и з, (рис. 225). Тогда движение системы определяется уравнениями д (дТ) дТ (а) Обозначая угол поворота барабана Е> через ф, имеем з, + 2з, + йф = Л = сопз1. Составляем выражение кинетической энергии системы: Р з1 о 8в 6й'% + + 2 ° д2ч22а (б) На основании равенства (б) ф = — — (з, + 2з,).
1 й следовательно ХбА=(Рз)па — — 1бз + ( Д вЂ” 2 ~ (бз. Отсюда определяем обобщенные силы: Я, =- Р з(п а — —; М 6, =-() — 2 — ', . (д) Учитывая равенства (в), (г) и (д), уравнения (а) можно пред- Следовательно, Т=г ~ Рз'+ Ф'+0,56(з,+2з,)'(. Производим операции, указанные уравнениями (а) —. = — '(Рз, + 0,56 (з, + 2з,)); дТ 1 1 л рдтт йт ~ ~~ ) = — [(Р+ 0,56) з, + 6з,); 1 (в) —. = — [Яз, + 6 ( з, + 2з, )1; дТ () — =О, лз, Варьируя обобщенные координаты системы, находим сумму вир- туальных работ, действующих на систему сил 25 А = Р з(п абз, + Ябз, + Мбф, но на основании равенс1ва (б) бф = — — (бз, + 2 бз,), 1 ставить в следующем виде (Р+0,56)з, -!- 6з,==-( Р з)па — — ~й, Оз, + (!;!+26) з, = (Я вЂ” 2 —., ) д.
(е) Подставляя сюда числовые данные, имеем 5з, + 2з, =- д; з, +Ззз = О. Отсюда Задачи типа Ш Первая группа (задачи 1243 †!247) Пример 188. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы, показанной на рис. 226, около ее равновесного положения и найти период этих колебаний, если известны массы и!, и т, грузов А и О, жесткость с пружины ВЕ и длины стержней ОА =(„ОВ =ОС=СО=(,. Массами пружины и стер. жней, а )акже размерами груза А можно пренебречь. При го. ризонтальном положении стержня АВ вес груза А уравновеши.
аается силой упругости пружины. При малых отклонениях системы от равновесного положения можно считать, что пружина остается вер4икальной. $5 зак 2з 402 В задачах этого типа рассматривччотся малые колебания системы с одной (первая группа) или двумя (вторап группа) степенями свободы около положения устойчивого равновесия. В этих задачах положение усгойчивого равновесия следует принять за начало отсчета обобщенных координат и, далее, пользуясь уравнениями Лагранжа составлять дифференциальные уравнения движения системы.
Эти уравнения получаются, вообще говоря, нелинсйнымя. Однако, если заранее известно, что обобщенные координаты и обобщенные скорости являются малыми величинами, то полученные уравнения можно линеаризовать. Линеаризоваииые уравнения получаются нз данных нелинейных уравнений путем отбрасывания членов, содержащих квадраты и более высокие степени обобщенных координат и скоростей.
Например, при малых значениях координаты а можно положить з!и а .= а; сова=В Члены, содержащие а', а', аа, следует отбросить. Р е ш е и и е За обобщенную координату данной системы с одной степенью свободы принимаем угол а отклонения стержня АВ от горизонтали, отсчитываемый от оси х против часовой стрелки, тогда имеем уравнение Лагранжа: Вычисляем кинетическую энергию системы: с'1 ся саксо Т= — +— 2 2 где ох и рр — скорости грузов А и Р, но Рис 226 рд — — (,а и рр —— ур — — — (21, соз а) = — 21, з!п а а, поэтому Т = — (т,с,'+ 4т,1,' з(п' а) а'. При малых колебаниях системы можно пренебречь малой величиной 4-го порядка з1п'аа*. Тогда Т = — ' с,'а'.
2 Вычисляем потенциальную энергию системы: сЛ' П =тд(й — р„) +т,й(й — р ) + — = сЛ' =т,д(д — с, з1п а)+т,й(Ь вЂ” 2(, сова)+ —, где ˄— статическое удлинение пружины при равновесном положении системы. Следовательно, Л=(т~+тз)$6 — т|йд, з1па 2тзф|соза+ 2 (Лсх+(1 з(па) ° Теперь находим дТ с' д /дТ Х е" дТ вЂ”,=т га, — ~ — ~=т(а, — =О.
д, ' 'ж(,д,~ '' 'д Вычисляем обобщенную силу как взятую с обратным знаком частную производную от потенциальной энергии по обобщенной где Ь вЂ” высота точки О над поверхностью земли, Л вЂ” удлинение пружины, причем Л=Л„+с, з1па, координате: (1= — — = т,д1, сова — 2т,)(1, з)па — с () „+1, з)п а) 1, сова. ап Так как при равновесном положении системы сумма моментов относительно точки 0 сил, приложенных к рычагу АВ (всса груза А и силы упругости пружины), равна нулю, то т,п1, = с).„1,; поэтому )) = — (2т 81, -)- с! ', соз а) з)п а - — 1, (2т,д + с1, соз а) з) п а, При малых колебаниях системы около положения равновесия ввиду незначительности угла и можно положить з)пажа и сова 1.
Тогда Я = — 1, (2т,д+ с1з) а. и чти ат Подставляя найденные значения производных — ( —,~, — и 4! (, аа) д обобщенной силы Я в уравнение Лагранжа, получим дифференциальное уравнение малых колебаний данной сис!емы т,1',а+1, (2т,д + с1,) а = О, или а+/г'а =О, где ),(2из,я + с1,) т,),' Мы получили дифференциальное уравнение гармонических колебаний с круговой часготой )з. Период этих колебаний равен а ' У ), (2из,а+ с),) Вторая группа (задачи )2)9„ )30), !ЗОЗ, )З04) Пример 189. Два однородных силов!ных цилиндра общим весом Р„жестко закрепленные на оси, толщиной и массой которой можно пренебречь, образуют скат, опирающийся на горизонтальные опоры (рис. 227).
На той же оси свободно насажен тонкий стержень длиной 1, несущий на конце' точечный груз А весом Р,. Определить движение этой системы, пренебрегая массой стержня и предполагая, что отклонения маятника СА от вертикали весьма малы; трение в узле С отсутствует и цилиндры катятся по опорам без скольжения (рис. 227). жа: Обозначив общую массу цилиндров через т„а массу груза А через т„вычисляем кинетическую энергию Т си- стемы, которая слагается из кинетической энергии Т, цилиндров и кинетической энергии Т, груза А, причем '" эс и' а2ад Т =- — +l- — и Т,= —, 2 с2 ' 2 где о н их — скорости ~очек С и А, ы — угловая скорость цилиндров, а 1с — момент инерции цилиндров относительно оси вращения, проходящей через точку С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
