Айзенберг Т.Б., Воронков И.М., Осецкий В.М. - Руководство по решению задач по теоретической механике (1079942), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Следовательно, Ряс 227 При этом т,й' эг 1 о=х,l =- — ' ив= —,=— с ' с 2 = 11 =17 где 1с — радиус цилиндров. Для определения скорости точки А выразим ее декартовы координагы хз и ух через выбранные обобщенные координаты хх — — х+1 згп <р, ух —— 1соз<р. Отсюда х„= х+ 1 соьчхр, уа — — — 1 з1п ехр. Следовательно, ил=хл+ уА=(х+1соьгргр)'+1' з1п'~рр' х' 1' соз'чар'+ 2х<р1 сов гр+ Г гцп' гргр' = х'+!'гр'+ 2х<р1 сов ~р. Геперь получаем Т="' — '" + —,' т Я' — "-+ — ""6'+1'р'+21хрсозгр)=- = —, ф,бт, ~ т,) х' -р т,1 ( 1грэ + 2х~р сезар) ~.
Р е ш е н и е, В данном случае рассматривается система с двумя степенями свободы. Координатные осп располагаем так, как указано иа рис. 227. В качестве обобщенных координат выбираем абсциссу х точки С и угол ~р отклонения стержня СА от вертикали. В соответсгвии с этим в данной .адаче составляем два уравнения Лагран- Отсюда —,=(1,5т, 1 и.,) х+ т,<<рсовср; дх — „, ( — ) =(1,5т, -, 'т,) х+т,1 (ср соь<р — ср' вш<р); дт' О , =т1( 1<р+хсовср); — ( —.) =т1( 1<р+хсовср— дт ' ' ' д<(дт) дт — х<р в!и ср), —. — = — — т 1х<р вш <р. с Обобщенные силы Я, и Я находим по об<цим формулам (24?).
Замечая, что Р,„= Р,„=О, Р, =Р„Р, = Р„ ус=О н ул= 1сов<р, на основании этих формул получаем Я Р вЂ” -~- Р— = — Р 1 я(п <р = — т п1 яп <р. дрг дух < д<р ' дср Так как в данной задаче система находится под действием сил тяжести, для козорых существует силовая функция, <о обобщенные силы можно опре <слить и по формулам (249). Си- ловая функция для сил Р, и Р, имев< вид У = Р,у -<- Р,у„= Р,1совср. Следовательно, ды сд? Я вЂ” ' д — О. Я, = —, = — Р, 1 ВШ <р = — т с<1,1П Ч, Таким образом, уравнения Лагранжа принимают внд (1,5т, -'; т) х + т1 (ср сов ср — <р" в! и ср) = О, 1<р+ х сов <р д яп ср =- О.
Так как по услови<о задачи отклонения маятника СА от вертикали весь<ма малы (г. е. координага <р и ее первая производная по времени являются весьма малыми величинами), то полученные точные дифференциальные уравнения движения системы можно заменить более прос<ыми приближенными уравнениями, полагая в1п <ряс«р и сов<рж1. Кроме того, произведение <р'в1п ср является малой величиной более высокого порядка, чем остальные члены; поэтому можно положись р'япф-О; тогда получаем прибли- жениые уравнения Лагранжа.' 11,5т, + т,) х+ т,1ф= О, х + йр т- ур = О. ) Из уравнения 1а) имеем [а) (б) т,г 1,Зт, +т, Р' Первое интегрирование этого уравнения дает х= — ' гр+С,.
1,Ьт, +т2 После вторичного интегрирования получаем ! й Для того чтобы определить функцию гр, из уравнений 1а) и 16) исключаем х: т,1 !,вт, +т, Р или 1,5лг,1(р 1-11,5лг, 1- гп,) гчр= О, или р+(1 )- —,) —, р=О. Вводя обозначение (1+ — ',"') — ', = й*, имеем д +й*~р=О. Общее решение этого уравнении будет <р= С, соз И + С, з)п И, откуда гр= — С,й з1п И+ С,гг созИ. Следовательно, х = С,г + С,— * 1С, соз И +С, жп И). 114 Полученные уравнения, выражающие координаты х и 1р как функции времени 1, и определяюг движение рассматриваемой системы. Произвольные постоянные ффС, и С, определяются по начальным условиям движения систечй.
В начальный моменг Так как сжатие пружины равно, очевидно, з, то потенциальная энергия данной системы равна сз" П = — +сп ф (1 — созср). =г Отсюда дт . дт др= — = — т,1<рзз|п<р, —.= и, (1'~-'| 1зсоз|р), д ГдТ~ - - . дП вЂ” | —. ~ = т 1 ((ср + з соз ср — зср з|п ~р), — = и н1 з|п <р, Ж (дсру ' ' дхр дТ дТ дз= дз и lдТ '1 ,| ~ —. ) = (т, + т,) 3+ т,1 соз с|яр — т,1ср' 5|п ср, дП вЂ” =- сз. дс Составляя теперь для данной системы два уравнения Лаг- ранжа, получаем (т, + т) з + т (ср соз ср + сз = тйр 'з|и ср; з сок ср+ йр+ д з|п ср = О. тз + т,(ср + сз = О; ( з + 1)р + йчр = О, где т=т, +т,. Частные решения уравнений (а) ищем в виде (а) з = А, з|п (лг + сс) и ~р = А, з|п (И ,' а).
Подставляя эти выражения и их вторые производные в уравнения (а) и сокращая этн уравнения на з|п (И+и), имеем (с — тй') А,— т,1)г'А, = О; — з'А, + (и — 1л') А, = О, или А, с — тз' Ь' А, т,й' и — Ис Отсюда получаем следуюгцее уравнение частот: (с — т)с*) (н — 1а') — т,(а' = О.
Считая, что в данном случае угловая скорость ~р и угол ф отклонения каната от вертикали при движении остаются небольшими, полученные уравнения можно заменить приближенными уравнениями, полагая з)п ср= ср, созср ж | н пренебрегая членом, содержащим ср'. Тогда получаем следующую систему двух линейных дифференциальных уравнений: В этих уравнениях А~1, АГ~, и, и а, являются произвольными постоянными, которые определяются по начальным условиям движения системы.
Дифференцируя уравнения (б) по времени г, имеем з А,"'/г, соь (й, г + а,) + А~ой, соь (й,г' + а,); 7=Х,А й, совам!+а )+),А,' й, соь(й,(+а ). В рассматриьаемом примере з,=О, ср,=О, з — о при (=О. Подставляя эти значения в уравнения (б) и (в), имеем 0 = А'," ы!п а, + А)'~ ь)п а,; 0 = Х,А)о ь1п а, +),А~п ып а,; д = А~ой, соь а, + А~ай, соьа,; 0 = А",Ъ,й, соь а, -1- А',пХ,й, соь а,. Из этих уравнений находим Ф,(Х,— Х,) = Таким образом, ь = 0,11 ь!п 08( -~- 0,14 ь!и 63(; <р = 0,08 ь!и 0,8( — 0,01 ь)п 6,3(. Рассмотрим еще второй способ решения полученной системы (а) двух линейных дифференциальных уравнений второго порядка; ои+лт,йр+ сз О, з+ йр+др=О. Путем последовательного дифференцирования каждого из уравнений этой системы находим (г) де дав р',палг= —,4 ! — +д —,=О.
уя н4~р иьр ж' а нм = . -+ ( — +д — =О. Исключая сначала из этих шести уравнений обобщенную координату Ч~ и ес производные, а затем координату з и ее производные, получаем два независимых друг от друга линейных днф- среренциальных уравнения четвертого порядка: «И та+ с! «сз сд — + — + — з=О, ти,з г «сс Я+ '+"'— ;;,+ — „",— р=о, ел+ сг или, введя опять обозначения — = р, зс,г г= с)с «сз «сз — „,+р —,,+да=О, +р, )- с)ср — О.
(е) ...-~)/ — фс- р (Я вЂ” с-~сс,; и =-~У~с — — — ( — ~ — с)= с гй, г'р 'с' ьс ))Г з 'с З/ з' Следовательно, решение уравнений (е) имеет вид з = С, соз й,г + С, з)п й, г + С, соз /г,1 -)- С, з)п й,г; 1 ср = С, соз й,~+ С, з)п Ас + С. соз й,г + С, з)п й,г, ) где фффффффС,— произвольные постоянные.
Перейдем к ойределению этих постоянных, для чего воспользуемся начальными условиями движения. Полагая в уравнениях (а) и (г) с'=О и учитывая, что по условиям задачи з,=ср,=О, ср, = О, я, о„имеем тя,+т,гср,=О, я,+гор, =О, (а') тз, + т,йр, + со,=О, з, + йр,.=О. (г') Решая каждую нз этих систем в отдельности, получим сссс — сз, з = ср =О, я = — —, ср =— с е с ссс о гас 1 Теперь определяем постоянные С,, ффС,. Для этого Составим характеристическое уравнение, соответствующее каждому из уравнений этой системы. Корни этого уравнения равны: вычислим из первого из уравнений (ж) производные з, з, з: з= — С,/г, з|п /г,!+с,/г, сов /г,г — С,й, з|п Ь„/ +С,/г, соз/г,!, 1 з= — С,/г',соз/г,/ — С,Кз|п н,г — С,/г,'соз/г,/ — С,/г„'з!ой~,/, ~ (з) з = С /г', з(п и,/ — С, К соз /г,/+ С,/г,' з!и /г,/ — С lг*, соз /г,д ) Полагая в этих равенствах и в первом из уравнений (ж) !=о, получим следующую сне!ему четырех уравнений относительно неизвестных С„..., С,: з, =С, +-С,=О, з = — С /г', — С lг, '= — — ' ' а 2 ! а 2 откуда 2 2 Таким образом, 2 ! Аналогично, для определения постоянных фффС, получим следующую снсгему четырех уравнений: с,'+ с,'= о, С,/г, + С,/г, = О, — С, /г', — С,/г,' = О, 1 ! С22 ! Отсюда с',=с,'=о, с,= /, ( а',— а,*) находим С.' = — ,' , †, и, следовательно, гь, 1 /222 (/22 — Ф') /22 г" а ! Подставляя в полученные уравнения числовые да!шые, приходим к прежним результатам.
Решая совместно первое и третье уравнения, находим С, =С,=О. Из второго и четвертого уравнений имеем ! т 222! РЕКОМГНЛУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Н Н. Б ухгольц, И М. Воронков, А. П. Минаков Сборник задач по теоретической механике. М., Гостехтеоретнздат, 1949 Н А. Брагкииченко, В. Л. Кан, Б Л. Миннберг, В И. Мо р о з о з Л., Сборник задач по теоретической механике.
Судпромгиз, 1962 И М. Ворон ко и Курс теоретическоп механики, М., Гостехтеоретнздат, 1957 и последующие издания, Л Г, Лой ц н иски й и А. И. Лу р ье. К!рс теоретической механики, ч. 1 и )1 М., Гостехтеаретиадат, 1954, )957 и последующие издания, Г Л. Н и к оп а и Теоретическая механика, ч. 1 и 11. М., Гостехтеоретиздат, 1957 и последующие издания. В М. О се цк и й.
Сборник задач по теоретической механике Лина- мика. Под редакцией проф. И. М Воронкова. М,, 1962, В М. Осе цк н й Техническая механика. М,, Госгортехиздат, !962, С М. Т а р г. Краткий курс теоретической механики. М., Физматгиз, 1958. А А, Яблонский, В. М. Н и к ифо рова. Курс теоретической механики, ч. 1. М., Высшая школа, 1962 А А Я 6л о и с к и й. Курс теоретической механики, ч. )1, М., Высшая школа, 1962.
ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Раздел П. КИНЕМАТИКА 1. Кинематика точкн 142 Задачи типа 1 144 Задачи типа 11 147 Определенне скоростн н ускорения точкн прн естественном способе определения движения точки ... „ ........ 155 Комбипнпованные задачи . !59 П, Вращение твердого тела вокруг неподвижной осн ..., 162 Определение угла поворота, угловой скорости н углового уско. рення твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной ося 163 Определение сноростей и ускорений точек твердого тела, вращающегося вокруг непадвнжной осн.......,... 164 Передача вра,нательного двнженнп от одного тела к другому 167 Глава ф 1.
62 й 3. ! 4. Глава ! 1. 4Г8 Раздел 1 СТАТИКА Г л а в а 1. Сходящиеся силы 5 $1. Сложепне сил, сходящихся в одной точке........... 5 52. Разложение силы на составляющие.........,.... 14 $3 Связи н реакции связей ... !9 64, Равновесие системы сходящихся снл............. 22 Г л з за !1 Плоская система снл 40 41. Приведение плоской системы снл к данному центру..., .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
